МК_Справочник_том_1

ãäå Ê - отношение теплоемкостей для продуктов взрыва; qm удельная массовая энергия (теплота сгорания) взрывчатой смеси стехиометрического состава, кДж/кг; P0 - атмосферное давление (нормальное значение 101,3 кПа).

Скорость движения фронта детонационной волны, м/с

Dä = 2000(K 2 - 1)qm .

При аппроксимации фазы сжатия треугольником эффективное время tý , с, действия детонационной волны при 0,3 £ r/r0 £ 1

ãäå r - расстояние от центра облака ГПВС, м.

На вертикальную конструкцию, расположенную в пределах облака ГПВС, действует избыточное давление отражения, значение которого приблизительно в 2,5 раза больше давления на фронте детонационной волны [16], а эффективное время действия в 1,25 раза меньше, чем рассчитанное по формуле (5.3).

При достижении детонационной волной поверхности облака ГПВС в окружающем воздухе начинает распространяться воздушная ударная волна (ВУВ), давление на фронте которой определяется в зависимости от приведенного расстояния

R, ì/êÄæ1/3,

ãäå Å - полная энергия, выделяющаяся при детонации ГПВС, кДж,

E = rñòõqmV.

Избыточное давление на фронте ВУВ, кПа:

Продолжительность фазы сжатия t+ , с, и удельный импульс ВУВ i, Í·ñ/ì2, определяются по формулам:

t+ » 0,35 ×10−3 6 2E r ;

i » 0,36 3 (2E)2 / r .

Значение импульса при отражении от преграды увеличивается в среднем в 3 раза.

261

5.2. ÌЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

5.2.1. Экспериментальные методы определения динамических характеристик материалов. В динамически нагруженных конструкциях металл находится в сложном напряженно-деформированном состоянии, изменяющемся во времени. Проявляющиеся при этом свойства могут существенно отличаться от статического поведения (при низких скоростях деформации). Для определения этих свойств используют специальное оборудование и малоинерционную аппаратуру, регистрирующую быстроизменяющиеся напряжения и деформации. Сложности при анализе динамических испытаний металлов возникают в связи с волновыми процессами в образцах, когда инерционные силы накладываются на внутренние усилия, характеризующие свойства материалов. Поэтому результаты опытов анализируют на основе теории волновых процессов с использованием предположительно описывающих реологию материалов математических моделей, выбор которых в значительной степени основывается на макроскопических экспериментальных фактах и интуиции.

Изучение механических свойств начинают со статических испытаний. Затем в динамических опытах устанавливают некоторые корректирующие коэффициенты или функции. Основным типом статического эксперимента является одномерный опыт, в котором образец подвергают осевой деформации растяжения. В опытах, проводимых при малых скоростях относительной деформации ε• ~ 10−4 ñ−1 и постоянной температуре, измеряют деформации и напряжения и строят соответствующую изотермическую зависимость (диаграмму) напряжение–деформация σ – ε. Зависимость касательных напряжений от угловой деформации строят на основе экспериментов на чистый сдвиг, реализуемых при кручении трубчатых образцов.

Аналогичные опыты в режиме циклических нагрузок проводят в целях построения полной (знакопеременной) диаграммы, а также для изучения малоцикловой усталости. В опытах на ползучесть к образцу прикладывают ступенчатую нагрузку и фиксируют накопление деформаций во времени. В опытах на релаксацию образец скачком деформируют на некоторую величину и фиксируют уменьшение напряжений во времени. Опыты на циклическое нагружение, ползучесть и релаксацию в определенных диапазонах являются неизотермическими, сопровождаются инерционными эффектами и относятся к динамическим.

