L06-Тепловое излучение [Режим совместимости]
.pdf
31.05.2012
21 Формула Планка
• Выражение, стоящее под знаком логарифма, по
известной из алгебры формуле можно записать как:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e nx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
• Подставив это значение суммы в (3.105) и выполнив |
|
||||||||||||||||||
дифференцирование, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
d |
ln |
|
1 |
|
|
|
e x |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 e x |
1 |
e x |
ex 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||
• Наконец, заменив х его значением |
/ kT |
, получим |
|||||||||||||||||
окончательное выражение для средней энергии
излучения частоты ω:
22 |
Формула Планка |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.106) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
e /kT |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
• Заметим, что при ħ, стремящемся к нулю, формула |
||||||||||
|
|
(3.106) переходит в классическое выражение |
kT. |
||||||||
|
• |
В этом можно убедиться, положив e /kT 1 / kT |
|||||||||
•что выполняется тем точнее, чем меньше ħ. Таким
образом, если бы энергия могла принимать
непрерывный ряд значений, ее среднее значение было
бы равно kT.
•Заменив в формуле Рэлея-Джинса (3.99) kT
выражением (3.106), получим формулу Планка:
11
31.05.2012
23 Формула Планка
f ( ,T ) |
3 |
|
1 |
|
. |
(3.107) |
|
4 2c2 e /kT 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
•При условии, что ħω/kT << 1 (малые частоты или
большие длины волн), е ħω/kT можно положить равным
приближенно 1 + ħω/kT, в результате чего формула
переходит в формулу Рэлея-Джинса (3.99)
•Осуществив преобразование по формуле (3.92),
получим:
( ,T ) |
4 2 c2 |
|
1 |
|
. |
(3.108) |
5 |
|
e2 c/ kT 1 |
||||
|
|
|
|
|||
24 Формула Планка
12
31.05.2012
25 Формула Планка
• Для энергетической светимости абсолютно черного
тела получается выражение:
|
|
|
|
3 |
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Rэ f ( ,T )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
4 |
2 |
c |
2 |
|
e |
/kT |
|
1 |
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
• Введем вместо ω безразмерную переменную |
|
|
|
|||||||||||||
x = ħω/kT. Подстановка ω = (kT/ħ)x, dω = (kT/ħ)dx |
|
|
||||||||||||||
преобразует формулу для R*э к виду: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
* |
|
|
kT 4 |
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Rэ |
|
|
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 2c2 |
ex 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
26 Формула Планка
• Определенный интеграл в последнем выражении может быть вычислен. Он равет π4/15 » 6.5. Подставив
его значение, мы придем к закону Стефана– Больцмана:
R |
* |
|
2k4 |
T |
4 |
T |
4 |
. |
(3.109) |
|
|
|
|
||||||
э |
|
60c2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Дифференцируя функцию φ(λ, Т) (3.108) по λ и
приравнивая получившееся выражение нулю, можно
показать, что значение постоянной b в законе
смещения Вина равно:
T m 2 c b. (3.110) 4.965k
13