matan4_bel

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

a1x + a2ix + a1iy − a2 y + b1 + ib2 =

(a1,a2 ,b1,b2 )

i(a2 x + a1 y + b2 )

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

7 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 4 из 8

w = f (z) = 2 +			i
w = f (z) = 2 +			z
			z
F(z) =	1	= 2		+ i	1	= 2	+ iξ − линейная, регулярная
	f
	f
	z				z

F′(ξ ) = i ≠ 0 вточке ξ = 0

F(0) = 2

F(z) конформно отображает 0 в 2

f (z) конформно отображает ∞ в 2.

Определение:							w = f (z)	отображает z = z0	конформно в w = ∞ , если w =	1
Определение:							w = f (z)	отображает z = z0	конформно в w = ∞ , если w =	f (z)
										f (z)
конформно отображает z = z0								в w = 0.
		Пример 1:
w =		1	,		z		= i
w =			,		z	0	= i
	z − i					0
	z − i
w =		1			= z − i . Точка z0 = i переходит в w = 0
w =					= z − i . Точка z0 = i переходит в w = 0
1 z − i
′		≠ 0		z0 = i отображается в w = ∞ конформно.
w = 1		≠ 0		z0 = i отображается в w = ∞ конформно.

Пример 2:

В каких точках нарушается конформность отображения w = z3 − 6z2 + 9z − 3 ? w – регулярна везде.

w′ = 3z2 −12z + 9

w′ = 0 z2 − 4z + 3 = 0 z1 = 1; z2 = 3

Конформность нарушается в z1 и z2 .

3. Примеры конформных отображений.

Определение: Функция называется однолистной на множестве Д, если отображение w = f (z) - взаимнооднозначное.

Примеры:

1) w = az + b z = w− b однозначна, следовательно, однолистна. a

2)w = z2 неоднозначна на всей плоскости, т.к., например, две точки ±1 переходят в одну. Но на

Д:Im z > 0 (на верхней полуплоскости) w = z2 является однолистной.

Определение: Отображение w = f (z) называется конформным в области Д, если f (z) однолистна в Д и конформна в любой точке этой области.

Линейная функция.

w = az + b (a,b ) . Эта функция осуществляет конформное отображение

расширенной комплексной плоскости ( ) на расширенную комплексную плоскость.

Действительно,

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 5 из 8

w= a(x + iy) + b =

=(a x − a y + b ) +

1 2 1

		u		v
∂u	= a1	=	∂v
∂x	= a1	=	∂y
∂x			∂y	для x, y w = az + b регулярна на всей комплексной плоскости
				для x, y w = az + b регулярна на всей комплексной плоскости
∂u	= −a2		= −	∂v
∂y	= −a2		= −	∂x

w = az + b z = w − b − соответствие взаимно-однозначное a

следовательно, функция однолистная на всей плоскости . w′ = (az + b)′ = a ≠ 0 конформно во всех точках.

z = ∞ ↔ w = ∞

Геометрический смысл.

переносит начало координат z = 0 в точку w = b

′

= arga)

поворачивает на угол ϕ = arga (т.к. argw

растягивает в

(т.к.

w′

)

Пример 1:

		z	≤ 2
Найти образ области Д при отображении w = 2iz + 3, если

	Д :		≤ arg z ≤	π
	0
				4

рис. 3.1

рис. 3.2

w1 = w1′ = 2i

k =

= 2

ϕ = arg 2i = π

w = w1 + 3

Д →G

w− 3

≤ 4

3π

G : π

≤ arg(w− 3)

≤

рис. 3.3

Пример 2:

Отобразить круг

z − 2 + i

< 5 (1)

в круг

< 1 (2).

Требуется найти отображение, переводящее (1) в (2)

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 6 из 8

рис. 3.4

Т.к. z0 = 2 − i → w0 = 0, то w = a(z − 2 + i)

Граница области переходит в границу образа, следовательно

z − 2

+ i

= 1

Возьмем a = 1 (arg a = 0, т.к. можно взять любое) 5

Итак, w = 1 (z − 2 + i) = z + i − 2

55 5

Степенная функция.

w = zn (n N)

w = rneinϕ = rn (cosnϕ + isin nϕ) = rn cosnϕ + irn sinnϕ

Воспользуемся условием Коши-Римана в полярных координатах:

∂u

1 ∂v

∂r

∂ϕ

(Докажите самостоятельно)

∂v

1 ∂u

= −

∂r

r ∂ϕ

∂u = nrn−1 cosnϕ

1 ∂v

rn cosnϕ n

r ∂ϕ

∂r

∂v = nrn−1 sinnϕ

−

∂u

= −

rn (−sin nϕ) n

r ∂ϕ

∂r

Условия Коши-Римана выполняются для ϕ и r ≠ 0, т.е. для z ≠ 0.

Для z = 0 отдельно функция регулярна z .

′

n−1

≠ 0, если z ≠ 0 ,

следовательно, отображение конформно на всей плоскости

w = nz

кроме z = 0. Найдем область однолистности:

z = reiϕ → w = zn = rneinϕ , т.е. главное значение аргумента увеличивается в n раз. Если

ϕ = 2π , то nϕ = 2π (полный круг). Если ϕ - больше, то nϕ > 2π , т.е. получится «наложение», n

нарушится однолистность. Следовательно, w = zn является однолистной в угле раствора

2π . n

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 7 из 8

w = zn конформно отображает угол раствора 2π на плоскость с разрезом. n

Пример 1:

Найти образ области Д : Im z > 0 под действием отображение w = z2

рис. 3.4		рис. 3.5

γ1 :ϕ = 0 → Г1 :ψ = 0

γ2 :ϕ = π → Г2 :ψ = 2π

Говорят, что степенная функция «разворачивает» углы. Пример 2:

≤ R

(R = 2)

Найти образ области

Д1

≤ arg z < α

; α

Под действием отображения w = azn + b

(a = 1+ i;b = −i;n = 3)

w = z3	,	Д	→ Д	1
1				1
w2 = (1+ i)w1,		Д1 → Д2 Д → G

w = w2 − i , Д2 → G

w1 = z3

Модуль возводится в куб, аргумент умножается на

рис. 3.6. Область Д

w2 = (1+ i)w1

1+ i = 2 растяжение в 2 раз

arg(1+ i) = π поворот на π против часовой стрелки 4 4

рис. 3.7. Область Д1

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 3 стр. 8 из 8

w = w2 − i

Перенос начала координат в точку (−i)

рис. 3.8. область Д2

w+ i ≤ 8 2

G : π		≤ arg(w+ i) < π
		≤ arg(w+ i) < π
	2

рис. 3.8. область G

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 1 из 7

Конформные отображения (продолжение).

1. Показательная функция w = ez .

Для частного случая z , т.е. Im z = 0 , определение показательной функции ez = ex+iy = ex (cos y + isin y) совпадает с «обычным» определением ex .

Для комплексного случая w = ez - регулярна для z . Действительно,

ez = ex cos y + iex sin y

∂u = ex cos y ≡

∂v;

∂u = −ex sin y ≡ −

∂v

∂x

∂y

∂x

Тогда

∂u

∂v

z ′

= e

cos y + ie

sin y = e

z ′

= e

(e ) =

+ i

(e )

∂x

Покажем, что функция w = ez периодична с чисто мнимым периодом T = 2πi .

Пусть ez+T

= ez , где T =α + iβ;

α,β

Найдем Т. Для этого умножим равенство на e−z :

ez+T e−z = ez e−z

= e0

eα +iβ = e0

eα (cosβ + isin β )=1

cosβ

(1)

= 0

(2)

eα sin β

Т.к. α

eα > 0

из (2) следует, что sin β = 0

β =π n .

Тогда из (1) следует:

eα cos(π n) =1

eα ; cos(π n) − одного знака

n = 2k

Тогда eα 1=1

α = 0,

β = 2π k.

Таким образом, T = 0 + i 2π k

T = 2πi

− период

Функция

w = ez

осуществляет отображение

w→ \{0} , которое является

однозначным, но не взаимнооднозначным.

Областью однолистности является полоса M = {z :b < Im z < b + 2π} , которая отображается на всю плоскость с разрезом по лучу θ = b .

Например:

γ1 : y = b,	− ∞ < x < +∞
ez = ex cosb + isinb
r	θ	θ

θ = b = const

r = ex и e−∞ < w < e+∞ , 0 < w < +∞

(см. рис. 1.1)

рис. 1.1.

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 2 из 7

γ 2 : y = b + 2π , − ∞ < x < +∞

ez = ex (cos(b + 2π ) + isin(b + 2π )) = ex (cosb + isinb)

Т.е. тот же луч, но он "проходится" в другую сторону (см. рис. 1.2)

Примеры:

1) Найти образ полосы

M =

z :0 < Im z <

(см. рис. 1.3)

γ1 : y = 0, − ∞ < x < +∞

ez = ex

{w: Re w > 0}

u :0 → +∞

: y = π

, − ∞ < x < +∞

= e

= ie

γ2 Г2 = {w: Im w > 0}

cos

+ isin

v : +∞ → 0

M в первый квадрант.

Проверка: пусть z0

= π i .

π + isin π =

Тогда ez0

= cos

+ i

= w (см. рис. 1.4.)

рис. 1.2.

рис. 1.3.

