Белов+В.Н.Определенный+интеграл

примере 9. Найдем значения t, при которых кривая пересекает ось

OX (т. е. y = 0): t = 0, t = −1, t = 1. При t = t x = √3, но и

√0 2 2 √ 1 1 √

при t = t2 x2 = 3. Поскольку x1 = x2 = 3, то точка ( 3; 0) — точка пересечения ветвей кривой (рис. 26).

Рис. 26

В силу симметрии кривой относительно оси OX достаточно вычислить длину верхней половины дуги. Тогда, согласно форму-

достаточно в найденную функцию l(τ) вместо τ подставить 2π:

L = l(2π) = 4a(1 − cos π) = 8a.

Найдем координату yA = y(t0) точки A. С одной стороны, lOA = (1/3)L = 8a/3. С другой стороны, lOA = l(t0) = = 4a [1 − cos(τ/2)] τ=t0 = 4a[1 − cos(t0/2)]. Отсюда получаем

уравнение 4a [1 − cos(t0/2)] = 8a/3, которое разрешимо относительно cos(t0/2): cos(t0/2) = 1/3. Тогда из уравнения циклоиды

yA = y(t0) = a (1 − cos t0) = 2a sin2(t0/2) = 2a[1 − cos2(t0/2)] = 2a [1 − (1/3)2] = 16a/9.

Следовательно, уравнение искомой прямой y = 16a/9. I Пример 24. Найти точку A, делящую дугу кардиоиды ρ =

= a(1 − cos ϕ), ϕ [0; π], a > 0 на две равные по длине части (рис. 28).

Рис. 28

J С помощью формулы (15) найдем длину дуги кардиоиды при

найдем подстановкой π вместо τ в функцию l(τ): L = l(π) = 4a. Пусть искомой точке A, д´eлящей дугу кардиоиды на две равные части, отвечает значение угла ϕ0. Тогда должно выполниться равенство l(ϕ0) = L/2, порождающее уравнение 4a[1 −cos(ϕ0/2)] = 2a

32

ренцируемые на отрезке [α, β] функции, то

Если же кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(ϕ), где ϕ [α, β], ρ (ϕ) — непрерывно дифференцируе-

числения площади поверхности, образованной вращением кривой ρ = ρ(ϕ) вокруг полярной оси:

щью выражения (17) вычислить отдельно каждое из слагаемых:

P1 = 2π Zb |y1(x)| q1 + (y10 (x))2dx = y10 (x) = x = y1(x) = 1

a

= 2π Z1 |x| √2dx = √2πx2 1 = √2π,

0

0

34

x = t2

нием вокруг оси OX дуги кривой y = t(t2 − 3)/3 , заключенной между точками пересечения ее с осью OX (рис. 31).

35

J Построение аналогичной кривой подробно рассмотрено в примере 9. Эта кривая симметрична относительно оси OX. Найдем ее√точки пересечения с осью OX: y = 0 при t = 0 или t = ± 3. Полную поверхность получим в результате вращения верхней части кривой, соответствующей изменению параметра t от −√3 до 0:

вокруг касательной, проведенной к кривой в ее верхней точке (рис. 32).

Рис. 32

J Касательную в точке A (для которой t = π) описывают уравнением y = 2a. Перенесем ось OX вверх на 2a, т. е. в положение прямой y = 2a. В новых координатах циклоиду задают уравнени-

36

Рис. 33 Рис. 34

Пример 30. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением части кривой ρ = 2a sin ϕ, ϕ [0; π/6] вокруг луча ϕ = π/2, a > 0 (рис. 34).

Zb Zβ q

POY = 2π |x| dl = 2π |ρ(ϕ) cos ϕ| ρ2(ϕ) + (ρ0(ϕ))2dϕ =

aα

3. ЗАДАНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задача 1. Вычислить площадь фигуры, которая расположена на плоскости OXY.

Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру.

1.y = 2√x − 1, y = x − 1.

2.y = 2 ln x, y = ln(x + 2), x = 4.

3.y = arctg x и прямая, проходящая через начало координат и точку с абсциссой x = 1 на заданной линии.

4.x = 4, y = ln x и касательная к этой линии в точке ее пересечения с осью OX.

38

5.y = e−x, y = e−2x − 2, x = 0.

6.y = arcsin x, касательная к этой линии в начале координат и прямая x = 1.

7.y = √x + 4, y = 2 − √x, y = 0.

8.y = arctg x, y = arctg(2x − 4), y = 0.

9.y = −4, y = ln x и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью OX.

16.y = arcsin x и прямая, проходящая через концы этой линии.

17.y2 = x + 2, y2 = 4 (3 − x).

18.x = 0, y = ex − e и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью OX.

29.y = xe2x, y = xe−2.

30.y = arcsin x, y = arctg 2x.

Задача 2. Фигура, расположенная на плоскости OXY, вращается около координатной оси. Вычислить объем полученного тела вращения.

Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру, и ось вращения.

39