umk_po_TW
.pdf
Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математиче-
ского ожидания m по абсолютной величине будет меньше положительного числа δ
находится по формуле
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
||||
P( |
|
X − m |
|
< δ ) = 2Ф |
|
. |
(3.3) |
|
|
σ |
|||||
|
|
|
|||||
Пример 2. Считается, что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) равна m = 40 см , среднее квадратическое отклонение
σ = 0,4 см . Найдите вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по
абсолютной величине не более 0,6 см. |
|
|
|||||
Решение: |
Обозначим |
через Х – случайный размер детали. По условию |
|||||
m = 40, σ = 0,4, δ = 0,6 . По формуле (3.3) получим |
|
||||||
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
P( |
X − 40 |
< |
0,6) = 2Ф |
|
= 2Ф(1,5) |
= 2 0,4332 |
= 0,8664 |
|
|||||||
|
|
|
0,4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, вероятность того, что изготовляемые детали по длине будут находиться в пределах от 40–0,6=39,4см до 40+0,6=40,6см, составляет 0,8664.
«Правило трех сигм»
Из равенства Р (m - 3σ < Х < m + 3σ) = 0,9973 = 99,73 %. следует, что значения нормально распределенной случайной величины Х с параметрами m и σ с вероятностью Р = 99,73% лежат в интервале(m − 3σ ; m + 3σ ) , иначе в этот интервал попадают практиче-
ски все возможные значения данной случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины известен как «правило трех сигм».
Пример 3. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?
Решение. Вероятность вызова для каждого абонента
p = |
6 |
= |
1 |
= 0,1, q = 1 − p = 0,9 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||||||||
60 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому m = np = 1000 0,1 = 100, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
σ = npq = 1000 0,1 0,9 = 9,5 . |
||||||||||||||||
Согласно правилу трех сигм практически достоверно, что |
||||||||||||||||||
|
X − m |
|
< 3σ , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
откуда |
|
|
X − 100 |
|
< 3 9,5 |
|
X − 100 |
|
< 28,5 X < 128,5 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для практически безотказной работы линии связи (при указанных условиях) достаточно иметь 130 каналов.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 5 см. и дисперсией, равной 0,81см2. Найдите вероятность того, что диаметр наугад взятой детали от 4 до 7см.
2.Производят взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайная ошибка взвешивания распределена нормально с математическим ожиданием 20кг и средним квадратическим отклонением 2кг. Найдите вероятность того, что следующее взвешивание отличается от математического ожидания не более, чем на 100г.
3.Вес груза одного вагона ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 2 т. Найдите вероятность того, что вес груза очередного вагона не превысит 70 т.
4.Непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону и имеет
31
|
|
1 |
|
|
− |
( x−60)2 |
|
|
плотность распределения |
f ( x) = |
|
e |
|
||||
|
|
|
50 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2π |
|
|
|
|
. В каком диапазоне с вероятностью |
|
0,9973 содержатся возможные значения случайной величины X.
5.Cреднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найдите границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.
6.Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 7,3 и дисперсией 100. Найдите вероятность того, что уровень pH находится между 7,35 и 7,45.
7.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с матема-
тическим ожиданием m = 370 и средним квадратическим отклонениемσ = 21 . Найдите вероятность того, что значение этой случайной величины будет заключено в пределах от
305 до 366.
8.Ошибка взвешивания ― случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю и средним квадратическим отклонением 5 г. Найдите вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 10 г.
9.Случайная величина распределена по нормальному закону, причем M ( X ) = 15 .
Найти P(10 < X < 15) , если известно, что P(15 < X < 20) = 0,25 .
10.Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 40
идисперсией 100. Вычислите вероятность попадания этой случайной величины X в ин-
тервал (30; 80).
11.Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,01 см. Найдите вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.
12.Рост мужчины является случайной величиной распределенной по нормальному
закону с математическим ожиданием, равным 170 см, и дисперсией равной 49 см2 . Найдите вероятность того, что трое наугад выбранных мужчин будут иметь рост от 170 до
175см.
