Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка Зайцева

.pdf

Скачиваний:

186

Добавлен:

17.04.2015

Размер:

537 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

2.8. Задача для нахождения максимального значения целевой функции графически и симплекс-методом

Найти максимальное значение целевой функции (графически и симплекс-методом). Исходные данные предложены в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Вариант	a1	k1	a2	k2	b1	b2
0	2	3	1	2	2	1
1	1	3	2	5	2	3
2	2	4	3	6	3	4
3	3	5	4	7	4	5
4	4	6	5	8	5	6
5	5	7	6	9	6	7
6	1	2	3	5	5	2
7	2	3	4	6	6	3
8	3	4	5	7	7	4
9	4	5	6	8	8	5
10	5	6	7	9	9	6
11	2	7	1	4	2	1
12	3	8	2	5	3	2
13	4	9	3	6	4	3
14	5	10	4	7	5	4
15	6	11	5	8	6	5
16	2	4	1	4	2	2
17	3	5	2	5	3	3
18	4	6	3	6	4	4
19	5	7	4	7	5	5
20	6	8	5	8	6	6
21	1	3	4	6	4	1
22	2	4	5	7	5	2
23	3	5	6	8	6	3
24	4	6	7	9	7	4
25	5	7	8	10	8	5
26	3	7	2	6	2	2
27	4	8	3	7	3	3
28	5	9	4	8	4	4
29	6	10	5	9	5	5
30	7	11	6	10	6	6
31	1,5	3,5	2,5	5,5	2,5	3,5
32	2,5	4,5	3,5	6,5	3,5	4,5
33	3,5	5,5	4,5	7,5	4,5	5,5
34	4,5	6,5	5,5	8,5	5,5	6,5
35	5,5	7,5	6,5	9,5	6,5	7,5
36	3,5	4,5	1,5	2,5	4,5	1,5
37	4,5	5,5	2,5	3,5	5,5	2,5
38	5,5	6,5	3,5	4,5	6,5	3,5
39	6,5	7,5	4,5	5,5	7,5	4,5
40	7,5	8,5	5,5	6,5	8,5	5,5

1) Область допустимых значений

Целевая функция

f = b1x1 + b2x2 → max

2) Область допустимых значений

0	a1	k1 x1

ЗАДАНИЕ № 3

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1.Задание для предложенного варианта

3.1.1.Построить конусы возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП (задание № 2.1).

3.1.2.Построить конусы, сопряженные к конусам возможных направлений в угловых точках допустимого множества задачи ЛП.

3.1.3.Проверить условия оптимальности Куна – Таккера в угловых точках допустимого множества задачи ЛП. Показать, что эти условия выполняются только в оптимальной точке.

3.1.4.Найти точку безусловного экстремума (минимума) для заданной в табл. 3.1 целевой функции и начальной точки:

−методом наискорейшего спуска;

−методом Ньютона.

Для каждого из методов проделать пять итерационных шагов и оценить точность полученного решения. Для метода наискорейшего спуска сделать их с помощью одного из методов одномерной оптимизации (метод Фибоначчи, метод золотого сечения, метод квадратичной аппроксимации). Проделать не менее пяти шагов одномерной минимизации. Результаты вычислений оформить в виде таблицы, в которой необходимо отразить номер итерационного шага, значение целевой функции на данном шаге, решение на данном шаге.

3.1.5. Найти решение задачи выпуклого программирования одним из методов: методом возможных направлений; методом Нелдора – Мида. Проделать не менее пяти итерационных шагов. Оценить точность полученного решения. В качестве допустимых точек взять множество допустимых точек задачи ЛП (задание № 2), в качестве целевой функции и начальной точки взять соответствующие варианту значения из табл. 3.1. Результаты решения оформить в виде таблицы.

3.2. Методические указания к выполнению задания № 3

Будем придерживаться следующего варианта записи общей задачи нелинейного программирования:

ϕ(x)→min;

x X

X = {x : fi (x) ≥ 0,i =1,...,m}.

(3.1)

Если рассматривается задача на максимум и в ограничениях знак неравенства обратный, то к (3.1) несложно перейти, умножив соответствующие соотношения на –1.

