РГР Линейная алгебра

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

−6х2 − х3 = −4;

−16х2 = −16.

−16х2 = −16.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.04.2015

Размер:

262 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Вариант №25
x		+	2x		2	−	4x		3	= 0
	1
2x1 − x2 − 3x3 = 0
x		+	3x		2	+	x	3		= 0
	1
Вариант №26
7x		−	6x		2	+	x	3		= 0
	1
4x1 +			5x2					= 0
x		−	2x		2	+	3x		3	= 0
	1
Вариант №27
5x		− 4x			2	+ 2x			3	= 0
	1
			3x2			−	2x3			= 0
4x		+	x	2		−	3x		3	= 0
	1
Вариант №28
6x		+ 5x			2	− 4x			3	= 0
	1
x1 + x2 − x3 = 0
		+ 4x2 + 3x3 = 0
3x1
Вариант №29
8x		+	x	2		−	3x		3	= 0
	1
x1 + 5x2 + x3 = 0
4x		− 7x			2	+ 2x			3	= 0
	1
Вариант №30
x		+	7x		2	−	3x		3	= 0
	1
3x1 − 5x2 + x3 =0
		+ 4x2 − 2x3 =0
3x1

5x − 3x		2	+ 2x		3	= 0
	1
2x1 + 4x2			−	3x3		= 0
3x − 7x		2	+	5x	3	= 0
	1

x		− 8x	2	+	7x	3	= 0
	1
3x1 + 5x2				−	4x3 = 0
4x		− 3x	2	+	3x	3	= 0
	1

−4x1 + 4x2 − x3 = 0;−2x1 +5x2 −5x3 = 0;2x1 − x2 − x3 = 0.

5 x		+	x	−	6x	= 0
	1		2		3
4x1 + 3x2 − 7x3 = 0
x		−	2x	+	x	= 0
1			2		3

2x		−	x	2		+	4x		3	= 0
	1
7x1 − 5x2 + 3x3 = 0
		− 4x2				− x3 = 0
5x1
2x		+	2x		2	−	x	3		= 0
	1
5x1 + 4x2 − 6x3 = 0
3x		+ 2x			2	− 5x			3	= 0
	1

- 23 -

Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Определители. Матрицы»

	−3	2	1	0
	−3	2	1	0
Задание 1. Для определителя =	2	−2	1	4	найти миноры
	4	0	−1	2
	3	1	−1	4
и алгебраические дополнения	элементов		аi2,	a3j. Вычислить

определитель : а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j–столбца; в) получив предварительно нули в i-й

строке. (i=1; j=2).

► Находим миноры для элементов а12 и а32:

2	1	4
М12= 4	−1	2 = – 8–16+6+12+4 – 16= –18;

3−1 4

−3 1 0

М32= 2	−1	4 = –12+12 –12 – 8= –20.
3	−1	4

Алгебраические дополнения элементов а12 и а32 равны:

А12=(–1)1+2М12= – (–18)=18; А32=(–1)3+2М32= – (–20)=20.

а) Вычислим данный определитель по элементам первой строки:

= а11 А11 + а12 А12 + а13 А13 + а14 А14 =

	−2 1		4		2	1	4		2	−2	4
	−2 1		4		2	1	4		2	−2	4
=–3	0	−1	2	–2	4	−1	2	+1	4	0	2	=
	1	−1	4		3	−1	4		3	1	4

= –3(8+2+4 – 4) – 2(– 8– 16+6+12+4 – 16)+(16 – 12 – 4+32)=38;

б) Разложим определитель по элементам второго столбца:

=а12А12+а22А22+а32А32+а42А42=

	2	1	4		−3 1		0		−3	1	0
	2	1	4		−3 1		0		−3	1	0
= –2	4	−1	2	– 2	4	−1	2	+1	2	1	4	=
	3	−1	4		3	−1	4		4	−1	2

= – 2( – 8+6 – 16+12+4 – 16) –2(12+6 – 6 – 16)+
© Н.М. Пекельник	- 24 -

+( – 6+16 – 12 – 4)=38;

в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в первой строке. Используем следствие свойства 4. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме третьего, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

			−3		2	1	0		0	0	1	0		5	−4	4


			2	−2 1			4		5	−4 1		4
=			2	−2 1			4	=	5	−4 1		4	=	1 2 2			=
			4		0	−1	2		1	2	−1	2		0	3	4
			3		1	−1	4		0	3	−1	4		0	3	4
			3		1	−1	4		0	3	−1	4
	0		−14		−6
	0		−14		−6
=	1	2			2	= – (– 56+18) =38. e
	0	3			4
																−4		0	1
																2		−1	3
Задание					2.	Даны				две	матрицы				А=	2		−1	3	,
																3		2	2
																3		2	2
	1			2	−3
		2		0	1
В=		2		0	1	. Найти: а) АВ; б) ВТА; в) А-1; г) АА-1; д) А-1А.
		−2		1	3
		−2		1	3

