МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

3 . Г, В├А и Г├В, то Г├А (выводимые гипотезы можно исключать из списка гипотез, при этом выводимость данной формулы не нарушается).

Доказательство: Нужно в данный вывод формулы А подставлять вместо В ее вывод из Г, получим тем самым вывод формулы А из Г.

4 . Если из Г├А и А├В, то Г├В ( свойство транзитивности вывода).

Доказательство: В выводе А├В каждое вхождение формулы А следует заменить ее выводом из Г (Г├А), в результате получится искомый вывод.

5 . Если из Г, А, А├В, то Г, А├В (свойство сокращения). Доказательство: Повторяющиеся гипотезы из списка можно исключать. Данный вывод будет и искомым.

6 . Если из Г, А, В├С, то Г, В, А├С (свойство коммутативности). Гипотезы в списке можно менять местами.

Теорема дедукции

(Доказал венгерский математик ЭРБРАН).

Эта теорема позволяет упростить многие доказательства. Т. Если Г, А├В, то Г├А В.

Г, А├В

Г├А В

Суть теоремы заключается в следующем: если из посылок А (множество гипотез Г может быть пустым) выводимо по правилам логики некоторое заключение В, то импликация А В доказуема, т.е. выводима уже без всяких посылок, из одних аксиом, которые являются логически истинными предложениями. В процессе доказательства позволяет вводить допущения, а потом освобождаться от них.

Дано: дан вывод формулы В из Г, А.:

(1)F1, F2, …, Fn=B.

Доказать: формула А В выводима из множества гипотез

Г.

31

Доказательство: Построим вспомогательную последовательность формул:

(2) А F1, А F2, …, А Fn=А B. Она заканчивается нужной нам формулой. Докажем, что дополнив последовательность (2) некоторыми подходящими формулами, мы сможем получить из нее искомый вывод.

Доказательство будем проводить М.М.И. по длине вывода n формулы В.

I. Построение базиса математической индукции. Пусть n=1.

Дано: Г, А├В, длина вывода формулы В равна 1, т.е. F1=В.

Доказать: выводима формула А F1 (Г├А F1). Возможны случаи: F1 является либо аксиомой, либо гипо-

тезой из Г, либо совпадает с А. Рассмотрим их. (Для определенности знак выводимости будем опускать).

1) F1 – аксиома. Требуется получить: Г├А F1. Построим

Вывод аналогичен предыдущему.

3) F1 совпадает с А. Надо доказать: Г├А А. Вывод формулы ├ А А построен (см. пример 1 – 5 формул). По свойству 2 можно записать Г├ А А.

II. Индуктивный шаг.

32

Предположим, что теорема дедукции верна для любого n<k, т.е. для всех n<k из Г├А Fn.

Докажем, что тогда при n=k из Г├А Fk, или Г├А В. Возможны 4 случая:

1) Fk – аксиома. Требуется получить: Г├А Fk. Запишем вывод, который аналогичен п1 при построении базиса:

Вывод аналогичен предыдущему.

3)Fk совпадает с А. Надо доказать: Г├А А. Вывод формулы ├ А А построен (см. пример 1 – 5 формул). По свойству 2 можно записать Г├А А.

4)Fk получается из двух предыдущих формул Fi и Fj (где i, j<k) по правилу МР. Будем для определенности считать, что Fi

–малая посылка, Fj – большая посылка. Следовательно,

Fj=Fi Fk. Запишем последовательность формул:

А2: А (В С) ((А В) (А С)). Сделаем переобозначение

33

Впоследовательность (2) следует вставить формулы 1 и 3,

аостальные в ней уже есть. По принципу математической индукции теорема справедлива для любого натурального n:

Г├А Fn=А B.

Пример: доказать, что в (ИВ) выводима формула: (А В) ((В С) (А С)).

1)А В, В С, А├С – из предыдущего примера. Применим теорему дедукции; роль Г: А В, В С, получим:

2)А В, В С├А С – еще раз применим теорему дедукции, Г: А В

3)А В├(В С) (А С) еще раз применим теорему дедукции:

Располагая правилом МР: A, A B , которое теперь мож-

B

но записать в виде А В, А├В и теоремой дедукции ТД: если Г, А├В, то Г├А В (первое из них можно назвать удалением импликации, а второе – введением импликации) знаки выводимости и импликации можно взаимозаменять: ├ . Тогда все теоремы и аксиомы можно записать и применять еще в другом виде. Например,

(А3): B A A B

B A ├ A B .