Условия оптимальности Куна – Таккера имеют множество различных вариантов. Для наших целей наиболее приемлема дифференциальная форма, поскольку она имеет четкую геометрическую интерпретацию, которая заключается в следующем: если некоторая точка является решением задачи выпуклого программирования, то для этой точки конус, сопряженный к конусу возможных направлений, содержит антиградиент целевой функции. Следует убедиться в том, что предложенная задача нелинейного программирования – задача выпуклого программирования. Условия Куна – Таккера в различных вариантах описаны в работах [1–4].

Для выполнения задания пунктов 3.1.4, 3.1.5 можно воспользоваться рекомендуемой литературой [1,4].

3.3.Вопросы для самоконтроля

3.3.1.Какие дополнительные условия необходимы для того, чтобы общая задача нелинейного программирования (3.1) была задачей выпуклого программирования?

3.3.2.Сформулируйте условия Куна – Таккера в дифференциальной форме. Какое значение в данном контексте имеют условия Слейтера [1,4]?

3.3.3.Сформулируйте условия Куна – Таккера в интегральной форме (необходимые и достаточные условия существования седловой точки).

3.3.4.В чем состоит основная идея применения теоремы Куна – Таккера для решения задачи нелинейного программирования?

3.3.5.Как используются методы одномерной оптимизации для решения задач нелинейного программирования?

3.3.6.Укажите характерные особенности методов нулевого, первого и второго порядков (поисковые методы, методы типа метода Ньютона).

3.3.7.В чем состоит геометрическая идея метода Вулфа и метода возможных (допустимых) направлений Зонтендейка?

3.3.8.Сформулируйте задачу квадратичного программирования.

3.4. Варианты задания

			Таблица 3.1

Номер	Целевая функция, ϕ(x)	Нач. точка	Безусловный
варианта	Целевая функция, ϕ(x)	x(0)	минимум x
варианта		x(0)	минимум x
1	(x1 −8)2 + (x2 −15)2 + (x1 − 8)(x2 −15)	(0,7)	(8,15)
2	(x1 −10)2 + (x2 −15)2 + (x1 −10)(x2 −15)	(4,5)	(10,15)
3	(x1 − 6)2 + (x2 − 7)2 + (x1 − 6)(x2 − 7)	(0,1)	(6,7)
4	(x1 − 6)2 + (x2 − 6)2 + (x1 − 6)(x2 − 6)	(1,2)	(6,0)
5	(x1 −12)2 + (x2 −10)2 + (x1 −12)(x2 −10)	(2,6)	(12,10)
6	(x1 − 7)2 + (x2 − 7)2 + (x1 − 7)(x2 − 7)	(6,1)	(7,7)
7	(x1 −13)2 + (x2 −16)2 + (x1 −13)(x2 −16)	(7,7)	(13,16)
8	(x1 −13)2 + (x2 −11)2 + (x1 −13)(x2 −11)	(0,6)	(13,11)
9	(x1 − 7)2 + (x2 − 9)2 + (x1 − 7)(x2 − 9)	(3,5)	(7,9)
10	(x1 − 8)2 + (x2 −10)2 + (x1 − 8)(x2 −10)	(2,3)	(8,10)
11	(x1 − 8)2 + (x2 − 8)2 + (x1 − 8)(x2 −8)	(6,1)	(8,8)
12	(x1 −11)2 + (x2 −10)2 + (x1 −11)(x2 −10)	(11,0)	(11,10)
13	(x1 −10)2 + (x2 − 5)2 + (x1 −10)(x2 − 5)	(0,5)	(10,5)
14	(x1 −13)2 + (x2 − 9)2 + (x1 −13)(x2 − 9)	(13,0)	(13,9)
15	(x1 − 9)2 + (x2 − 9)2 + (x1 − 9)(x2 − 9)	(9,0)	(9,9)
16	(x1 −12)2 + (x2 − 8)2 + (x1 −12)(x2 − 8)	(4,4)	(12,8)
17	(x1 −10)2 + (x2 − 8)2 + (x1 −10)(x2 − 8)	(3,3)	(10,8)
18	(x1 −10)2 + (x2 −12)2 + (x1 −10)(x2 −12)	(2,5)	(10,12)
19	(x1 −10)2 + (x2 − 7)2 + (x1 −10)(x2 − 7)	(5,5)	(10,7)
20	(x1 − 7)2 + (x2 − 6)2 + (x1 − 7)(x2 − 6)	(1,1)	(7,6)
21	(x1 − 8)2 + (x2 − 9)2 + (x1 −8)(x2 − 9)	(4,3)	(8,9)
22	(x1 − 9)2 + (x2 −10)2 + (x1 − 9)(x2 −10)	(3,4)	(9,10)
23	(x1 −10)2 + (x2 −10)2 + (x1 −10)(x2 −10)	(2,2)	(10,10)
24	(x1 −10)2 + (x2 −11)2 + (x1 −10)(x2 −11)	(8,0)	(10,11)