►а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы

Аравно числу строк матрицы В. Имеем:

	−4 0		1	1	2	−3
	2	−1 3		2	0	1
С=АВ=							=
	3	2	2	−2 1		3

	−4 +0 −2 −8 +0 +1 12 +0 +3				−6	−7 15
	2 −2 −6	4 +0 +3	−6 −1 +9		−6	7	2
=				=				;
	3 + 4 −4	6 +0 + 2	−9 + 2 +6		3	8
							−1

- 25 -

1		2	−2
	2	0	1
б) Найдём ВТ=				.
	−3	1	3

				1 2		−2 − 4 0 1						−6 −6					3
				2	0		1		2	−1	3			−5	2		4
Вычислим ВТА=				2	0		1		2	−1	3		=	−5	2		4	.
				−3 1		3			3	2 2				−1 5 6
				−3 1		3			3	2 2				−1 5 6
в) Обратная матрица А-1 матрицы А имеет вид:
	1	A		A		A					−4		0		1
		A		A		A					−4		0		1
			11	21		31										=39 ≠ 0,
А-1=		A12		A22		A32	,	где		det A=	2		−1		3			т.е.
А-1=		A12		A22		A32	,	где		det A=	2		−1		3			т.е.
	det A		A	A		A					3		2		2
			13	23		33

матрица А-1 существует. Найдём алгебраические дополнения каждого элемента:

А11=	−1				3	= – 8;			А21= –							0		1				=2;											А31=				0		1	=1;
	−1				3											0		1																			0		1
	2				2											2		2																	−1				3
А12=–		2		3		=5;		А22=				−4						1				= –11;											А32= –					−4		1	=14;
		2		3								−4						1																				−4		1
		3		2								3						2																				2		3
А13=	2 −1					=7;		А23= –							−4						0			=8;									А33=			−4				0	=4.
	2 −1														−4						0															−4				0
	3			2											3						2																2		−1
								−8 2							1					−					8		−				2			1
					1			−8 2							1					−							−
					1			5 −11																39				39						39
Тогда А-1=													14					=				−			5		− 3911						1439		;
Тогда А-1=					39								14					=				−			39		− 3911						1439		;
					39			7	8					4										7				8						4

																							39						39					39
			− 4 0 1							−			8					−			2					1				1 0 0
			− 4 0 1							−								−												1 0 0
							−1 3				39									39						39
г) АА-1=					2					−			5					− 3911						1439				=				0 1 0							=Е;
г) АА-1=					2					−			39					− 3911						1439				=				0 1 0							=Е;
					3			2 2			7									8				4								0 0 1

											39								39							39
				1		−8 2					1						− 4 0 1																1 0 0
д) А-1А=				1			5	−11 14										2 −1 3																0 1 0
																																	=							=Е,
			39																														=							=Е,
			39				7	8			4							3						2 2										0 0 1
							7	8			4							3						2 2										0 0 1

т.е. обратная матрица найдена, верно. e
© Н.М. Пекельник	- 26 -

Решение типового варианта индивидуального домашнего задания «Системы линейных алгебраических уравнений»

Задание 1. Дана система линейных алгебраических уравнений

x1 +5x2 − x3 = 3;

2x1 + 4x2 −3x3 = 2;

3x1 − x2 −3x3 = −7.

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

► Совместность данной системы проверим по теореме КронекераКапелли. С помощью элементарных преобразований найдём ранги

основной матрицы А и расширенной матрицы A .

	1	5	−1		3			1 5		−1	3
	1	5	−1		3			1 5		−1	3
			−3	2					−6	−1	−4	~
2 4			−3	2		~ 0			−6	−1	−4	~
	3	−1	−3	−7				0	−16 0		−16
	3	−1	−3	−7				0	−16 0		−16

	1	−1	−5		3
	1	−1	−5		3
		−1	−6		−4
0		−1	−6		−4		.
	0	0	−16		−16
	0	0	−16		−16

Следовательно, RangA=Rang

=3=r;

число

неизвестных n=3;

r = n,

следовательно, исходная

система

совместна

имеет

единственное решение.

а) Решим её по формулам Крамера:

х =

1 ;

2 ; х

3 , где

−1

−3

= −16 ;

1 =

−3

= 64 ;

−1 −3

−7 −1 −3

- 27 -

	1	3	−1			1	5	3
	1	3	−1			1	5	3
2 =	2	2	−3	= −16 ;	3 =	2	4	2	= 32 ; х1= –4, х2=1,
	3	−7	−3			3	−1	−7

х3= –2.