13.Случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения с матема-
тическим ожиданием m = 37 и средним квадратическим отклонением σ = 2 . Найдите вероятность того, что значение этой случайной величины будет заключено в пределах от 30
до 36.
Ответы: 1. 2. 3. 4. (45; 75). 5. (12,08; 19,92). 6. 7. 8. 9. 0,25.
Домашнее задание
1. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами m = 375г , σ = 25г . Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425г; б) не более 450г; в) больше 300г.
2. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону с параметром σ = 10 мм . Найти вероятность того, что измерение произведено с
ошибкой, не превосходящей 15 мм.
3. Станок-автомат изготавливает валики, контролируя их диаметры X. Считая, что случайная величина X распределена нормально с параметрами m = 10 мм, σ = 0,1 мм . Найти
интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.
4. Случайная величина X распределена по нормальному закону c параметром m = 5 . Если вероятность P(5 < X < 15) = 0,4 , то чему равна вероятность P(0 < X < 10) ?
5. На станке изготавливаются втулки. Длина l втулки представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, имеет среднее значение lср = 20см и
32
дисперсию σ 2 = 0,04 см2 . Найдите вероятность того, что длина втулки заключена между 19,7 и 20,3 см, т.е. уклонение в ту или в иную сторону не превзойдет 0,3 см. Какую длину изделия можно гарантировать в вероятностью p = 0,95 ?
Ответы: 1. а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987. 2. 0,8664. 3. (9,7; 10,3). 4. 0,4778. 5. 0,87; 20±4
см
Вопросы для самопроверки по теме: «Случайная величина»
1.Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.
2.Что называется законом распределения вероятностей случайной величины?
3.Что называется математическим ожиданием случайной величины? Как оно обозначается? Перечислите его свойства.
4.Что называется дисперсией случайной величины? Как она обозначается? Перечислите ее свойства. Как взаимосвязаны среднеквадратическое отклонение и дисперсия?
5.Что называется функцией распределения случайной величины? Сформулируйте ее свойства. В чем различие графиков функций распределения для непрерывной и для дискретной случайных величин?
6.Дайте определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, сформулируйте ее свойства.
7.Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из данного интервала, если известна: ее функция распределения; ее плотность распределения вероятностей?
8.Как взаимосвязаны функция распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины?
9.Чему равны числовые характеристики биномиального распределения; распределения Пуассона?
10.Найдите M(X) и D(Х) случайной величины, распределенной равномерно на интервале (а; в).
11.Каков вероятностный смысл параметров m и σ случайной величины, распределенной по нормальному закону? Напишите плотность нормального распределения.
12.В чем заключается “правило трех сигм”?
ПРИЛОЖЕНИЕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