3.5. ЗНЛП с дополнительными условиями

Решить графически задачу нелинейного программирования. Используя условия Куна – Таккера, проверить, является ли данная точка оптимальной. Исходные данные (согласно вариантам) даны ниже.

f = (x1 − 5)2 + (x2 −1)2 → min

	x1			− 2x2 ≤ −2
1.	7x			− x		2		≥13
			1			2
				+ 3x2 ≤ 21
	x1			+ 3x2 ≤ 21
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2
	f	= (x			+ 2)2 + (x						2	− 7)2 → min
				1							2
	3x			− 2x					≥ 6
3.			1					2
3.	x1			+ x2 ≤11
				− 2x2 ≤ 4
	x1			− 2x2 ≤ 4
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2
	f	= (x			− 8)2 + (x					2		− 4)2 → min
				1						2
	x			− 2x				≥ −12
5.		1				2
5.	x1			+ x2 ≤10

	3x1 − 5x2 ≤ −10
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2

f = (x1 −10)2 + (x2 − 2)2 → min

	x		− 4x		≤ −4
2.		1		2
2.	x1		+ x2 ≤11

	2x1 − x2				≥ 3
	x		≥ 0;x		2	≥ 0
		1			2

f = (x1 − 6)2 + (x2 − 5)2 → min

	3x − 2x				≥ −2
4.		1		2
4.	x1	+ 3x ≤11

	4x1 + x2			≤ 37
	x	≥ 0;x	2		≥ 0
	1		2

f = (x1 +1)2 + (x2 − 2)2 → min

	3x − 2x				≤ 9
6.		1		2
6.	x2	≤ 6
				≥10
	2x1 + x2			≥10
	x	≥ 0;x	2		≥ 0
	1		2

	f	= (x	−10)2 + (x					2	+ 7)2	→ min	f	= (x	−1)2 + (x					+1)2	→ min
		1						2				1						2
	x + 3x				≤ 22						3x − x				≥ 7
7.		1		2						8.		1		2
7.	x1 ≥ 2									8.	2x1 + 3x2 ≤ 27

	2x1 − x2				≤ 9						x1 − 3x2				≤ −3
	x ≥ 0;x				2	≥ 0					x ≥ 0;x				2	≥ 0
		1			2							1			2
	f	= (x	+ 2)2 + (x				2	+1)2 → min			f	= (x	− 9)2 + (x				2	− 4)2	→ min
		1					2					1					2
	x1 + 3x2 ≥ 5										4x1 + 7x2 ≤ 49
9.	5x + 3x ≤ 40									10.	2x + x			2	≤12
		1			2							1		2

	x1 − x2 ≥1										x1 − 2x2				≤ 4
	x ≥ 0;x				2	≥ 0					x ≥ 0;x				2	≥ 0
		1			2							1			2

f = (x1 − 5)2 + (x2 +1)2 → min

	x1		− x2 ≥ −2
11.	3x				+ x	2	≤10
			1
				− 3x2			≤ 0
	x1
	x			≥ 0;x			2	≥ 0
		1

f = (x1 − 6)2 + (x2 − 6)2 → min

	4x		− x		≥ 7
13.		1		2
13.	x1	+ x2 ≤ 8
		− 4x2			≤ −2
	x1	− 4x2			≤ −2
	x	≥ 0;x			2	≥ 0
	1				2