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме:

						1 5 −1									x										3
																	1										2
A =							2 4 −3 ;						X = x2							;	B =						2	.
							3 −1 −3								x												7
																	3
						Найдём обратную матрицу А-1 (она существует,																													т.к.			=detA= –
16 ≠ 0):																						−1													−1
А11=						4				3		= –15;	А21= –							5						=16;				А31=			5					= –11;
						4				3										5													5
						−1				−3									−1		−3												4		−3
А12= –								2		3		= –3;	А22=			1				−1			=0;						А32= –		1				−1		=1;
								2		3						1				−1											1				−1
								3		−3						3				−3												2			−3
А13=					2					4	= –14;		А23= –					1			5				=16;					А33=				1	5	= –6.
					2					4								1			5													1	5
					3				−1									3			− 2													2	4
															1		−15							16					−11
												А-1=			1					−3 0								1
																														.
														−16																.
														−16						−14				16					−6
																				−14				16					−6
Решение системы в матричной форме имеет вид: Х=А-1В.
				1					−15			16	−11				3							1					−45 +32 + 77
				1						−3 0														1						−9 −
Х=													1							2	=														7			=
Х=			−16										1							2	=														7			=
			−16							−14 16			−6												−16
										−14 16			−6				−7												−42 +32 + 42
−4
		1
		1				.

	−2

Из полученной матрицы имеем решение системы: х1= –4, х2=1, х3= –2.

- 28 -

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим х1 из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим: х1= –4, х2=1, х3= –2. Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений

2x1 −3x2 + x3 = 2;3x1 + x2 −3x3 =1;5x1 −2x2 −2x3 = 4.

► Проверяем совместимость системы с помощью теоремы КронекераКапелли. Для этого найдём ранги основной и расширенной матриц:

~		2	−3 1				2		1	−3	2	2		1	−3	2	2
		2	−3 1				2		1	−3	2	2		1	−3	2	2
		3		1 −3			1		−3	−1	3	1			−8	9	7	~
A =		3		1 −3			1	~	−3	−1	3	1	~ 0		−8	9	7	~
		5	−2 −2				4		−2	−2	5	4		0	−8	9	8
		5	−2 −2				4		−2	−2	5	4		0	−8	9	8
		−3
	1			2	2
	1			2	2
		−8		9	7
~ 0		−8		9	7	.
	0	0		0	1
	0	0		0	1

Rang A=2, Rang A =3, т.е. Rang A ≠ Rang A , таким образом, исходная система несовместна. e

Задание 3. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

2х1 −4х2 +5х3 = 0;

х1 +2х2 −3х3 = 0;3х1 − х2 +2х3 = 0.

► Для однородной системы Rang A=Rang A , поэтому она всегда совместна.

- 29 -

Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы был равен нулю.

		2	− 4	5
		2	− 4	5
Найдём определитель системы:	=	1	2	−3	≠ 0 ,
		3	−1	2

следовательно, исходная система имеет нулевое решение: х1=х2=х3=0. e

Задание 4. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений

3х		+ 4	х	2	− х	= 0;
	1			2	3
х1	−3х2 +5х3 = 0;
4х		+ х	2	+ 4х		= 0.
	1		2		3
								3	4	−1
								3	4	−1
► Найдём определитель			системы:				=	1	−3	5	= 0 ,
								4	1	4

следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Решим данную систему по формулам Крамера в общем виде. Возьмём любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдём её решение. Имеем:

3х1 +4х2 − х3 = 0;х1 −3х2 +5х3 = 0.

Т.к. определитель из коэффициентов при неизвестных х1 и х2 (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и переместим члены с х3 в правые части уравнений:

3х1 +4х2 = х3 ;

х1 −3х2 = −5х3.

Решаем последнюю систему по формулам Крамера:

=	3	4	= −13 ,	1	=	х3	4	=17х3,	2	=	3	х3	= –

	1	−3				−5х −3					1	−5х
							3					3

16х3.

- 30 -

Отсюда находим, что х1= – 1713 х3 , х2= 1613 х3 . Полагая x3=13k, k– произвольный коэффициент пропорциональности, получаем решение исходной системы:x1= –17k, x2=16k, x3=13k. e

- 31 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.201942 Кб8Расчетно-аналитическая работа (2).docx
#
15.11.20182 Мб9Расчетно-аналитическая работа 07.11.doc
#
17.04.2015254 Кб60РГР Аналитическая геометрия.pdf
#
22.03.201637 Кб22РГР Вариант 3 СТАТИСТИКА.doc
#
17.04.2015163 Кб84РГР Векторы.pdf
#
17.04.2015262 Кб22РГР Линейная алгебра.pdf
#
22.03.2016472 Кб17РГР Неопределенный интеграл(1).pdf
#
01.05.2025343 Кб4РГР по грузоведению Кулешов Д-212.doc
#
17.04.2015362 Кб21РГР Построение тел.pdf
#
01.03.202571 Кб3РГР РЕВИЗИЯ Юля.doc
#
17.04.201516 Кб32ргр титульник.docx