x 2 |
|
|
|
|
|
Таблица значений функции |
ϕ (x) = |
|
e |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,0 |
0,3989 |
0,3989 |
0,3988 |
0,3987 |
0,3986 |
0,3984 |
0,3982 |
0,3979 |
0,3976 |
|
0,3973 |
|
|
|
|||
0,1 |
0,3969 |
0,3965 |
0,3960 |
0,3955 |
0,3950 |
0,3944 |
0,3938 |
0,3932 |
0,3925 |
|
0,3918 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,2 |
0,3910 |
0,3902 |
0,3894 |
0,3885 |
0,3876 |
0,3866 |
0,3856 |
0,3846 |
0,3836 |
|
0,3825 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,3 |
0,3813 |
0,3802 |
0,3790 |
0,3778 |
0,3765 |
0,3752 |
0,3739 |
0,3725 |
0,3711 |
|
0,3697 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,4 |
0,3682 |
0,3667 |
0,3652 |
0,3637 |
0,3621 |
0,3605 |
0,3588 |
0,3572 |
0,3555 |
|
0,3538 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,5 |
0,3520 |
0,3502 |
0,3484 |
0,3466 |
0,3448 |
0,3429 |
0,3410 |
0,3391 |
0,3371 |
|
0,3352 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,6 |
0,3332 |
0,3312 |
0,3291 |
0,3271 |
0,3250 |
0,3229 |
0,3208 |
0,3187 |
0,3165 |
|
0,3144 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,7 |
0,3122 |
0,3100 |
0,3078 |
0,3056 |
0,3033 |
0,3011 |
0,2988 |
0,2965 |
0,2943 |
|
0,2920 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,8 |
0,2896 |
0,2873 |
0,2850 |
0,2826 |
0,2803 |
0,2779 |
0,2756 |
0,2732 |
0,2708 |
|
0,2684 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,9 |
0,2660 |
0,2636 |
0,2612 |
0,2588 |
0,2564 |
0,2540 |
0,2516 |
0,2492 |
0,2468 |
|
0,2443 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
1,0 |
0,2419 |
0,2395 |
|
0,2371 |
0,2347 |
|
0,2322 |
0,2298 |
|
0,2274 |
0,2250 |
|
0,2226 |
0,2202 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
0,2178 |
0,2154 |
|
0,2130 |
0,2106 |
|
0,2083 |
0,2059 |
|
0,2035 |
0,2012 |
|
0,1988 |
0,1965 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
0,1941 |
0,1918 |
|
0,1895 |
0,1872 |
|
0,1849 |
0,1826 |
|
0,1803 |
0,1781 |
|
0,1758 |
0,1736 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,3 |
0,1713 |
0,1691 |
|
0,1669 |
0,1647 |
|
0,1625 |
0,1603 |
|
0,1582 |
0,1560 |
|
0,1539 |
0,1518 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
0,1497 |
0,1476 |
|
0,1455 |
0,1435 |
|
0,1414 |
0,1394 |
|
0,1374 |
0,1354 |
|
0,1334 |
0,1314 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
0,1295 |
0,1275 |
|
0,1256 |
0,1237 |
|
0,1218 |
0,1200 |
|
0,1181 |
0,1163 |
|
0,1145 |
0,1127 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
0,1109 |
0,1091 |
|
0,1074 |
0,1056 |
|
0,1039 |
0,1022 |
|
0,1005 |
0,0989 |
|
0,0972 |
0,0956 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,7 |
0,0940 |
0,0924 |
|
0,0908 |
0,0893 |
|
0,0877 |
0,0862 |
|
0,0847 |
0,0832 |
|
0,0818 |
0,0803 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,8 |
0,0789 |
0,0775 |
|
0,0761 |
0,0747 |
|
0,0734 |
0,0720 |
|
0,0707 |
0,0694 |
|
0,0681 |
0,0668 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,9 |
0,0656 |