f = (x1 −1)2 + (x2 − 6)2 → min

x1 − x2 ≥ −3

15.≥x2 2

2x1 − x2 ≤12

	x		≥ 0;x			2	≥ 0
		1				2
	f	= (x		− 7)2 + (x				2	−1)2 → min
			1					2
	5x + x					≥ −4
17.			1		2
17.	− x1 + x2 ≥ −4
			+ 4x2 ≤ 24
	x1		+ 4x2 ≤ 24
	x		≥ 0;x			2	≥ 0
		1				2
	f	= (x		+ 2)2 + (x				2	− 7)2 → min
			1					2
	− 3x1 + 2x2 ≤ −6
19.			+ x2 ≤11
19.	x1		+ x2 ≤11
			− 2x2 ≤ 4
	x1		− 2x2 ≤ 4
	x		≥ 0;x			2	≥ 0
		1				2

f = (x1 +1)2 + (x2 − 3)2 → min

	2x		− 5x			≥ −8
12.		1		2
12.	2x1 + x2 ≥ 4
			− x2 ≤ 8
	2x1		− x2 ≤ 8
	x ≥ 0;x			2		≥ 0
		1		2
	f	= (x − 9)					2 + (x	2	−1)2	→ min
			1					2
		3x + x				≤ 26
14.			1		2
14.		x1	− 2x2 ≤ 4
	x
		3x1 − x2 ≥ −2
		x	≥ 0;x			2	≥ 0
		1				2

f= x12 + x22 → min

16.11x1 − 3x2 ≥ 24

− ≤

9x1 110x1 ≥ 4x20;x2 ≥ 0

	f	= (x			− 6)2 + (x						2	+1)2 → min
				1							2
	− 4x1 + 5x2 ≤ 29
18.	3x			− x		2		≤14
		1				2

	5x1 + 2x2 ≥ 38
	x		≥ 0;x				2		≥ 0
		1					2
	f	= (x				− 7)2 + x					2	→ min
				1						2
	3x − 2x ≥ 6
20.			1					2
20.	x1		+ x2 ≤11
			− 2x2 ≤ 4
	x1		− 2x2 ≤ 4
	x		≥ 0;x					2	≥ 0
		1						2

f = x21 + x22 → min

	x1		+ 3x2 ≥ 5
21.	5x				+ 3x		≤ 40
			1			2

	− xx + x2						≤ −1
	x			≥ 0;x		2	≥ 0
		1				2

	f = (x −1)2 + (x − 5)2					→ min
		1			2
	− 3x1 + 2x2 ≤ 2
22.		+ 3x2		≤11
22.	x1	+ 3x2		≤11

	4x1 + x2			≤ 37
	x	≥ 0;x	2		≥ 0
	1		2

	f	= (x		− 5)2 + x					2	→ min		f	= (x		− 5)2 + (x								− 3)2		→ min
			1						2				1									2
	3x − x					≤ 7						3x − 2x ≥ 6
23.			1		2								1					2
23.	2x1 + 3x2 ≤ 27									24. x1 + x2 ≥11

	− x1 + 3x2 ≥ 3											x1 − 2x2 ≤ 4
	x ≥ 0;x					2	≥ 0					x ≥ 0;x						2		≥ 0
		1				2							1					2
	f	= (x		−1)2 + x					2	→ min
			1					2				f = (x		+ 2)						2 + (x			−1)2	→ min
	x		+ 3x			≥ 22						f = (x		+ 2)						2 + (x			−1)2	→ min
	x		+ 3x			≥ 22							1								2
		1	≥ 2		2							− xx + x2 ≤ 3
	x		≥ 2									5x + x3x								≤ 97
25.		1								26.		5x + x3x								≤ 97
	2x1 − x2 ≤ 9												1						2
	2x1 − x2 ≤ 9												1						2
	x ≥ 0;x					2	≥ 0					x1	+ 7x2 ≥ 77
		1				2						x	≥ 0;x						≥ 0
												x	≥ 0;x			2			≥ 0
												1				2
	f	= (x		− 9)2 + (x						−1)2	f	= x21 + x						2		→ min
			1						2								2
	3x − x					≥ 9					x + 4x ≤ 53
27.			1		2					28.		1	2
27.	2x1 + 3x2 ≤ 50									28.	x1 − x2 ≤ 3
													+ 3x2 ≥ 71
	− xx + 4x2 ≥19										7x1		+ 3x2 ≥ 71
	x ≥ 0;x					2	≥ 0				x ≥ 0;x			2		≥ 0
		1				2						1		2