Доказывая теорему дедукции, мы использовали (А1) и (А2). Если теперь формулу, выражающую ТД объявить аксиомой, то тогда окажется, что (А1) и (А2) можно доказать как теоремы.

Пусть ТД верна: Г, А├В, то Г├А В. Докажем (А1): ├ А (В А). Выполним анализ:

Надо доказать выводимость:

А (В А)

по ТД достаточно доказать

А├В А

по ТД достаточно доказать

34

Докажем (А2): выполним анализ: ├ А (В С) ((А В) (А С))

А (В С), А В, А├С.

Анализ позволяет заменить задачу более простой. Перепишем все гипотезы и построим доказательство:

6. А (В С)├(А В) (А С) 5, ТД; 7.├ А (В С) ((А В) (А С)) 6, ТД.

Производные правила вывода

Следующим шагом на пути построения формализованного исчисления высказываний является выявление дальнейших закономерностей процесса выведения одних формул из других и формулирование таких закономерностей в виде правил вывода. Получаемые вторичные правила вывода носят названия произ-

водных правил вывода (вторичных).

Эти правила называются правилами удаления или введения логических связок. Введем новые логические символы в качестве сокращения некоторых формул:

А В ~ A B,

35

А В ~ A&B.

ПРОИЗВОДНЫЕ ПРАВИЛА ВЫВОДА

1. Г, А├В

Г├А В

Доказано, т.к. это теорема дедукции.

2.Г├А В

Г, А├В

Разновидность записи правила МР

1)Г├А В……………........дано

2)Г, А├А В………………из 1) по 2

3)Г, А├А…………………...из 2) по 1

4)Г, А├В…………………...из 2), 3) по МР.

3.Г├А

Г├ А

1)Г├А……………………...дано

2)├ А А ………………….пример 5 из пред. лекции

36

3)Г├ А А ………………...из 2) по 2

4)Г├ А ……………………...из 1), 3) по МР.

4.Г├ А Г├А

1)Г├ А …………………….дано

2)├ А А…………………пример 4 из пред. лекции

3)Г├ А А………………..из 2) по 2

4)Г├А……………………...из 1), 3) по МР.

5.Г, В ├ А

Г, А├В

1)Г ,В ├ А …………………….дано

2)├ B A A B ………..А3

3)Г, А├ B A A B ……из 2) по 2

4)Г├ B A ……………………из 1) по ТД

5)Г, А├ B A …………………из 4) по 2

6)Г, А├ А В ………………….из 3), 5) по МР

7)Г, А├А………………………..по 1

8)Г, А├В……………………….из 6), 7) по МР.

6.Г, А├В

Г, В ├ А

1)Г, А├В……………………….дано

2)В├B …………………………вв.

3)Г, А├ B ……………………… из 1), 2) по 4 (транзитивн.)

4)Г , А, А ├ B ………………….. из 3) по 2

5)Г , А ├А.………………………уд.

6)Г , А ├ B ……………………...из 4), 5) по 3

7)Г , В ├ А ………………………из 6) по обрат. контр.

37

38

11)Г , С ├ А В ……из 6), 10) по 4

12)Г , А В ├С…….обратн. контрапозиция

13)Г, А В├С…………сокращение –ей.

Замечания:

1) Правила введения и удаления двойного отрицания иногда записывают в виде:

Г , А ├А.……………уд.

Г, А├ А ……………..вв. .

2) Правило введения & иногда записывают в виде:

Г, А, В├А&В.

Пример. Доказать выводимость формулы: ├ А&B A B .

Анализ. В анализе мы используем правила удаления или введения логических символов, законы контрапозиции в об-

ратном порядке.

7) ├ А& B A B

6) А& B ├ A B

5) А& B ├ A B 4) А& B , A├ B

39

1)1

2)удаление

3)введение & из 1) и 2)

4)ПК

5)введение

6)сокращение – ей

7)ТД

40