0,0643 |
|
0,0631 |
0,0619 |
|
0,0607 |
0,0595 |
|
0,0584 |
0,0573 |
|
0,0561 |
0,0550 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 |
0,0539 |
0,0529 |
|
0,0518 |
0,0508 |
|
0,0498 |
0,0487 |
|
0,0478 |
0,0468 |
|
0,0458 |
0,0449 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1 |
0,0439 |
0,0430 |
|
0,0421 |
0,0412 |
|
0,0404 |
0,0395 |
|
0,0387 |
0,0378 |
|
0,0370 |
0,0362 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,2 |
0,0354 |
0,0347 |
|
0,0339 |
0,0331 |
|
0,0324 |
0,0317 |
|
0,0310 |
0,0303 |
|
0,0296 |
0,0289 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
0,0283 |
0,0276 |
|
0,0270 |
0,0264 |
|
0,0258 |
0,0252 |
|
0,0246 |
0,0240 |
|
0,0234 |
0,0229 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,4 |
0,0223 |
0,0218 |
|
0,0213 |
0,0208 |
|
0,0203 |
0,0198 |
|
0,0193 |
0,0188 |
|
0,0184 |
0,0179 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
0,0175 |
0,0170 |
|
0,0166 |
0,0162 |
|
0,0158 |
0,0154 |
|
0,0150 |
0,0146 |
|
0,0143 |
0,0139 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,6 |
0,0135 |
0,0132 |
|
0,0128 |
0,0125 |
|
0,0122 |
0,0119 |
|
0,0116 |
0,0112 |
|
0,0109 |
0,0107 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,7 |
0,0104 |
0,0101 |
|
0,0098 |
0,0096 |
|
0,0093 |
0,0090 |
|
0,0088 |
0,0086 |
|
0,0083 |
0,0081 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,8 |
0,0079 |
0,0076 |
|
0,0074 |
0,0072 |
|
0,0070 |
0,0068 |
|
0,0066 |
0,0064 |
|
0,0063 |
0,0061 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,9 |
0,0059 |
0,0057 |
|
0,0056 |
0,0054 |
|
0,0052 |
0,0051 |
|
0,0049 |
0,0048 |
|
0,0047 |
0,0045 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
0,0044 |
0,0043 |
|
0,0041 |
0,0040 |
|
0,0039 |
0,0038 |
|
0,0036 |
0,0035 |
|
0,0034 |
0,0033 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,1 |
0,0032 |
0,0031 |
|
0,0030 |
0,0029 |
|
0,0028 |
0,0027 |
|
0,2707 |
0,0026 |
|
0,0025 |
0,0024 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,2 |
0,0023 |
0,0023 |
|
0,0022 |
0,0021 |
|
0,0020 |
0,0020 |
|
0,0019 |
0,0019 |
|
0,0018 |
0,0017 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,3 |
0,0017 |
0,0016 |
|
0,0016 |
0,0015 |
|
0,0015 |
0,0014 |
|
0,0014 |
0,0013 |
|
0,0013 |
0,0012 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,4 |
0,0012 |
0,0011 |
|
0,0011 |
0,0011 |
|
0,0010 |
0,0010 |
|
0,0010 |
0,0009 |
|
0,0009 |
0,0009 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,5 |
0,0008 |
0,0008 |
|
0,0008 |
0,0007 |
|
0,0007 |
0,0007 |
|
0,0007 |
0,0006 |
|
0,0006 |
0,0006 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,6 |
0,0006 |
0,0005 |
|
0,0005 |
0,0005 |
|
0,0005 |
0,0005 |
|
0,0004 |
0,0004 |
|
0,0004 |
0,0004 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,7 |
0,0004 |
0,0004 |
|
0,0003 |
0,0003 |
|
0,0003 |
0,0003 |
|
0,0003 |
0,0003 |
|
0,0003 |
0,0003 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,8 |
0,0002 |
0,0002 |
|
0,0002 |
0,0002 |
|
0,0002 |
0,0002 |