f = (x1 −1)2 + (x2 −1)2 → min

	6x − 5x				≥17
29.		1		2
29.	x1	+ 2x2 ≤ 34

	− 4x1 + 9x2 ≥17
	x	≥ 0;x	2		≥ 0
	1		2

f = (x1 −1)2 + (x2 − 7)2 → min− 3x1 +14x2 ≤ 78

30.5x1 − 6x2 ≤ 26x1 + 4x2 ≥ 26x ≥ 0;x2 ≥ 0

	f	= (x			− 5) + (x					2		−1)2 → min
				1						2
	x1			− 2x2 ≤ −2
31.	7x			− x		2		≥13
			1			2
				+ 3x2 ≤ 21
	x1			+ 3x2 ≤ 21
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2
	f	= (x			+ 2)2 + (x						2	− 7)2 → min
				1							2
	3x			− 2x					≥ 6
33.			1					2
33.	x1			+ x2 ≤11
				− 2x2 ≤ 4
	x1			− 2x2 ≤ 4
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2
	f	= (x			− 8)2 + (x					2		− 4)2 → min
				1						2
	x			− 2x				≥ −12
35.		1				2
35.	x1			+ x2 ≤10

	3x1 − 5x2 ≤ −10
	x			≥ 0;x			2		≥ 0
		1					2

f = (x1 −10)2 + (x2 − 2)2 → min

x1 − 4x2 ≤ −4

32.x1 + x2 ≤112x1 − x2 ≥ 3

x1 ≥ 0;x2 ≥ 0

f = (x1 − 6)2 + (x2 − 5)2 → min

	3x			− 2x			2	≥ −2
34.		1					2
34.	x		+ 3x				≤11
		1			2
	4x1 + x2 ≤ 37
	x		≥ 0;x			2		≥ 0
		1				2

f = (x1 +1)2 + (x2 − 2)2 → min

1− 2x2 ≤ 9

≤

36.x2 6

2x1 + x2 ≥ 10x1 ≥ 0;x2 ≥ 03x

	f	= (x	−10)2 + (x					2	− 7)2	→ min		f = (x −1)2 + (x								2	+1)2	→ min
		1						2					1							2
	x + 3x				≤ 22							3x − x					≥ 7
37.		1		2						38.			1			2
37.	x2 ≥ 2									38.		2x1 + 3x2 ≤ 27
													− 3x2 ≤ −3
	2x1 − x2				≤ 9							x1	− 3x2 ≤ −3
	x ≥ 0;x				2	≥ 0						x ≥ 0;x					2	≥ 0
		1			2							1					2
	f	= (x	+ 2)2 + (x				2	+1)2 → min			f	= (x − 9)2 + (x							2	− 4)2 → min
		1					2						1						2
	x1 + 3x2 ≥ 5										4x1 + 7x2 ≤ 49
39.	5x + 3x ≤10									40.	2x		+ x	2		≤12
		1			2							1		2

	x1 − x2 ≥1										x1 − 2x2					≤ 4
	x ≥ 0;x				2	≥ 0					x ≥ 0;x				2		≥ 0
		1			2							1			2

3.6. ЗНЛП для решения графическим методом

Сформулировать и решить графически задачу нелинейного программирования. Причем f (x) → min. (Варианты даны ниже).

