тест 2 введение в мат.анализ

Следовательно, начиная с n=499, все члены последовательностей будут попадать в заданный интервал, а значит за его пределами находится 498 членов.

4. Найти предел функции

. Для раскрытия неопределенности необходимо выделить в числителе и знаменателе критический множитель x-3.

Т.к. а то получим предел

5. Вычислить . Чтобы выделить в числителе и знаменателе дроби критический множитель (x-3), умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, а именно и числитель разложим на множители

6. Вычислить при непосредственной подстановке получим неопределенность , т.к. и

В этом улучае можно свести предел ко второму замечат. пределу

6. Является ли функция непрерывной?

Функция является непрерывной на каждом из заданных промежутков, поэтому она может иметь разрыв в точке x=3. Исследуем функцию на непрерывность в точке x=3.

Функция y=f(x) является непрерывной в точке если предел функции в x₀ точке равен значению функции в данной точке, т.е.

Вычислим односторонние пределы функции в точке x=3,

Т.к. односторонние пределы не равны, то функция не имеет предела в точке x=3 и терпит разрыв первого рода.

Точка является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные неравные односторонние пределы.

Следовательно, функция f(x) не является непрерывной.

6. Будет ли функция принимать значение, равное нулю на отрезке ?

Для решения применим первую теорему Больцано-Коши:

Если функция f(x) является непрерывной на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка из , в которой функция f(x) обращается в нуль.

Во-первых, данная функция является непрерывной.Во-вторых, принимает на концах отрезка значения разных знаков f(0)=-2, f(2)=8. Следовательно, по теореме Больцано-Коши найдется хотя бы одна точка внутри отрезка , в которой f(x)=0.

6. Доказать, что функция эквивалентна функции

Определение. функции

6. Студент должен уметь пользоваться логическими символами; кванторами всеобщности и существования; заменять одно утверждение на другое, эквивалентное ему, свободно читать записать математическое предложение.

Например, запись

читается: для любого положительного числа найдется положительное число , зависящее от , что для всех значений аргумента из области определения, входящих в - окрестность точки выполняется неравенство для значений функции . Это определение предела функции в точке , которое в предельной форме запишется, как