|
0,0002 |
0,0002 |
|
0,0002 |
0,0002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,9 |
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,0 |
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0001 |
0,0001 |
|
0,0000 |
0,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица значений функции Лапласа Ф(x) = |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2π |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0,00 |
0,0000 |
0,50 |
0,1914 |
1,00 |
0,3413 |
1,50 |
0,4331 |
2,00 |
0,4772 |
3,00 |
0,4986 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0,01 |
0,0039 |
0,51 |
0,1949 |
1,01 |
0,3437 |
1,51 |
0,4344 |
2,02 |
0,4783 |
3,05 |
0,4988 |
|
|
|
0,02 |
0,0079 |
0,52 |
0,1984 |
1,02 |
0,3461 |
1,52 |
0,4357 |
2,04 |
0,4793 |
3,10 |
0,4990 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,0119 |
0,53 |
0,2019 |
1,03 |
0,3484 |
1,53 |
0,4369 |
2,06 |
0,4803 |
3,15 |
0,4991 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
0,0159 |
0,54 |
0,2054 |
1,04 |
0,3508 |
1,54 |
0,4382 |
2,08 |
0,4812 |
3,20 |
0,4993 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,05 |
0,0199 |
0,55 |
0,2088 |
1,05 |
0,3531 |
1,55 |
0,4394 |
2,10 |
0,4821 |
3,25 |
0,4994 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,06 |
0,0239 |
0,56 |
0,2122 |
1,06 |
0,3554 |
1,56 |
0,4406 |
2,12 |
0,4830 |
3,30 |
0,4995 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
t 2 |
|
∫e |
2 dt |
||
0 |
|
|
|
34
|
0,07 |
0,0279 |
|
0,57 |
0,2156 |
|
1,07 |
0,3576 |
|
1,57 |
0,4417 |
|
2,14 |
0,4838 |
|
3,35 |
0,4996 |
|
|
0,08 |
0,0318 |
|
0,58 |
0,2190 |
|
1,08 |
0,3599 |
|
1,58 |
0,4429 |
|
2,16 |
0,4846 |
|
3,40 |
0,4996 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,09 |
0,0358 |
|
0,59 |
0,2224 |
|
1,09 |
0,3621 |
|
1,59 |
0,4440 |
|
2,18 |
0,4853 |
|
3,45 |
0,4997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,10 |
0,0398 |
|
0,60 |
0,2257 |
|
1,10 |
0,3643 |
|
1,60 |
0,4452 |
|
2,20 |
0,4861 |
|
3,50 |
0,4997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,11 |
0,0438 |
|
0,61 |
0,2290 |
|
1,11 |
0,3665 |
|
1,61 |
0,4463 |
|
2,22 |
0,4867 |
|
3,55 |
0,4998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,12 |
0,0477 |
|
0,62 |
0,2323 |
|
1,12 |
0,3686 |
|
1,62 |
0,4473 |
|
2,24 |
0,4874 |
|
3,60 |
0,4998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,13 |
0,0517 |
|
0,63 |
0,2356 |
|
1,13 |
0,3707 |
|
1,63 |
0,4484 |
|
2,26 |
0,4880 |
|
3,65 |
0,4998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,14 |
0,0556 |
|
0,64 |
0,2389 |
|
1,14 |
0,3728 |
|
1,64 |
0,4495 |
|
2,28 |
0,4887 |
|
3,70 |
0,4998 |
|
|
0,15 |
0,0596 |
|
0,65 |
0,2421 |
|
1,15 |
0,3749 |
|
1,65 |
0,4505 |
|
2,30 |
0,4892 |
|
3,75 |
0,4999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,16 |
0,0635 |
|
0,66 |
0,2453 |
|
1,16 |
0,3769 |
|
1,66 |
0,4515 |
|
2,32 |
0,4898 |
|
3,80 |
0,4999 |
|
|
0,17 |
0,0674 |
|
0,67 |
0,2485 |
|
1,17 |
0,3790 |
|
1,67 |
0,4525 |
|
2,34 |
0,4903 |
|
3,85 |