Динамические эксперименты представляют интерес, если при быстром нагружении проявляются временнь′×е (скоростные) эффекты и поведение материала заметно отличается от статического. Динамические эксперименты более сложны, чем статические, и обычно проводятся по одномерной схеме в режимах постоянной скорости средней деформации, постоянной скорости напряжения, внезапно приложенного постоянного напряжения и удара. В таких экспериментах в образце реализуется сложное напряженное состояние, однако для рабочей части образца при обработке результатов испытаний принимают гипотезу однородности (гомогенности) деформаций и напряжений в направлении действия внешней нагрузки. Такую гипотезу используют почти во всех динамических испытаниях, которые называются квазистатическими (неволновыми). При постановке квазистати- ческих экспериментов необходимо соблюдать требования, обеспечивающие достаточно реальный уровень гомогенности.

В опытах при постоянной скорости растяжения (сжатия) регистрируют изменения во времени t напряжений σ(t) и деформаций ε(t). Затем, исключая t, строят динамическую диаграмму σ−ε металла.

Для сталей с явно выраженной площадкой текучести, чувствительных к скорости деформации, регистрируют зависимость времени запаздывания динамической

262

текучести t от напряжения, превышающего статический предел текучести sò . Такие эксперименты проводят в режиме внезапно приложенного постоянного напряжения s(t) = const > sò .

Распространенным видом динамических испытаний образцов сталей в режиме постоянной скорости в диапазоне скоростей деформации до 20 с−1, соответствующих условиям их работы в динамически нагруженных конструкциях, является их быстрое растяжение (сжатие) на разрывной машине при постоянной скорости v задающего привода машины, а также на копровой установке при скорости удара v достаточно большой массы.

Данные испытаний образцов представляют в зависимости от скорости средней относительной деформации e• на базе измерений L0. Переход от скорости v ê e•

ãäå L0, F0 - начальные рабочая длина, и площадь сечения образца; s• - скорость напряжения в рабочей части образца; K1, K2 - жесткость привода машины и жестких участков образца, работающих упруго.

При упругой работе образца s• = Ee• и скорость деформации e• будет

ãäå E - модуль Юнга; K0 жесткость рабочей части образца; F2, L2 - площадь се- чения и суммарная длина жестких участков образца; K1 определяется согласно паспорту испытательной установки или из опыта.

В пластической стадии работы образца закон Гука неприменим и функция s•(t) неизвестна. Если предположить, что динамическая зависимость s-e при v(t) = const соответствует диаграмме Прандтля (без деформационного упрочнения), то в пластической стадии s• = 0 è e• = v/ L0, т.е. упругая деформация всей системы заморожена, что приводит к увеличению скачком скорости деформации e• при переходе через предел текучести. Отсюда видно, что режим постоянной скорости деформации строго неосуществим и, чтобы уменьшить влияние деформативности нагружающей цепи, следует применять образцы с возможно малой площадью сечения F0 .

Кроме того, в целях поддержания некоторой допустимой степени неоднородности напряжений и деформаций по длине образца, следует ограничить длину его

рабочей скорости v захвата машины (или скорости удара копровой установки) к критической скорости vê = sò / rE , вызывающей начало пластического дефор-

мирования.

По данным [5] для надежной фиксации динамического предела текучести рекомендуется принимать a0 = 0,04.

Важное место в оценке сопротивляемости металла хрупкому разрушению занимают ударные испытания по оценке вязкости разрушения. Однако данные по ударной вязкости не могут быть явно включены в уравнения динамики сооружений и служат в основном для выбора материала конструкций, работающих под

263

воздействием динамических нагрузок. Подробный обзор методов динамических испытаний металлов с указаниями по выбору опытных образцов приведен в [4, 5].

5.2.2. Динамический предел текучести и запаздывание текучести конструкционных сталей. Динамические свойства малоуглеродистых конструкционных сталей (с явно выраженным пределом и площадкой текучести) существенно отличаются от стати- ческих, причем различие свойств наблюдается за пределом текучести (динамические и статические константы упругости практически неразличимы). Чувствительность к временнь′×м (скоростным) эффектам уменьшается с увеличением содержания углерода и других легирующих примесей. Высокопрочные легированные стали практически нечувствительны к скоростному нагружению и их динамическая диаграмма σ−ε весьма близка к статической.

