ртцис
.pdf31
Умножим и разделим правую часть уравнения (1.53) на к пределу при ∆τ →0 :
|
|
∞ |
rect(t − n∆τ) |
|||
|
|
|
||||
s(t) = |
lim |
∑ s(n∆τ) |
|
∆τ . |
||
∆τ |
||||||
|
∆τ→0 n=−∞ |
|
|
|||
∆τ и перейдем
(1.54)
Дискретный параметр n∆τ при изменении n в бесконечных пределах и ∆τ →0 преобразуется в непрерывный параметр τ . Малая длительность импульса ∆τ переходит в качественно новый параметр – бесконечно малое
приращение аргумента dτ . |
rect(t − n∆τ) |
|
|
lim |
=δ(t −τ) . |
||
∆τ |
|||
∆τ→0 |
|
Пределом суммы по дискретному аргументу n станет интеграл по непрерывному параметру τ :
|
∞ |
|
s(t) = ∫s(τ)δ (t −τ)dτ |
|
−∞ |
или |
(1.55) |
|
∞ |
|
s(t) = ∫s(t −τ)δ (τ)dτ . |
|
−∞ |
Получившееся интегральное преобразование (1.55) называется “сверткой”, для которой можно использовать формальное обозначение s(t) = s(t) δ(t) . Кроме того, преобразование (1.55) иллюстрирует фильт-
рующее свойство δ – функции. Интегральное преобразование (1.55) лежит в основе динамического представления сигнала s(t) с помощью δ – функций.
В выражении (1.55) заменим δ – функцию на производную от функции Хевисайда δ(t −τ) =σ′(t −τ) и, выполняя интегрирование по частям, найдем
∞∞
s(t) = ∫s(τ)σ′(t −τ)dτ = |
∫s′(t −τ)σ(τ)dτ . |
(1.56) |
−∞ |
−∞ |
|
Выражение (1.56) так же, как и (1.55), является сверткой. В (1.56) “сворачиваются” сигнал s(t) с производной от функции Хевисайда либо производная от сигнала s′(t) с функцией Хевисайда:
s(t) = s(t) σ′(t) = s′(t) σ(t) .
На рисунке 1.16 имеется графическая иллюстрация интеграла свертки, анализ которой показывает, что верхний предел интегрирования целесооб-
32
разно заменить на текущий параметр t (полагая рования τ находится внутри параметра t , т.е.
t
s(t) = ∫s′(τ)σ(t −τ)dτ .
−∞
t → ∞). Параметр интегри-
(1.57)
На рисунке 1.17 показано динамическое представление одностороннего (с разрывом в начале координат) сигнала взвешенной суммой функций Хевисайда, смещенных друг относительно друга на интервал времени n∆τ :
N → ∞ |
|
scm (t ) = ∑C nσ (t − n∆τ ) . |
(1.58) |
n =0 |
|
Весовой коэффициент Cn зависит от скорости изменения сигнала в момент времени t = n∆τ . Величина скачка прямо пропорциональна прира-
щению сигнала∆sn в точке t = n∆τ , т.е. |
|
|
Cn = ∆sn = s′(n∆τ)∆τ , |
|
|
scm(t) =∆s0σ(t) +∆s1σ(t −∆τ) +...+∆sNσ(t −N∆τ) = |
(1.59) |
|
N →∞ |
|
|
= ∆s0σ(t) + ∑∆snσ(t − n∆τ) . |
|
|
n=1 |
|
|
Переходя к пределу при ∆τ →0 , получим |
|
|
t |
|
|
s(t) = s(0)σ(t) + ∫s′(τ)σ(t −τ)dτ . |
|
(1.60) |
0 |
|
|
Разрыв в начале координат обозначен как |
∆s0 илиs(0). |
Выражение |
(1.60) называют динамическим представлением |
сигнала s(t) |
с помощью |
функций Хевисайда.
Суть динамического представления заключается в приближённом описании реального сигнала s(t) суммой некоторых элементарных сигналов,
возникающих в последовательные моменты времени. Точное представление исходного сигнала получается в пределе, если длительность отдельных элементарных сигналов стремится к нулю. Динамическое представление подчёркивает развивающийся во времени характер процесса.
|
|
|
33 |
|
s/ (τ) |
|
|
s(t) |
s(t) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
scm(t) |
|
0 |
|
τ |
|
|
σ(−τ) |
|
|
|
|
0 |
|
τ |
|
|
|
σ(t −τ) |
|
|
|
0 |
t |
τ |
0 |
t |
Рисунок 1.16 − Графическое |
Рисунок 1.17 − Динамическое пред- |
|||
ставление интеграла свертки |
представление |
одностороннего |
||
|
|
|
сигнала функциями Хевисайда |
|
1.6 Выводы
Основные операции, которым могут подвергаються сигналы на первом этапе анализа, являются:
а) перемещение во времени; б) интегрирование; в) дифференцирование;
г) взвешенное суммирование; д) определение мгновенного значения;
е) анализ энергии взаимодействия как основной способ сравнения сигналов между собой.