0,4999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,18 |
0,0714 |
|
0,68 |
0,2517 |
|
1,18 |
0,3810 |
|
1,68 |
0,4535 |
|
2,36 |
0,4908 |
|
3,90 |
0,4999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,19 |
0,0753 |
|
0,69 |
0,2549 |
|
1,19 |
0,3829 |
|
1,69 |
0,4544 |
|
2,38 |
0,4913 |
|
3,95 |
0,4999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,20 |
0,0792 |
|
0,70 |
0,2580 |
|
1,20 |
0,3849 |
|
1,70 |
0,4554 |
|
2,40 |
0,4918 |
|
4,00 |
0,4999 |
|
|
0,21 |
0,0831 |
|
0,71 |
0,2611 |
|
1,21 |
0,3868 |
|
1,71 |
0,4563 |
|
2,42 |
0,4922 |
|
4,05 |
0,4999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,22 |
0,0870 |
|
0,72 |
0,2642 |
|
1,22 |
0,3887 |
|
1,72 |
0,4572 |
|
2,44 |
0,4926 |
|
4,10 |
0,49998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,23 |
0,0909 |
|
0,73 |
0,2673 |
|
1,23 |
0,3906 |
|
1,73 |
0,4581 |
|
2,46 |
0,4930 |
|
4,15 |
0,49998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,24 |
0,0948 |
|
0,74 |
0,2703 |
|
1,24 |
0,3925 |
|
1,74 |
0,4590 |
|
2,48 |
0,4934 |
|
4,20 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
0,0987 |
|
0,75 |
0,2733 |
|
1,25 |
0,3943 |
|
1,75 |
0,4599 |
|
2,50 |
0,4937 |
|
4,25 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,26 |
0,1025 |
|
0,76 |
0,2763 |
|
1,26 |
0,3961 |
|
1,76 |
0,4608 |
|
2,52 |
0,4941 |
|
4,30 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,27 |
0,1064 |
|
0,77 |
0,2793 |
|
1,27 |
0,3979 |
|
1,77 |
0,4616 |
|
2,54 |
0,4944 |
|
4,35 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,28 |
0,1102 |
|
0,78 |
0,2823 |
|
1,28 |
0,3997 |
|
1,78 |
0,4624 |
|
2,56 |
0,4947 |
|
4,40 |
0,49999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,29 |
0,1140 |
|
0,79 |
0,2852 |
|
1,29 |
0,4014 |
|
1,79 |
0,4632 |
|
2,58 |
0,4950 |
|
4,45 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,30 |
0,1179 |
|
0,80 |
0,2881 |
|
1,30 |
0,4032 |
|
1,80 |
0,4640 |
|
2,60 |
0,4953 |
|
4,50 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,31 |
0,1217 |
|
0,81 |
0,2910 |
|
1,31 |
0,4049 |
|
1,81 |
0,4648 |
|
2,62 |
0,4956 |
|
4,55 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,32 |
0,1255 |
|
0,82 |
0,2938 |
|
1,32 |
0,4065 |
|
1,82 |
0,4656 |
|
2,64 |
0,4958 |
|
4,60 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,33 |
0,1293 |
|
0,83 |
0,2967 |
|
1,33 |
0,4082 |
|
1,83 |
0,4663 |
|
2,66 |
0,4960 |
|
4,65 |
0,50000 |
|
|
0,34 |
0,1330 |
|
0,84 |
0,2995 |
|
1,34 |
0,4098 |
|
1,84 |
0,4671 |
|
2,68 |
0,4963 |
|
4,70 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,35 |
0,1368 |
|
0,85 |
0,3023 |
|
1,35 |
0,4114 |
|
1,85 |
0,4678 |
|
2,70 |
0,4965 |
|
4,75 |
0,50000 |
|
|
0,36 |
0,1405 |
|
0,86 |
0,3051 |
|
1,36 |
0,4130 |
|
1,86 |
0,4685 |
|
2,72 |
0,4967 |
|
4,80 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,37 |
0,1443 |
|
0,87 |
0,3078 |
|
1,37 |
0,4146 |
|
1,87 |
0,4692 |
|
2,74 |
0,4969 |
|
4,85 |
0,50000 |
|
|
0,38 |
0,1480 |
|
0,88 |
0,3105 |
|
1,38 |
0,4162 |
|
1,88 |
0,4699 |