Наиболее чувствителен к режиму нагружения и скорости ε• динамический предел текучести и область малых деформаций диаграммы σ−ε. С ростом деформации ε влияние скорости уменьшается. Динамический предел текучести возрастает с увеличением скорости ε• и уменьшается с ростом статического предела текучести σò . Для сталей с содержанием углерода до 0,8 % наблюдается динамическая площадка текучести, причем ее протяженность и напряжение текучести возрастают с увеличением скорости и понижением температуры.

Динамический предел текучести σd возникает вследствие задержки (запаздывания) текучести. Если к образцу внезапно приложить напряжение σ(t) = σd > σò , то пластическая деформация возникает через время запаздывания τ . Для напряжений, превышающих σò , логарифм времени запаздывания уменьшается линейно по мере роста как растягивающих, так и сжимающих напряжений. При σ(t) = σò экспери-

Режим постоянной скорости ε• = const (èëè σ• = const) является более мягким, и время τ, отсчитываемое от начала нагружения, будет бóльшим

τ = t (α + 1)(σd / σ ò )−α .

Отсюда можно получить зависимость динамического предела текучести от скоростей деформации ε• и напряжения σ• = E ε (для режима ε•(t) = const)

σd = [t σαò (α + 1)σ. ]1/(α+1) = [Et σαò (α + 1)ε. ]1/(α+1) .

Эти выражения можно представить в форме, соответствующей теории дислокаций,

Изучение механических свойств конструкционных сталей в динамике осложняется эффектом запаздывания текучести, влиянием технологических факторов, химического состава и, по-видимому, комбинациями на различных этапах нескольких дислокационных механизмов с различными активационными характеристиками.

В динамически нагруженных конструкциях скорости меняются. Кемпбеллом был предложен основанный на теории дислокаций интегральный критерий для вычисления динамического предела, текучести σd = σ() в произвольном режиме изменения напряжений σ(t)

264

обобщающий приведенные выше соотношения для простых режимов нагружения. Материальные константы этого критерия α è t определяют в опытах при ε• = const c использованием линейного соотношения lgσ(τ) ~ lgε• . Если экспериментальные точки σ1, ε•1 ; σ2, ε•2 лежат на прямой, то константы находят по формулам:

a = lg(σ1 / (ε1. )n0 ) .

На практике в связи с разбросом экспериментальных данных константы определяют корреляционным анализом − построением прямой регрессии.

Из опытов при σ(t) = const формулы для констант следующие: α = − lg(τ / t ) / lg(σ / σò) , t = τ σ → σò .

В качестве параметра σò следует принимать нормативное сопротивление по пределу текучести по госстандартам и ТУ на сталь. По данным [19] при температуре 296 К для сталей Ст3 α = 11,7; Ñò45 α = 13,9 (ИМАШ), для сталей с содержанием 0,09 С, 0,45 Mn α = 7,2...9,7. Для сталей с различной термической обработкой, в которых содержание углерода 0,01−0,31 % и марганца 0,39−1,01 % при комнатной температуре α = 9...16. Значение t ~ 1c. По данным [4] для арматурных сталей классов А-I, А-II, А-III соответственно α = 17, 20, 25; t = 0,895, 0,50, 0,32 c.

В случае сложного напряженного состояния и при использовании условия текучести Мизеса функция σ(τ) в (5.4) имеет смысл изменяющейся со временем интенсивности напряжений в опасной точке конструкции. Критерий (5.4) хорошо согласуется с экспериментальными данными. Это объясняется тем, что данный критерий соответствует кинетической природе накопления микроповреждений в материалах и является следствием кинетического уравнения типа Аррениуса.

5.2.3. Модели динамического поведения металлов в прочностных расчетах. Для описания механических свойств металлов, слабо чувствительных к временнь′×м эффектам, применяют упругопластическую модель Рахматулина – нелинейную зависимость для простого напряженного состояния при нагружении σ = F(ε) с ветвями линейно-упругой разгрузки и повторного нагружения (статический подход).

Д.Ф.Беллом указанная зависимость конкретизирована для ряда материалов в форме параболической зависимости

σ = β ε

èëè

σ = (2 / 3)r /2 μ(0)B0(1 − T / Tm) ε ,

ãäå μ(T) − модуль сдвига; Ò − температура; B0 = 0,028 − универсальная константа; r = 1,2,3 ... − индекс формы; Tm − температура плавления.

Постоянные упругости и коэффициенты параболы в этой формуле связаны набором квантованных значений как для различных материалов, так и для разных диапазонов работы каждого материала.

Для расчета конструкций, подверженных циклическим (сейсмическим, сейсмовзрывным) воздействиям, когда реализуется знакопеременная существенно нестационарная обратная пластичность, используют одну из моделей мейзинг-типа с гистерезисом – модель упругопластического материала Ромберга–Осгуда. В плоскости σ – ε модель представляет синтез скелетной ветви 1 (рис.5.5) первичного нагружения, проходящей через начало координат

265

ãäå sò - условный предел текучести; r > 1 (целое число) и a1 - константы материала; s , e - напряжение и деформация в начале разгрузки или повторного нагружения, причем секущая на начальном участке диаграммы согласована с законом

Ãóêà (ïðè s = sò e = sò / E).

σ

σm

3

−εm

22

3

44

1

−σm

Рис.5.5. Диаграмма упругопластического материала Мейзинг-типа для циклического нагружения металлов

Ïðè r ® ¥ данная модель переходит в идеальную упругопластическую диаграмму Прандтля.

Опыт применения этой модели в динамических расчетах металлоконструкций при нестационарных циклических колебаниях показал недостаточность соотношений (5.5), (5.6), а именно модель дает нереальные выбросы напряжений и требует введения ряда логических операторов. При реализации данной модели в программах расчета конструкций в ЦНИИПСК использована более сложная процедура, схематически показанная на рис.5.5, где предусмотрены все возможные варианты изменения деформационного режима. Кривая 1 соответствует выражению (5.5), а предельные кривые 4 è 44 - формуле (5.6), и эти линии ограничивают область напряжений.

266

При разгрузках с ветви 1 используется формула (5.6) для ветвей 4 è 44 с фиксацией новых предельных кривых 4 è 44, когда напряжение и деформация по модулю превысят соответственно значения σm è εm точек подвеса предельных кривых на предыдущем временном шаге. При повторных нагружениях и разгрузках производится усечение напряжений предельными кривыми 4 è 44. Для кривых 3 è 33 также используется (5.6), но для точек подвеса внутри области допустимых напряжений. При численной реализации модели выражения (5.5), (5.6) аппроксимируются кубическими сплайнами и σ по значению ε определяется интерполяцией; значения констант α ~ 0,5, r = 7...8.

Для металлов, чувствительных к временнь′×м эффектам, предлагались различные уравнения. Наиболее простой является динамическая диаграмма Прандтля с обратной текучестью рис.5.6. В отличие от статической диаграммы напряжения σò1, σò2 определяются с помощью критерия (5.4).

Рис.5.6. Диаграмма упругопластического материала с деформационным упрочнением и обратной текучестью с модулем упругости E = arctg α1 и упрочнения ν = arctg α2 (à) и эквивалентная реологическая модель с жесткостями Ñ1 (для элемента Гука Í1), Ñ2 (Í2) и трением σò (для элемента Кулона); Ñ1 = Å, ÑÑ1/(Ñ1+ Ñ2) = ν, σò = σò1 (растяжение), σ = σò2 (сжатие) (á)

Более полно временнь′×е эффекты учитываются в моделях, содержащих зависимость напряжения от скорости деформации в пластической стадии. В.Соколовским и Л.Мальверном предложена формула такого типа

ãäå ϕ(ε) − статическая диаграмма σ–ε.