Наиболее универсальными объектами для сравнения в настоящее время являются δ – функция и единичный скачок, которые, как было показано, легко поддаются всем видам преобразований.
Качество аналитического представления произвольного сигнала взвешенной суммой ортогональных элементарных функций зависит от характеристик полного ортогонального набора функций.
34
2 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
2.1 Периодические сигналы и их свойства
В теории и практике радиотехники и радиоэлектроники часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические.
Сигнал s(t ) называется периодическим, если выполняется тождество
s(t )= s(t +T )= s(t + 2T )=... = s(t + kT ), |
(2.1) |
где T − период; k − любое целое число, положительное или отрицательное; аргумент t меняется в бесконечных пределах.
Периодический сигнал s(t ) с периодом T обладает свойством, состоящим в том, что интеграл от него, взятый на интервале длиной T , не меняется при изменении пределов интегрирования, а именно:
t1 |
+T |
t2 +T |
T |
T 2 |
|
|
∫s(t )dt = |
∫s(t )dt = ∫s(t )dt = |
∫s(t )dt . |
(2.2) |
|
|
t1 |
t2 |
0 |
−T 2 |
|
Периодический сигнал s(t ), |
пример которого изображен на рисунке |
||||
2.1, может быть представлен бесконечной суммой непериодических сигналов sT (t ), сдвинутых друг относительно друга по закону
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
s(t ) |
= ∑sT (t + kT ), |
|
(2.3) |
|
|
|
|
|
k =−∞ |
|
|
|
где sT (t ) − описание периодического сигнала в пределах периода T . |
|
|
|||||
|
s(t ) |
|
|
sT (t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sT (t +T ) |
|
|
sT (t −T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t1 |
|
t1 +T |
t |
|
|
|
|
|
|||||
Рисунок 2.1 − Периодический сигнал s(t )
Следует помнить, что бесконечной повторяемости явлений в строгом смысле, определяемом выражением (2.1), не существует в действительности. Таким образом, периодические сигналы являются полезной абстракцией, используемой при решении практических задач.
35
2.2 Гармонические колебания (гармоники)
Примером простейшего периодического сигнала является гармонический колебательный процесс
|
s |
(t)= A |
cos(ω t +ϕ ) |
= A |
cosω (t + t |
)= A cos |
2π |
(t + t ). |
(2.4) |
||||
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
T |
1 |
|
||
|
Сигнал s1(t), описываемый тригонометрической функцией, часто назы- |
||||||||||||
вают гармоникой с амплитудой |
A1, угловой частотой ω1, фазой колебания |
||||||||||||
ω t +ϕ , начальной фазой |
ϕ |
и периодом |
T = |
2π |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. В математической модели (2.4) знак начальной фазы заключен внутрь символа ϕ1. Таким образом, при ϕ1 > 0 косинусоидальное
колебание смещается влево от нуля, а при ϕ1 < 0 косинусоидальное
колебание смещается вправо от нуля.
Для графического отображения гармонического колебания используют либо временное (рисунок 2.2) либо частотное (рисунок 2.3) представление. Оба представления позволяют однозначно описать гармоническое колебание.
s1(t) |
A1 |
0 |
t |
t1 |
T1 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ω1t |
|
|
|||||||
ϕ1 |
2π |
||||||
{An} |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω1 |
ω |
||||
{ϕn} |
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω1 |
ω |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.2 − Временная модель |
Рисунок 2.3 − Спектральная модель |
гармонического колебания |
гармонического колебания |
Временным представлением называется отображение гармонического сигнала функцией времени. Спектральным представлением (спектральными диаграммами) называется изображение амплитуд (и фаз) гармонических колебаний в виде отрезков прямых, расположенных на частотной оси в определенных точках. На рисунке 2.3 показано спектральное представление одной гармоники.