|
2,76 |
0,4971 |
|
4,90 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,39 |
0,1517 |
|
0,89 |
0,3132 |
|
1,39 |
0,4177 |
|
1,89 |
0,4706 |
|
2,78 |
0,4972 |
|
4,95 |
0,50000 |
|
|
0,40 |
0,1554 |
|
0,90 |
0,3159 |
|
1,40 |
0,4192 |
|
1,90 |
0,4712 |
|
2,80 |
0,4974 |
|
5,00 |
0,50000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,41 |
0,1591 |
|
0,91 |
0,3185 |
|
1,41 |
0,4207 |
|
1,91 |
0,4719 |
|
2,82 |
0,4976 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0,42 |
0,1627 |
|
0,92 |
0,3212 |
|
1,42 |
0,4222 |
|
1,92 |
0,4725 |
|
2,84 |
0,4977 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,43 |
0,1664 |
|
0,93 |
0,3238 |
|
1,43 |
0,4236 |
|
1,93 |
0,4732 |
|
2,86 |
0,4978 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0,44 |
0,1700 |
|
0,94 |
0,3263 |
|
1,44 |
0,4250 |
|
1,94 |
0,4738 |
|
2,88 |
0,4980 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,45 |
0,1736 |
|
0,95 |
0,3289 |
|
1,45 |
0,4264 |
|
1,95 |
0,4744 |
|
2,90 |
0,4981 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,46 |
0,1772 |
|
0,96 |
0,3314 |
|
1,46 |
0,4278 |
|
1,96 |
0,4750 |
|
2,92 |
0,4982 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,47 |
0,1808 |
|
0,97 |
0,3339 |
|
1,47 |
0,4292 |
|
1,97 |
0,4755 |
|
2,94 |
0,4983 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,48 |
0,1843 |
|
0,98 |
0,3364 |
|
1,48 |
0,4305 |
|
1,98 |
0,4761 |
|
2,96 |
0,4984 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
0,49 |
0,1879 |
0,99 |
0,3389 |
1,49 |
0,4318 |
1,99 |
0,4767 |
2,98 |
0,4985 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица распределения Пуассона P (k ) = |
λk |
e −λ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k\λ |
0,1 |
0,2 |
|
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
|
0,8 |
|
|
1 |
|
|
1,5 |
2 |
|
|
||||||||
0 |
0,9048 |
0,8187 |
|
0,7408 |
0,6703 |
0,6065 |
0,5488 |
|
0,4493 |
|
0,3678 |
0,2231 |
0,1353 |
|
||||||||||||
1 |
0,0904 |
0,1637 |
|
0,2222 |
0,2681 |
0,3032 |
0,3292 |
|
0,3594 |
|
0,3678 |
0,3346 |
0,2706 |
|
||||||||||||
2 |
0,0045 |
0,0163 |
|
0,0333 |
0,0536 |
0,0758 |
0,0987 |
|
0,1437 |
|
0,1839 |
0,2510 |
0,2706 |
|
||||||||||||
3 |
0,0001 |
0,0010 |
|
0,0033 |
0,0071 |
0,0126 |
0,0197 |
|
0,0383 |
|
0,0613 |
0,1255 |
0,1804 |
|
||||||||||||
4 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,0002 |
0,0007 |
0,0015 |
0,0029 |
|
0,0076 |
|
0,0153 |
0,0470 |
0,0902 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
0 |
0,0000 |
|
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
0,0003 |
|
0,0012 |
|
0,0030 |
0,0141 |
0,0360 |
|
||||||||||||
6 |
0 |
0 |
|
0,00001 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,0001 |
|
0,0005 |
0,0035 |
0,0120 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0,0000 |
0,0000 |
|
0,0000 |
|
0,0000 |
0,0007 |
0,0034 |
|
|||||||||||
8 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0,0000 |
|
0,0000 |
0,0001 |
0,0008 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0,0000 |
