Подготовка по физике

Операторы физических величин

3.5. Собственные функции и собственные значения операторов

Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая

величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им

собственных значений оператора .

Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

(3.43)

,

то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением.

Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора.

для соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

(3.44)

Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются

возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов.

В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько

собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения.

Из (3.43) следует, что собственные функции, вообще говоря, определены с точностью до некоторой постоянной, значение которой обычно выбирают из условия нормировки собственных функций.

Докажем, что собственные числа операторов физических величин в квантовой механике всегда являются действительными числами, и это свойство обусловлено самосопряженностью операторов. Действительно,

пусть - самосопряженный оператор, а - его собственная функция, соответствующая собственному значению . По определению, функция является решением уравнения

(3.45)

.

Выполнив здесь операцию комплексного сопряжения, получим

(3.46)

.

Если в соотношении (3.42), которое для самосопряженного оператора выполняется тождественно,

положить , то в результате получим интегральное соотношение

(3.47)

,

которое с учетом (3.45) и (3.46) преобразуется к виду

(3.48)

.

Отсюда следует, что , т.е собственные значения самосопряженных операторов всегда являются действительными величинами.

Докажем важное свойство ортогональности собственных функций квантовомеханических операторов.

различным собственным значениям и , то они являются решениями следующих уравнений

(3.49)

.

Условие (3.42) самосопряженности оператора , записанное для функций и принимает вид

(3.50)

.

Отсюда с учетом (3.49) получаем

(3.51)

.

Так как для самосопряженного оператора , то (3.51) преобразуется к виду

(3.52)

.

Если , то , и из (3.52) получаем условие ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям,

(3.53)

.

Если волновые функции и считать нормированными на единицу, то условие ортогональности (3.53) собственных функций может быть записано как условие ортонормированности

(3.54)

,

где символ Кронекера , и .

В математической теории линейных самосопряженных операторов доказывается, что система собственных функций квантовомеханических операторов является полной системой функций. Это означает,

что всякая волновая функция , определенная в той же области переменных, что и собственные функции оператора, может быть разложена по собственным функциям, то есть представлена в виде ряда

(3.55)

.

Коэффициенты этого разложения (в общем случае комплексные) можно определить, воспользовавшись

ортогональностью собственных функций. Действительно, умножим ряд (3.55) на и проинтегрируем по всему пространству. Тогда, изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

(3.56)

.

Если оператор имеет непрерывный спектр собственных значений , лежащих в интервале , то в разложении любой волновой функции по собственным функциям суммирование переходит в интегрирование. Поэтому

(3.58)

,

и непрерывное множество коэффициентов определяется по формуле

(3.59)

.

4. Уравнение Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в

рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрѐдингера.

Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрѐдингера запишется в виде:

где , — постоянная Планка; — масса частицы, — внешняя по отношению к

частице потенциальная энергия в точке в момент времени , — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

5.Решение уравнения Шредингера для свободных микрочастиц с определенным вектором p (волны де-Бройля). Частицы в бесконечной потенциальной яме. Квантование энергии связанных частиц

Движение свободной частицы Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную

частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид

(219.1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция y(х) = Аеikx , где А = const и k = const, с собственным значением энергии

(219.2)

Функция представляет собой только координатную часть волновой функции Y(x, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция:

волну де Бройля.

Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса

оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными. На всякий случай:

Частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде

(220.1)

По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

(220.2)

В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению

или

(220.3)

где

(220.4)

Общее решение дифференциального уравнения (220.3):

Так как по (220.2) y(0)=0, то В=0. Тогда

(220.5)

Условие (220.2) y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы

(220.6)

Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что

(220.7)

т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

Стационарное уравнение Шрѐдингера

Форма уравнения Шрѐдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой

части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрѐдингера (1) при подстановке в него указанной выше

формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрѐдингера (уравнение Шрѐдингера, не содержащее времени).

6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 5.4) для одномерного (по оси х) движения частицы.

Рис. 5.4

Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можно записать:

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером при E > U, либо отразится от него (E < U) и будет двигаться в обратную сторну, т.е. она не может проникнуть через барьер.

Для микрочастиц же, даже при E < U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E > U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области x > l, т.е. проникнет сквозь барьер. Такой вывод следует непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при данных условиях задачи.

Уравнение Шредингера для состояний каждой из выделенных областей имеет вид:

.

Общее решение этих дифференциальных уравнений: