теория вероятностей
.pdf
41
Статистическим аналогом графика функции распределения является кривая накопленных частот. Накопленной частотой mx называется число вари-
ант выборки, меньших данного числа х. Для сгруппированного статистического ряда определяется mi — число вариант, меньших правой границы i-го интервала. Относительная накопленная частота — это отношение накопленной частоты mi к объему выборки n (табл. 3.4). Графическое изображение относи-
тельных накопленных частот в виде ступенчатой (ломаной) линии называется эмпирической (кумулятивной) функцией распределения (рис. 3.3). Отметим, что эмпирическая функция распределения определена для любых действительных значений х.
Таблица 3.4
Таблица накопленных частот примера 2
Интер- |
[0;3) |
|
[3; 3.3) |
[3.3; 3.6) |
[3.6; 3.9) |
[3.9; 4.2) |
[4.2; 4.5) |
[4.5; 4.8) |
|
валы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нако- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плен- |
0 |
|
4 |
11 |
21 |
26 |
29 |
30 |
|
ные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ситель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
накоп- |
0 |
|
0.133 |
0.367 |
0.7 |
0.867 |
0.967 |
1 |
|
лен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1
0 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 х
Рис. 3.3. Эмпирическая функция распределения для примера 2
42
3.3. Числовые характеристики выборки
Гистограмма и эмпирическая функция распределения дают представление об общем виде распределения, но иногда нам требуется указать «типичного» представителя выборки, т.е. указать, где находится «центр» выборочных данных. В качестве такого «центра» могут использоваться среднее арифметическое, полусумма крайних значений, медиана, мода, геометрическое среднее, гармоническое среднее (табл. 3.5).
Таблица 3.5
Средние значения для примера 2
|
Название |
Значение |
|
|
|
|
|
Полусумма крайних |
3.9 |
|
|
|
|
|
Среднее арифметическое |
3.746 |
|
|
||
|
Среднее геометрическое |
3.725 |
|
|
||
|
Среднее гармоническое |
3.704 |
|
|
||
Полусумма крайних значений вычисляется по формуле |
x(1) + x(n) |
, где |
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
x(1) — наименьшее, а x(n) — наибольшее значение выборки. Среднее арифметическое обозначается x и вычисляется по формуле
|
1 |
n |
1 |
k |
|
x = |
∑xi = |
∑n j x j , |
|||
|
n |
||||
|
n i=1 |
j=1 |
|||
где n — объем выборки, а n j — частота варианты |
x j . Если выборка сгруп- |
||
пирована, |
то неизвестно, какие именно |
варианты |
попали в j-й интервал |
[a j ; a j+1). |
Тогда частоту интервала n j |
умножают на середину интервала |
|
a j+1 + a j . Конечно, при этом получается ошибка, но при больших значениях
2
n она невелика: ведь в среднем половина вариант, попавших в интервал
[a j ; a j+1) будет меньше числа 1 (a j+1 + a j ), а половина — больше, поэтому |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
ошибки компенсируют друг друга. |
|
|
|||
Геометрическое среднее есть корень n-й степени из произведения n вы- |
|||||
борочных значений |
n x x |
2 |
... x |
n |
и рекомендуется для усреднения после- |
|
1 |
|
|
||
довательности дробей.
Гармоническое среднее есть величина, обратная к среднему арифметическому величин, обратных выборочным значениям. Гармоническое среднее используется для усреднения последовательности скоростей на одинаковых дистанциях.
43
В теории вероятностей модой М дискретной случайной величины называется ее значение, которое имеет максимальную вероятность. Модой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, при котором дос-
тигается максимум плотности распределения f (x). Закон распределения на-
зывается унимодальным, если мода единственна. В математической статисти-
ке мода M определяется по выборке, как варианта с наибольшей частотой.
Для выборки примера 1 мода M = 0.
Если выборка сгруппирована, то сначала определяют модальный интервал, т.е. интервал с наибольшей частотой. В качестве моды можно взять середину модального интервала. Для выборки примера 2 середина модального интервала равна 3.75 (рис. 3.2).
В теории вероятностей медианой непрерывной случайной величины Х называется такое число x0.5, что P(x < x0.5 ) = P(x > x0.5 ) = 0.5. Соответственно, по выборке находят приближенное значение медианы — число x такое, что половина вариант выборки меньше этого числа, а половина — больше него.