0,0000 |
0,0001 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k\λ |
|
2,5 |
|
3 |
|
3,5 |
|
4 |
4,5 |
|
5 |
|
|
5,5 |
|
|
6 |
|
6,5 |
|
7 |
|
||||
0 |
|
0,0820 |
|
0,0497 |
|
|
0,0301 |
|
0,0183 |
0,0111 |
|
|
0,0067 |
|
|
0,0040 |
|
|
|
0,0024 |
|
0,0015 |
|
0,0009 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
0,2052 |
|
0,1493 |
|
0,1056 |
|
0,0732 |
0,0499 |
|
|
0,0336 |
|
|
0,0224 |
|
|
0,0148 |
|
0,0097 |
|
0,0063 |
|
|||
2 |
|
0,2565 |
|
0,2240 |
|
|
0,1849 |
|
0,1465 |
0,1124 |
|
|
0,0842 |
|
|
0,0618 |
|
|
0,0446 |
|
0,0317 |
|
0,0223 |
|
||
3 |
|
0,2137 |
|
0,2240 |
|
0,2157 |
|
0,1953 |
0,1687 |
|
0,1403 |
|
|
0,1133 |
|
0,0892 |
|
0,0688 |
|
0,0521 |
|
|||||
4 |
|
0,1336 |
|
0,1680 |
|
|
0,1888 |
|
0,1953 |
0,1898 |
|
|
0,1754 |
|
|
0,1558 |
|
|
|
0,1338 |
|
0,1118 |
|
0,0912 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
0,0668 |
|
0,1008 |
|
0,1321 |
|
0,1562 |
0,1708 |
|
|
0,1754 |
|
|
0,1714 |
|
|
0,1606 |
|
0,1453 |
|
0,1277 |
|
|||
6 |
|
0,0278 |
|
0,0504 |
|
|
0,0770 |
|
0,1041 |
0,1281 |
|
|
0,1462 |
|
|
0,1571 |
|
|
|
0,1606 |
|
0,1574 |
|
0,1490 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 |
|
0,0099 |
|
0,0216 |
|
0,0385 |
|
0,0595 |
0,0823 |
|
|
0,1044 |
|
|
0,1234 |
|
|
0,1376 |
|
0,1462 |
|
0,1490 |
|
|||
8 |
|
0,0031 |
|
0,0081 |
|
|
0,0168 |
|
0,0297 |
0,0463 |
|
|
0,0652 |
|
|
0,0848 |
|
|
|
0,1032 |
|
0,1188 |
|
0,1303 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
|
0,0008 |
|
0,0027 |
|
|
0,0065 |
|
0,0132 |
0,0231 |
|
0,0362 |
|
|
0,0518 |
|
|
0,0688 |
|
0,0858 |
|
0,1014 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10 |
|
0,0002 |
|
0,0008 |
|
|
0,0022 |
|
0,0052 |
0,0104 |
|
0,0181 |
|
|
0,0285 |
|
|
0,0413 |
|
0,0557 |
|
0,0709 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
|
0,0000 |
|
0,0002 |
|
|
0,0007 |
|
0,0019 |
0,0042 |
|
0,0082 |
|
|
0,0142 |
|
|
0,0225 |
|
0,0329 |
|
0,0451 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12 |
|
0,0000 |
|
0,0000 |
|
|
0,0002 |
|
0,0006 |
0,0015 |
|
0,0034 |
|
|
0,0065 |
|
|
0,0112 |
|
0,0178 |
|
0,0263 |
|
|||
13 |
|
0,0000 |
|
0,0000 |
|
0,0000 |
|
0,0001 |
0,0005 |
|
0,0013 |
|
|
0,0027 |
|
|
0,0051 |
|
0,0089 |
|
0,0141 |
|
||||
14 |
|
0 |
|
0,0000 |
|
|
0,00004 |
|
0,0000 |
0,0001 |
|
0,0004 |
|
|
0,0010 |
|
|
0,0022 |
|
0,0041 |
|
0,0070 |
|
|||
15 |
|
0 |
|
0,0000 |
|
|
0,0000 |
|
0,0000 |
0,0000 |
|
|
0,0001 |
|
|
0,0003 |
|
|
|
0,0008 |
|
0,0017 |
|
0,0033 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0,0000 |
|
0,0000 |
0,0000 |
|
0,0000 |
|
|
0,0001 |
|
|
0,0003 |
|
0,0007 |
|
0,0014 |
|
|||
17 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0,0000 |
0,0000 |
|
|
0,0000 |
|
|
0,0000 |
|
|
|
0,0001 |
|
0,0002 |
|
0,0005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
18 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0,0000 |
|
0,0000 |
|
|
0,0000 |
|
|
0,0000 |
|
0,0001 |
|
0,0002 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
37