ТАУ, дом.задание

Домашнее задание №2 Исследованиеустойчивости линейной САУ

2.1 Теоретическое введение Устойчивость автоматической системы – это свойство системы

возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него.

Точная и строгая теория управления систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, создана А.М. Ляпуновым в

1892.

Здесь, на рисунке а), А0 – невозмущенное состояние, А2 – возмущенное состояние; на рисунке б) изображено неустойчивое состояние системы, а на рисунке в) – ее нейтральное состояние. По аналогии с состояниями можно ввести понятие возмущенного и невозмущенного движения.

Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением

где x t xc t - свободная составляющая выходной величины системы.

Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если

lim xc t 0 .

t

Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если

lim xc t ,

t

то система неустойчива.

Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.

Для определения устойчивости линейной непрерывной САУ можно применять следующее общее условие устойчивости (Правило Ляпунова):

21

Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системыбыли отрицательны.

a0 pn a1 pn 1 a2 pn 2 an 0 .

Основной недостаток правила Ляпунова, затрудняющий его непосредственное применение, заключается в необходимости поиска корней характеристического полинома. Существуют различные критерии (условия), позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения по его коэффициентам, не решая это уравнение.

Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические (Рауса и Гурвица), основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные (Михайлова), основанные на анализе частотных характеристик.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

a0 p a1 pn 1 ... an 1 p an 0,

устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п=0, а все остальные определители неотрицательны, то система находится на

границе устойчивости.

Сформулируем необходимое условие устойчивости:

Для устойчивости линейной непрерывной САУ необходимо (но не всегда достаточно!), чтобы все коэффициенты ее характеристического полинома были положительны (одного знака).

Рассмотрим частные случаи применения критерия Гурвица для n=1; 2; 3; 4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)

22

a0 p a1 0

условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2)

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

a0 p4 a1 p3 a2 p2 a3 p a4 0

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

3 a1a2 a3 a0 a32 a12 a4 0 .

При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

ai 0; i 1, n .

23

Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆п-1 были положительными.

Алгебраический критерий устойчивости Рауса

Этот критерий устойчивости был в 1877 г. предложен английским математиком и механиком Э. Раусом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее просто поясняет таблица.

В первой строке таблицы записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс; во второй строке — коэффициенты с нечетным индексом. Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют как

суждение об устойчивости системы. Условие устойчивости Рауса формулируется так:

для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. Ci 0 0

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

24

Частотный критерий устойчивости Михайлова

Пусть левая часть уравнения движения, называемая характеристическим полиномом, имеет вид

D( p) a0 pn a1 pn 1 ... an .

Подставим в этот полином вместо переменного р чисто мнимый корень, который в дальнейшем будем обозначать jw. Тогда получим функцию комплексного переменного

D( j ) a0 ( j )n a1 ( j )n 1 ... an ,

которую можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

D( j ) P( ) jQ( ) .

Действительная часть Р (ω) содержит только четные степени переменного ω

P( ) an an 2 2 an 4 4 ...,

а мнимая часть — только нечетные

Q( ) an 1 an 3 3 ....

Каждому фиксированному значению переменного ω соответствует комплексное число, которое можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости. Если теперь изменять параметр (ω от 0 до ∞, то конец вектора D (jω) опишет некоторую линию (рис. а), которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. По виду этой кривой можно судить об устойчивости системы.

25

Формулировка критерия Михайлова:

Автоматическая система управления, описываемая уравнением п-го порядка, устойчива, если при изменении ω от 0 до ∞ характеристический вектор системы D (jω) повернется против часовой стрелки на угол nπ/2, не обращаясь при этом в нуль.

Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении с ω до 0 до ∞ пройти последовательно через n квадрантов. Из приведенных выше выражений следует, что кривая D (jω) всегда начинается в точке на действительной оси, удаленной от начала координат на величину ап.

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рис. б), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, система неустойчива (рис. в).

Если кривая D (jω) проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Действительно, если характеристическое уравнение имеет один нулевой корень рk = 0 (апериодическая граница устойчивости) или одну пару чисто мнимых корней рk = ± jβk (колебательная граница устойчивости), то функция D (jω) при ω = 0 или ω = βk обратится в нуль.

26

2.2 Содержание домашнего задания

Определить устойчивость САУ тремя способами – с помощью:

1.Критерия Гурвица;

2.Критерия Рауса;

3.Критерия Михайлова.

Вариантызаданий:

27

28

Пример выполнения задания

Определим устойчивость системы с характеристическим полиномом

A(p) = p5+2*p4+3*p3+4*p2+2*p+1

1. Критерий Гурвица

Проверим старший коэффициент а5 = 1 > 0. Составим определители Гурвица для системы 5 порядка:

Рассчитаем значения определителей:

∆1 = 2 > 0, ∆2 = 2*3 – 1*4 = 6 – 4 = 2 > 0,

∆3 = 2*3*4 + 0 + 1*1*2 – 0 – 1*4*4 – 2*2*2 = 24 + 2 – 16 – 8 = 2 > 0,

2 4 1

∆4 = 2*∆3 – 1* 1 3 2 = 2*2 – (18 +1 – 12 – 4) = 4 – 3 = 1 > 0,

0 1 3

∆5 = 1*∆4 = 1*1 = 1 > 0.

По критерию Гурвица сделаем вывод: система управления устойчива.

Замечание 1. Если окажется, что какой-либо из определителей меньше нуля, вычисление последующих можно не проводить – система неустойчива.

Замечание 2. Если главный определитель ∆5 = 0, а все остальные определители неотрицательны, система находится на границе устойчивости.

29

2. Критерий Рауса

Составим таблицу для системы 5 порядка:

Рассчитаем содержимое ячеек таблицы:

По критерию Рауса сделаем вывод: система управления устойчива.

Замечание 3. Если окажется, что значение в какой-либо из ячеек затемненного столбца меньше нуля, вычисление последующих можно не проводить – система неустойчива.

Замечание 4. Если С40 = 0 или С50 = 0, а остальные значения ячеек затемненного столбца неотрицательны, система находится на границе устойчивости.

3. Критерий Михайлова

Выполним подстановку p = jw, где j – мнимая единица, j2 = –1, а w – частота, w [0; ∞), выделим действительную и мнимую части

A( jw) ( jw)5 2( jw)4 3( jw)3 4( jw)4 2( jw) 1 jw5 2w4 3 jw3 4w2 2 jw 1 u(w) Re A( jw) 2w4 4w2 1

v(w) Im A( jw) w5 3w3 2w

и найдем их корни:

30