Работая со сгруппированной выборкой, вначале находят медианный интервал такой, что относительная накопленная частота для a j мень-
ше 0.5, а для a j+1 — больше 0.5. В примере 2 таким интервалом является интервал [3,6; 3.9) (табл. 3.4). В качестве медианы можно взять середину этого
интервала: x0.5 = 3.75.
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше. Можно найти три числа q1, q2 , q3, которые аналогичным образом делят выборку на четыре равные части. Эти числа называются квартилями. Число q2 совпадает с медианой, q1 называется нижней, а q3 — верхней квартилью. В теории вероятностей квартилями непрерывной случайной величины Х называются значения x0.25, x0.5, x0.75, определяемые из условия (рис. 1.4):
P( X < x0.25 ) = P(x0.25 < X < x0.75 ) = P(x0.5 < X < x0.75 ) =
= P(X < x0.75 ) = 0.25
Точно так же можно найти девять чисел c1, c2 , ..., c9 , которые разбива-
ют выборку на десять равных частей. Эти числа называются децентилями. Если разбить выборку на 100 равных частей, то точки деления — процентили. Общее название для всех этих точек деления — квантиль. В теории вероятно-
стей квантиль порядка р непрерывной случайной величины Х есть число xp
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
такое, что |
F(xp ) = P(X < xp ) = p. Выборочная квантиль |
xp — это точка, |
|||
левее которой расположено 100 p % выборочных данных. |
|
||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
25 % |
25 % |
25 % |
25 % |
|
|
|
x0.25 |
x0.5 |
x0.75 |
x |
|
Рис. 3.4. Квартили непрерывной случайной величины |
||||
Простейшая мера разброса выборки — размах R = x(n) − x(1) , равный
разности максимальной и минимальной вариант. Этой характеристикой пользуются при работе с малыми выборками.
Более точно разброс оценивается с помощью выборочной дисперсии. Она вычисляется так же, как дисперсия дискретной случайной величины, только вместо вероятностей используются относительные частоты:
|
1 |
n |
|
k |
|
|
|
|
D = |
∑ |
(xi − x)2 |
= ∑ |
n j |
(x j − x)2 |
, |
||
|
|
|||||||
|
n i=1 |
|
j =1 |
n |
|
|||
где n — объем выборки, k — число различных вариант выборки. Если выборка сгруппирована, то формула принимает вид
|
|
k |
D = |
1 |
∑n j (z j − x)2 , |
|
n |
j =1 |
где z j — середина j-го интервала.
Корень квадратный из выборочной дисперсии называется выборочным
средним квадратическим отклонением σ (с.к.о.).
Для выборки примера 2 выборочная дисперсия D = 0.159 , выборочное
с.к.о. σ = 0.339, т.е. в среднем вес ребенка отличается от среднего веса на
0.339 кг.
В теории вероятностей для нормального закона распределения доказывается правило «трех сигма»:
45
P(X −mx < 3σ)= 0.997.
Это правило приблизительно выполняется для большинства унимодальных законов распределения и для выборок из таких генеральных совокупно-
|
|
|
|
стей: более 99 % выборочных значений лежат в интервале |
|
σ; x +3 |
|
x −3 |
σ . |
||
|
|
|
|
Аналогично для «двух сигма»: более 95 % выборочных значений лежат в ин-
тервале |
|
|
|
x −2 |
σ; x |
+ 2 σ . Для выборки примера 2 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (3.746 −3 0.339; 3.746 +3 0.339) = (2.549; 4.943) , |
x −3 |
σ; x +3σ |
||
|
|
|
|
и 100 % выборочных значений лежат в этом интервале.
По выборке можно сделать вывод о симметричности или несимметричности закона распределения. Закон распределения непрерывной случайной величины Х называется симметричным, если график функции плотности веро-
ятности f (x) имеет ось симметрии. Для унимодального симметричного закона распределения очевидно равенство моды М, медианы x0.5 и математического ожидания mx (рис. 3.5, а). В случае положительной асимметрии
M < x0.5 < mx |
(рис. 3.5, б); для распределения с отрицательной асимметрией |
mx < x0.5 < M (рис. 3.5, в). |
|
f (x) |
f (x) |
M = x0.5 = mx |
x |
M x0.5 mx |
x |
а |
f (x) |
б |
|
|
|
|
в
mx x0.5 M x
Рис. 3.5. Плотность распределения: а) симметричного; б) с положительной асимметрией; в) с отрицательной асимметрией
46
Поэтому выборочную разность x − M можно использовать в качестве
меры асимметрии: чем больше она по абсолютной величине, тем больше
асимметрия. Асимметрия будет положительной, если x > M , и отрицатель-
|
|
ной, если x < M . |
Для получения безразмерной меры эту разность делят на σ |
и получают первый коэффициент асимметрии Пирсона:
A1 = x − M .
σ
Для выборки примера 2 значение этого коэффициента
A = 3.746 −3.75 |
= −0.01 |
|
1 |
0.339 |
|
|
|
|
близко к нулю, т.е. можно принять, что наша выборка извлечена из генеральной совокупности с симметричным законом распределения.
47
4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ВАЖНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
4.1. Теорема Чебышева и теорема Бернулли
Почему по выборке мы можем делать выводы о свойствах генеральной совокупности? Эти выводы опираются на закон больших чисел. Закон больших чисел — это группа теорем, которые формулируют математические закономерности, проявляющиеся при многократном наблюдении случайных явлений.
Для независимых случайных величин общий закон больших чисел выражается теоремой Чебышева (1867 г.)
Теорема Чебышева. Пусть X1, X 2 , ..., X n , ... последовательность неза-
висимых |
случайных |
величин |
с |
математическими |
ожиданиями |
||||||
m1,m2 , ...,mn , ... |
и дисперсиями D1, D2 , ..., Dn , ... , |
ограниченными одной и |
|||||||||
той же константой |
(Di ≤ c, i =1,2, ...). Тогда для любого ε > 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∑Xi − |
∑mi |
|
|
=1. |
|
|
|
|
lim P |
|
|
< ε |
|
|||||
|
|
n→∞ |
|
n i =1 |
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
Иначе это можно записать:
1 |
n |
P |
1 |
n |
|
∑Xi → |
|
∑mi , |
|
n i=1 |
n→∞ |
n i=1 |
||
т.е. теорема Чебышева устанавливает, что при достаточно больших n с вероят-
ностью, |
близкой |
|
к единице, среднее арифметическое случайных величин |
||||||
|
|
= |
1 |
(X1 + X 2 +... + X n ) как угодно мало колеблется около постоянного |
|||||
X |
|||||||||
|
n |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
числа |
(m + m +... + m ) — среднего арифметического математических |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ожиданий этих случайных величин.
Проводя анализ выборочных данных, мы рассматриваем независимые статистические копии одной и той же случайной величины Х. Поэтому, согласно теореме Чебышева, среднее арифметическое таких статистических копий при большом числе слагаемых оказывается практически постоянной (не случайной) величиной, которая и указывает нам «центр» генеральной совокупности.
Теорема Бернулли впервые была сформулирована в XVIII веке Яковом Бернулли. Сейчас принято доказывать ее как следствие теоремы Чебышева.
Рассмотрим последовательность испытаний по схеме Бернулли, т.е. последовательность независимых испытаний, в каждом из которых вероятность интересующего нас случайного события А («успеха») одна и та же и равна р. Обозначим относительную частоту успеха (отношение числа успешных испы-
48
таний к общему их числу), в серии из n испытаний p . В этих условиях раз-
ность между относительной частотой p события А и вероятностью р этого
события становится сколь угодно малой, если число испытаний неограниченно возрастает.
Теорема Бернулли. В последовательности испытаний по схеме Бернулли относительная частота события сходится по вероятности к вероятности этого
P
события: p → p.
n→∞
Теорема Бернулли позволяет обосновывать близость гистограммы, построенной по выборке большого объема, к теоретической плотности распределения (плотности распределения генеральной совокупности). Отметим, что сама эта теорема не гарантирует устойчивости относительных частот в конкретной практической задаче, она позволяет сделать вывод, если такая устойчивость частот имеется (выполняются условия схемы испытаний Бернулли).
4.2.Нормальное распределение и центральная предельная теорема
Напомним, что случайная величина Х называется распределенной по |
||||||
нормальному закону с параметрами а и σ (будем писать X ~ N (a, σ) ), если |
||||||
функция ее плотности распределения имеет вид |
|
|
||||
|
1 |
− |
(x−a)2 |
|
|
|
|
|
2σ2 , x (−∞; +∞). |
|
|
||
f (x) = |
e |
|
|
|
||
2π σ |
|
|
|
|
|
|
При этом математическое ожидание |
|
M (x) = a, дисперсия |
D(x) = σ2. Гра- |
|||
фик плотности распределения симметричен относительно |
прямой |
x = a и |
||||
имеет точки перегиба при x = a ±σ (рис. 4.1). |
|
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
a −σ |
a |
a +σ |
x |
|
||
Рис. 4.1. График плотности нормального распределения X ~ N (a, σ) |
||||||
49
Нормальное распределение с параметрами a = 0, σ =1 называется стандартным нормальным распределением. Нормальная случайная величина X ~ N (a, σ) связана со стандартной X 0 ~ N (0,1) линейной зависимостью:
X = a +σX 0.
При вычислении вероятностей, связанных с нормальным законом распределения, мы будем пользоваться функцией Лапласа Φ(x), значения которой табулированы (приложение 1):
|
|
|
x |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫e− |
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
Φ(x) = |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В курсе теории вероятностей доказываются свойства функции Лапласа: |
|||||||||||
а) Φ(0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Φ(−x) = −Φ(x) (нечетность); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Φ(+∞) = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
X ~ N (a, σ) |
|
||
Расчет вероятностей для случайной величины |
ведется по |
||||||||||
формуле |
|
|
|
β−a |
|
|
α −a |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
|||||
|
P(α < X < β) = Φ |
σ |
|
−Φ |
σ |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которая в частном случае (α = a −ε, β = a +ε) принимает вид: |
|
||||||
P(a −ε < X < a +ε) = P( |
|
X −a |
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
< ε) = 2Φ |
|
. |
(4.2) |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
При ε = 3σ получим P( x −a < 3σ) = 2Φ(3) = 2 0.49865 ≈1 — пра-
вило «трех сигма».
Пример 1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием a = 950 кг и средним квадрати-
ческим отклонением σ =150 кг.
Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажется больше 1250 кг; б) окажется меньше 850 кг;
в) будет находиться между 800 и 1300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг;
д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг. Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши
от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило «3 сигма»).
50
Решение. В случае а нас интересует вероятность того, что вес Х случайно отобранной туши окажется в интервале (1250;+∞).
|
+∞ −950 |
|
|
||
По формуле (4.1) имеем: |
P(1250 < X < +∞) = Φ |
|
|
− |
|
150 |
|||||
|
|
|
|
||
−Φ 1250 −950 = Φ(+∞) −Φ(2) = 0.5 −0.477 = 0.023 —
150
здесь мы воспользовались |
таблицами функции Лапласа (приложение 1) и ее |
|||||||||||||
свойством в (с. 49). |
|
|
|
α = −∞, β = 850, a = 950, |
||||||||||
В случае б применим формулу (2.1) |
при |
|||||||||||||
|
|
|
|
850 −950 |
|
|
−∞ −950 |
|
|
−2 |
|
|||
σ =150 : P(−∞ < X < 850) = Φ |
|
|
−Φ |
|
|
|
|
= Φ |
|
− |
||||
150 |
|
|
150 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−Φ(−∞) = −Φ |
|
+Φ(+∞) = 0.5 −0.249 |
= 0.251 |
— здесь мы применили |
||||||||||
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
свойство нечетности функции Лапласа. |
1300 −950 |
800 |
−950 |
|
||||||||||
В случае в: |
P(800 < |
|
|
|
||||||||||
X <1300) = Φ |
150 |
|
|
−Φ |
150 |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= Φ(2.33) −Φ(−1) = 0.49 +0.34 = 0.83 — вероятность того, что вес случай-
но отобранной туши окажется в интервале от 800 до 1300 кг, составляет 0.83. Вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг (случай г), определим по фор-
муле (4.2):
P( |
|
X −950 |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
< 50) = 2Φ |
|
|
|
= 2Φ(0.33) |
= 2 0.129 = 0.258. |
||
|
|
150 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем вероятность того, что вес случайно отобранной туши отклонится от математического ожидания больше, чем на 50 кг. По свойствам вероятностей противоположных событий:
P( X −950 > 50) =1 − P( X −950 < 50) =1 −0.259 = 0.741.
Проиллюстрируем правило «3 сигма»: если случайная величина X ~ N (a, σ) , то P( X − a < 3σ) = 2Φ(3) = 0.9973 — вероятность того, что
отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала и равна 0.0027. Другими словами, лишь в 27 случаях из 10000 случайная величина Х в результате испытания может оказаться вне интервала
(a −3σ; a +3σ). Такие события считаются практически невозможными. В
нашем случае (a −3σ; a +3σ) = (950 −3 150; 950 +3 150) = (500; 1400)
и можно быть практически уверенным, что вес случайно отобранной туши не выйдет за пределы от 500 до 1400 кг.