36
Среднее значение гармонического сигнала на периоде T равно нулю
|
|
t |
+T |
|
|
1 |
1 |
∫A1 cos(ω1t +ϕ1 )dt = 0 . |
(2.5) |
T |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
Гармоническое колебание s1(t) с произвольной начальной фазой (коле-
бание общего вида) можно представить суммой косинусоидальной (четной во времени) и синусоидальной (нечетной во времени) тригонометрических составляющих с определенными весовыми коэффициентами.
s(t)= A1 cos(ω1t +ϕ1 )= A1 cosϕ1 cosω1t − A1 sinϕ1 sinω1t = |
(2.6) |
||||||||
= a1 cosω1t + b1 sinω1t. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициенты пропорциональности a1, b1 связаны с амплитудой A1 и |
|||||||||
начальной фазой ϕ1 следующими соотношениями: |
|
|
|
||||||
a |
= A cosϕ |
|
A |
= |
a2 + b2 |
|
|
||
1 |
|
1 |
1 |
|
(2.7) |
||||
1 |
1 |
1 |
|
, |
= −arctg |
b |
. |
||
b1 = −A1sinϕ1 |
ϕ |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3 Векторное и комплексное представления гармонического колебания
Любому гармоническому колебанию можно поставить в соответствие вектор (на декартовой плоскости с координатами XY ), вращающийся против часовой стрелки со скоростью ω1 (рисунок 2.4 а).
|
Y |
|
A |
t =T |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
A1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A cos(ω |
|
|
|
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||||
|
|
|
|
( 1 |
|
|
|
T |
4) |
ω |
|
|
|
4 |
+ϕ |
||||||
а) |
|
|
|
|
1 |
б) |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ϕ |
|
+ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
ϕ1 |
A |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t = 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A1 cosϕ1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.4 − Векторное представление гармоники
Мгновенное значение s1(t) гармонического колебания получают, спроектировав вращающийся вектор с амплитудой A1 на ось абсцисс (рису-
нок 2.4 б).
37
Для многочисленных приложений удобно представление гармонического колебания в комплексной плоскости (по формуле Эйлера) сигналом Z&(t)
& |
(t) |
= |
ω |
+ϕ |
1 ) |
+ |
|
|
ω |
1t |
+ϕ |
1 ) |
= |
A1e |
j(ω1t +ϕ1 ) = & |
jω1t |
, |
(2.8) |
||
Z |
|
A1 cos( 1t |
|
|
jA1 sin( |
|
|
|
A1e |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где |
A&1 = A1e jϕ1 . |
|
|
|
|
|
(2.9) |
||||||
|
В выражении (2.9) комплексный множитель A& |
называют комплексной |
||||||||||||||||||
амплитудой, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
A& |
|
, ϕ |
= arg A& . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Комплексную функцию e jω1t |
|
называют комплексным вектором вра- |
|||||||||||||||||
щения (рисунок 2.5 а). |
|
|
|
|
s1(t) |
можно представить полусуммой ком- |
||||||||||||||
|
Гармоническое колебание |
|
||||||||||||||||||
плексно-сопряженных сигналов Z&(t) и Z& (t)
s1(t )= A1 cos(ω1t +ϕ1 )= A21 [e j(ω1t +ϕ1 ) + e− j(ω1t +ϕ1 )]=C&1e jω1t + C&−1e− jω1t , (2.10)
где C&1(C&−1)− комплексно-сопряженные коэффициенты;
e jω1t (e− jω1t )− комплексные векторы со встречным направлением вращения (рисунок 2.5 б).
|
|
jY |
|
|
|
|
|
jY |
|
|
|
C&−1 |
|
ω1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j |
b1 |
|
|
|
|
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
ϕ1 |
X |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− j |
b1 |
|
|
|
|
C& |
|
|
ω1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− jb1 |
A& |
ω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.5 − Векторное представление гармонического колебания |
||||||||||||||||||
|
|
|
в комплексной плоскости с координатами X , jY |
|
|
|
|||||||||||||
|
Комплексно-сопряженные коэффициенты |
|
C& |
и C& |
−1 |
связаны с весовы- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
ми коэффициентами a1 и b1 следующими соотношениями:
38
C& |
|
= 1 |
A e jϕ1 |
= |
1 A |
(cosϕ |
+ |
j sinϕ )= |
1 (a |
|
− jb ) |
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
(2.11) |
|||
|
|
|
|
A e− jϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C& |
−1 |
= |
= |
A |
(cosϕ |
− j sinϕ |
)= |
(a |
+ jb |
) |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, описание гармонического колебания можно выполнить разными способами:
s (t) |
= A |
cos(ω t +ϕ |
1 |
)= a |
cosω t + b |
sinω t =C& |
e jω1t + C& |
e− jω1t = |
||||||
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 1 |
1 |
1 |
|
−1 |
||
= 2 |
|
C& |
|
cos(ω t + argC& |
), |
|
|
|
|
(2.12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где A1 = 2 C&1 , ϕ1 = argC&1 = −argC&−1.