2) Найти образ прямоугольника
P = z : −1≤ Re z < 1, − π ≤ Im z < π			(см. рис. 1.5)
	6	4

под действием отображения w = −ie2z +	i	рис. 1.4.

	e2

w1 = 2z
w = ew1
2
w3 = −iw2

i w = w3 + e2

w1 = 2(x + iy) = 2x + i2y

Простейшая линейная функция: растяжение в 2 раза, без поворота, т.к. arg2 = 0 (см. рис. 1.6)

рис. 1.5.	рис. 1.6.

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 3 из 7

w = ew1

:v = − π ; u : −2 → +2

= e

−

−2

→ e

(получим отрезок)

e 1

cos −

+ isin

:u = 2, v : − π → π

ew1

= e2 (cosv + isin v)

(получим дугу)

: v = π , u : 2 → −2

ew1

(получим отрезок)

= eu cos

+ isin

:u = −2,

v : π → − π

ew1

= e−2 (cosv + isin v)

(получим дугу)

Образом прямоугольника P1

является сектор кольца P2 - см. рис. 1.7.

рис. 1.7.

= −iw2

−i

= 1 без растяжения

arg(−i) = − π

поворот на 90° по часовой стрелке

= π − π = 0

= − π − π

= −

5π

(см. рис. 1.8)

w = w +

параллельный перенос

(см. рис. 1.9)

3) Найти образ полуполосы:

4π

M = z : −∞ < Re z < ln2,

−

< Im z <

под действием отображения w = ez

(см. рис. 1.10)

рис. 1.8.

: y = − π ,

x : −∞ → ln2

= ex

−

(отрезок)

cos

−

+ isin

ex :0 → 2

: x = ln2,

y : − π →

4π

= 2(cos y + isin y)

(дуга)

: y =

4π

x :ln2 → −∞

= ex

4π

+ isin

4π

cos

(отрезок)

ex : 2 → 0

(см. рис. 1.11)

рис. 1.9.

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 4 из 7

		рис. 1.11.
рис. 1.10.		рис. 1.11.
рис. 1.10.

2. Логарифмическая функция w = ln z

Так как функция w = ln z - многозначная, то рассмотрим отображение, осуществляемое его главным значением, т.е. функцией ln z . Эта функция обратная по отношению к ez , конформно отображает плоскость с разрезом (−∞,0] на полосу шириной

2π , параллельную действительной оси (см. рис. 2.1 и 2.2).

γ1 : y = 0; x:−∞ → 0

ln z = ln

+ iπ

: +∞ → 0

:+∞ → −∞

γ2 : y = 0; x:0 → −∞

ln z = ln

+ i (−π )

:0 → +∞

:−∞ → +∞

r =1

γ :дуга окружности

−π < ϕ < π

переходит в Г	рис. 2.1.
	рис. 2.1.
ln z = ln1+ iϕ −	отрезок мнимой оси −π < Imw < π

0

рис. 2.2.

Пример:
Найти образ множества
D = z :3 ≤	z	< 4,	− π ≤ arg z <	π


			3	12

под действием отображения w = 3ln(2iz) − 4i

w1 = 2iz

k= 2 − растяжение

θ= π − поворот на 90° 2

π+θ = π + 6π = 7π

12 12 12 12

− π +θ = − π + π = π

3	3		2		6
(см. рис. 2.3)
w2 = ln w1 = ln				w1	+ iarg w1
w2 = ln w1 = ln				w1	+ iarg w1
Тогда, например,
A′B′ :	arg w = π = const
	1		6
		:6 → 8				Im w = π ,
	w	:6 → 8				2	6
	1
						Rew2 :6 → 8
т.е. A′ → A′′, B′ → B′′

(см. рис. 2.4) w3 = 3w2 − 4i :

линейная, растяжение в 3 раза

поворота нет, т.к. arg3 = 0 и сдвиг на − 4i

(см. рис. 2.5 и 2.6)

D → G

(см. рис. 2.7)

ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 4 стр. 5 из 7

рис. 2.3.

рис. 2.4.

рис. 2.5.

рис. 2.7.	рис. 2.6.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025207 Кб2Mat_analiz_chast_3.docx
#
10.05.2015559 Кб80mat_analiz_tipovik.pdf
#
10.05.2015176 Кб25Matan.doc
#
16.04.20195 Мб47matan.doc
#
01.05.2025263 Кб1matan.docx
#
10.05.20157 Мб29matan4_bel.pdf
#
01.03.20252 Мб3Matlab_МБС.doc
#
01.07.20251 Мб1matlog.doc
#
13.08.2019891 Кб54medicina-katastrof.doc
#
01.07.202517 Мб21Mekh_obor_Romanov_81-760_761.doc
#
10.05.20154 Мб14metod_ACM.doc