Более общий вариант предложен Н.Криcтеску

f (σ,ε)ε. = σ. + g(σ,ε) .

Для конструкционных углеродистых и некоторых марок легированных сталей применяют формулу, соответствующую теории дислокаций

ãäå D, n − константы, зависящие от диапазона деформаций и температуры.

В программах динамического расчета металлоконструкций, разработанных в ЦНИИПСК, используется модель вида (5.8), в которой напряжение зависит от скорости пластической деформации ε•p (ðèñ.5.7)

267

Эти формулы представляют явный двухшаговый метод второго порядка точности (типа Рунге–Кутта).

В программах для ЭВМ использованы формулы, в которых учитывается возможность реверсирования напряжений:

Сопоставив формулу (5.9) о уравнением (5.7), можно определить при | s | ³ sò

268

В пластической стадии (область - 1234), возникающей при t = t по условию

Закон динамического упрочнения при нагружении (s·> 0, линия 43) принимается в линейном виде

s = sò + (e - e+ - sò / E )æ (s > sò, e p º e*p > e+ ).

Деформации в этом выражении соответствуют протяженности динамических площадок текучести ep в режиме e·= const, наименьшая из которых e+ - åñòü ïðî-

тяженность статической площадки; æ - модуль упрочнения.

Момент времени t = q перехода к упрочнению (s·(q) > 0) или к разгрузке с линии упрощения (s·(q) £ 0) фиксируется условием

e p (q) = ep (q) .

Разгрузка с уровня sò и с линии упрочнения и повторные нагружения в областях 0145 è 5436 даются законом Гука (5.11) и выражениями:

e.p = 0 , (ep ). = 0 .

Скорости упругопластических деформаций определяются по формулам e. = e.e + e.p ; e. = e.e + (ep ). .

5.3. ÐАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ. ÎБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

5.3.1. Методы расчета по упругой стадии. Расчет на динамические нагрузки выполняют с учетом начальных статических напряжений síà÷. При этом независимый расчет на статику и динамику с суммированием деформаций и внутренних усилий справедлив при упругой работе конструкции, если сумма эквивалентных напряжений sñóì от статической síà÷ и динамической s нагрузок в опасных точках конструкции не превысит динамический предел текучести sd , ò.å. sñóì = síà÷ + s < sd . Ïðè síà÷ < 0,2sò динамический расчет обычно ведут без учета начальных напряжений.

В инженерных динамических расчетах применяют методы приведения реальной конструкции к системе с конечным числом n степеней свободы. Для получения соответствующей системы n уравнений движения можно использовать уравнение

269

Другой метод приведения – Бубнова–Галеркина, согласно которому решение

i =1

ãäå L - дифференциальный оператор; Xi - некоторые функции, принадлежащие полной системе и удовлетворяющие граничным условиям задачи.

На практике используют ограниченное число членов ряда или один член. В последнем случае приходят к уравнению движения осциллятора - системы с одной степенью свободы. Получим, для примера, одночленное приближение для однопролетной балки, работающей в упругой стадии, из уравнения технической теории

ãäå m - погонная масса; x0 - координата точки приведения (совмещенная, с центром пролета); Xq(x) - базисная функция, которую берут по статической форме изгиба балки, загруженной равномерной нагрузкой некоторой интенсивности qí ,

для которого следует задать начальные условия y(0) = y0, yi(0) = v0.

Здесь w - аналог основной частоты собственных колебаний, а значения qí/yq è K1 имеют смысл жесткости упругой системы и коэффициента приведения нагруз- ки-массы.

При расчетах на сейсмические и вибрационные воздействия следует учитывать демпфирующие свойства конструкций. В этих целях в уравнение (5.16) вводят вязкость n. При использовании гипотезы вязкого демпфирования Фойгта получаем

270