Тригонометрической и комплексной моделям сигнала соответствуют два способа спектрального представления, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.
|
{A } |
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
{C |
n |
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C−1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
ω1 |
ω |
|
−ω |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ω |
||||
|
{ϕn} |
|
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
{ϕn} |
|
|
|
ϕ1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ω1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
ω1 |
ω |
|
−ω |
|
|
|
|
−ϕ1 |
|
0 |
ω1 ω |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Рисунок 2.6 − Спектр гармоники |
|
Рисунок 2.7 − Спектр гармоники |
||||||||||||||||||
с тригонометрической формой записи |
|
с комплексной формой записи |
|||||||||||||||||||
Замечание. Положительные и отрицательные частоты (рисунок 2.7) позволяют отобразить встречные направления вращения комплексных векто-
ров e± jω1t (рисунок 2.5 б).
2.4 Сложение гармонических колебаний
При сложении двух и более гармоник с одинаковой частотой получают гармоническое колебание с той же самой частотой, но другими амплитудой и начальной фазой (рисунок 2.8).
|
39 |
|
A1 cos(ω1t +ϕ1 ) |
а) |
t |
0 |
|
t1 |
|
|
b1 sinω1t |
б) |
t |
0 |
|
|
a1 cosω1t |
в) |
t |
0 |
Рисунок 2.8 − Графическое представление гармонического сигнала общего вида (а), его нечетной (б) и четной (в) составляющих
Гармонический сигнал sn (t) с амплитудой An ,частотой nω1,начальной фазой ϕn называют высшей гармоникой ( n = 2,4,5...)
sn (t)= An cos(nω1t +ϕn ). |
(2.13) |
Сложение гармоник с кратными частотами ω1, 2ω1, 3ω1, амплитудами A1, A2 , A3 и начальными фазами ϕ1, ϕ2 , ϕ3 приводит к образованию периодического сигнала сложной формы sΣ(t) с периодом T , равным периоду первой гармоники с частотой ω1. Поэтому
sΣ(t)= s1(t)+ s2 |
(t)+ s3 |
(t)= |
(2.14) |
|
= A1 cos(ω1t +ϕ1 )+ A2 cos(2ω1t +ϕ2 )+ A3 cos(3ω1t +ϕ3 ). |
||||
|
||||
Каждое из слагаемых s1(t), s2 (t), s3(t) характеризует отдельное гармоническое колебание, однако график функции sΣ(t) не является гармониче-
ским.
На рисунках 2.9 и 2.10 приведены временное и спектральное представления периодического сигнала сложной формы sΣ(t).
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(t) |
A1 cos(ω1t +ϕ1 ) |
{An} |
A1 |
A |
|
|||||||
|
ω |
2t |
+ϕ |
2 ) |
|
|
|
|||||
A2 cos( |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
A cos(ω t +ϕ |
3 |
) |
|
|
|
A3 |
|
||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω1 |
2ω1 |
3ω1 |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ϕn} |
|
ϕ |
ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ω1 |
2ω1 |
3ω1 |
ω |
Рисунок 2.9 − Сложение гармоник |
|
|
|
|
Рисунок 2.10 − Спектральное |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представление |
|
||
Амплитудным спектром называется совокупность амплитуд {An} гар-
монических колебаний, изображенная в виде отрезков прямых вдоль частотной оси в точках, кратных частоте первой гармоники.
Сложение гармоник только в том случае не приведет к получению периодической функции основного периода первой гармоники T , если частоты высших гармоник находятся на иррациональном отношении (несоизмеримы).
2.5 Энергетические характеристики гармонических колебаний
Если гармоническое колебание sn (t) представляет собой ток или на-
пряжение, то квадрат сигнала sn2 (t) численно равен мгновенной мощности pn (t), выделяющейся на сопротивлении 1 Ом:
pn (t) = sn2(t) .
Энергия n-го гармонического колебания на периоде T = 2π ω1 равна:
|
t1 |
+T |
t1 |
+T |
|
|
|
|
Эn = |
|
∫ |
sn2 (t )dt = |
∫An2 cos2 (nω1t +ϕn )dt = |
|
|||
|
|
t1 |
|
|
t1 |
|
|
|
t1 +T A2 |
[1 + cos 2(nω1t +ϕn )]dt = |
A2 |
|
|||||
= ∫ |
|
n |
n |
|
||||
|
|
T. |
(2.15) |
|||||
2 |
2 |
|||||||
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В выражении |
|
(2.15) |
интеграл от |
гармонической |
функции |
|||
cos(2nω1t + 2ϕn ), согласно (2.5), равен нулю, т.к. в интервале интегрирования