Часть I.3. Индивидуальная работа

Ряды

Фурье

20.

Определение

(Условия Дирихле)

Говорят,

что

функция

f x

удовлетворяет

условиям

Дирихле в

интервале a ;

a 2 l

длины T

2 l , если в этом интервале:

1.

функция

f x

кусочно-монотонна

(имеет

конечное

число

экстремумов);

2.

функция

f x

непрерывна,

за

исключением

конечного

числа

точек x i разрыва первого

рода,

т.е.

в точках

x i

существуют

конечные пределы:

lim

f x

f xi 0 предел

справа

,

x xi 0

lim

f x

f xi 0 предел

слева .

x xi 0

21. Определение (Ряд Фурье)

Рядом

Фурье

периодической

функции

f x

с

периодом T

2 l

называется тригонометрический ряд

k

k

a0

ak cos

x

bk sin

x

,

2

l

l

k 1

где

1

l

k

f x

k

2,

a

cos

x

dx

0, 1,

,

k

l

l

l

l

1

k

bk

f x

sin

x

dx

k

1, 2, .

l

l

l

Числа

ak ,

bk

называют коэффициентами Фурье.

23. Теорема (Дирихле)

Если

периодическая

функция

f x

(периода

T

2 l )

удовлетворяет

в интервале

l ;

l условиям

Дирихле,

то ряд

Фурье

функции f x

сходится для любого

x l ;

l , его сумма

S x равна:

для всех точек, в которых функция f x непрерывна;

2.

S x

1

f x 0 f x 0

,

i

2

i

i

где

xi

точка разрыва 1-го рода функции f x ;

3.

S l S l

1

f l 0 f l 0

2

Если доопределить функцию в точках разрыва

xi

и на

концах

промежутка l

; l

соответствующими значениями

суммы

ряда

Фурье

S x ,

т.е. принять

f x

1

f x 0 f x 0

;

i

2

i

i

f l f l

1

f l 0 f l 0

,

2

то можно считать, что при выполнении условий Дирихле ряд Фурье

функции

f x

сходится к ней для любого x

:

bk 0

k 1, 2,

.

Ряд Фурье для четной функции

содержит только свободный

f x

a0

ak cos k

x

,

2

k 1

где

2

ak

f x cos k x dx

k

0,

1, 2, .

0

26. Ряд Фурье для нечетных функций

Если f x — нечетная функция периода T

2 l , то:

ak 0

k 0, 1, 2, ;

Ряд Фурье для нечетной функции периода T

2

имеет вид:

f x

bk sin k x

,

k 1

где

2

bk

f x sin k x

dx

k

1,

2, 3, .

0

27. Определение (Функция с «двойной симметрией»)

Если функция

f x периода T

2 l

четная или

нечетная

и

удовлетворяет условию

f l x f x ,

то говорят, что функция

f x обладает «двойной симметрией».

График функции с «двойной симметрией» симметричен

относительно прямой

x

l

.

2

28. Ряд Фурье функций с «двойной симметрией» периода

T 2 l

:

0 ,

k

2n 1

нечетное

;

l

n 1, 2, .

ak

4

2

2n

f x cos

x dx

, k 2n

четное .

l

0

l

0 ,

k

2n

четное

;

l

bk

n 1, 2,

4

2

2n 1

f x sin

x dx , k

2n 1

нечетное.

l

0

l

29.

Ряд Фурье для функций с «двойной симметрией» периода T

2

f x

a0

a2n cos 2n x ,

2

n 1

где

a2 n

4

2 f x cos 2n x dx

n 0, 1,

2, .

0

2.

Ряд Фурье для нечетной функции с «двойной симметрией»,

периода T 2 , имеет вид:

f x

b2n 1 sin 2n 1 x

,

n 1

где

b2n 1

4

2 f x sin 2n 1 x dx

n 1,

2, .

0