2x + 5y ≤ 30

(x − 2)(y +1) ≤16

+ y

≤ 36

2x + y ≤14

x ≥ 0; y ≥ 0 3.

x ≥ 0; y ≥ 0

x ≥; y ≥ 0

f = x + y

f = (x − 4)2 + (y −8)2

f = 2x + y

(x − 5)2

+ (y − 3)2 ≥ 9

0 ≤ x ≤ 3

y −

x − 4

≤ 3

+ (y − 3)2 ≤ 36

2 ≤ x ≤ 6

(x − 5)2

5x + 3y ≤ 24

≥ 0

x + y ≥ 8;x ≥ 0; y ≥ 0

y ≥ 0

f = x2 + y2

f = x + y

f = x + 3y

x ≥ 3

2x + 5y ≤ 30

≤ 24

+ y ≤14

+ y

≤ 36

3x + 5y

x ≥ 0; y ≥ 0

y ≥ 0

x ≥ 0; y ≥ 0

= −x + 2y

f =

x − 5

+ y

f =

(x − 2)2 + (y − 4)2

(x − 5)2

+ (y − 3)2 ≥ 9

(x − 2)(y +1) ≤16

(x − 5)2

+ (y − 3)2 ≤ 36

10. x ≥ 0; y ≥ 0

11.

x + y ≥ 8

f = (x −

+ (y −1)

≥ 0

x ≥ 0; y

= x + y

0 ≤ x ≤ 3

y −

x − 4

≤ 3

≤ 6

5x + 3y ≤ 24

2 ≤ x

12.

13.

y ≥ 0

≥ 0

f = (x − 4)2 + (y − 4)2

f = (x − 7)2 + (y − 7)2

x ≥ 3

+ ≤

3x 5y 24

y ≥ 0

f = (x − 3)2 + 4(y − 6)2

x2 + y2 ≤ 36 16. x ≥ 0; y ≥ 0

f = (x − 3)2 + (y − 2)2

(x − 5)2 + (y − 3)2 ≥ 9

(x − 5)2 + (y − 3)2 ≤ 36

18. x + y ≥ 8

x ≥ 0; y ≥ 0

f= x2 + y2

y − x − 4 ≤ 3

2 ≤ x ≤ 6

y ≥ 0

f = (x − 4)2 + (y − 2)2

2x + 5y ≤ 30

+ ≤

2x y 14

x ≥ 0; y ≥ 0

f = (x − 6)2 + (y − 2)2

2x + 5y ≤ 30

+ ≤

2x y 14

x ≥ 0; y ≥ 0

f = (x − 7)2 + (y − 7)2

(x − 2)(y +1) ≤16

17. ≥ ≥

x 0; y 0

f = (x − 4)2 + (y − 3)2

0 ≤ x ≤ 3

+ ≤

5x 3y 24

y ≥ 0

f = (x − 3)2 + 4(y − 6)2

x ≥ 3

+ ≤

3x 5y 24

y ≥ 0

f = (x − 4)2 + (y − 4)2

x2 + y2 ≤ 36 23. x ≥ 0; y ≥ 0

f = (x − 4 )2 + (y − 6)2

(x − 5)2

+ (y − 3)2

≥ 9

0 ≤ x ≤ 3

(x − 2)(y +1) ≤16

+ (y − 3)

≤ 36

(x − 5)

5x + 3y ≤ 24

24.

x ≥ 0; y ≥ 0

25.

x + y ≥ 8

26.

f = −x + 3y

y ≥ 0

x ≥ 0; y

≥ 0

f =

x − 5

+ y

= xy

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025181 Кб6Методические указания к РГР.doc
#
10.11.20186 Мб17Методичка Word.doc
#
01.05.20253 Мб7Методичка АД уточненный 2.doc
#
17.04.2015575 Кб15Методичка для Д в 1 семестре.pdf
#
26.09.2019291 Кб8Методичка для заочн. РТ 2011.doc
#
17.04.2015537 Кб186Методичка Зайцева.pdf
#
01.07.20251 Мб3методичка ЗФ. Кр по маркетингу ЭБ.doc
#
01.05.20251 Мб4методичка курсовая по метрологии.doc
#
01.05.2025237 Кб11Методичка МТ-диплом.doc
#
01.07.2025396 Кб3методичка новая УПП.doc
#
29.08.2019568 Кб25методичка новая.doc