mathanaliz

п.4. Вогнутые функции.

Определение 149. Функция f : (a, b) → R называется вогнутой на интервале (a, b), если для любых точек x1, x2 (a, b) и любого числа λ (0, 1) выполняется неравенство

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λf(x1) + (1 − λ)f(x2).

Если при x1 6= x2 это неравенство является строгим, то функция называется строго вогнутой на интервале (a, b).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Очевидно, что, если функция f выпукла (вогнута) на (a, b), то функция g = −f вогнута (выпукла) на (a, b). Это простое замечание позволит нам получить свойства вогнутой функции f из соответствующих свойств выпуклой функции g = −f.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 97. Для того чтобы функция

f : (a, b) → R

дифференцируемая на интервале (a, b) была вогнутой на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная f0 была невозрастающей функцией на (a, b).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(f − вогнута на (a, b)) Замеч.

(g = ( f) выпукла на (a, b)) 92

− − g0 − неубывающая на (a, b)!

f0 − невозрастающая на (a, b)!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 98. Для того чтобы функция

f : (a, b) → R,

имеющая вторую производную на (a, b), была вогнутой на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы

x (a, b) : f00(x) ≤ 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

(f − вогнута на (a, b)) Замеч.

(g = ( f) выпукла на (a, b)) 93

− −x (a, b) : g00(x) ≥ 0!

x (a, b) : f00(x) ≤ 0!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 99. Пусть f : (a, b) → R дифференцируемая на интервале (a, b). Если её производная f0 : (a, b) → R убывает на (a, b), то функция f строго вогнута на (a, b).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство.

f0 − убывает на (a, b)!

(g = (−f) − строго выпукла на (a, b)) Замеч. (f − строго вогнута на (a, b))

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 100. Пусть f : (a, b) → R имеет

вторую производную на интервале (a, b). Если x (a, b) : f00(x) < 0, то функция f

строго вогнута на (a, b).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(g = (−f) − строго выпукла на (a, b)) Замеч. (f − строго вогнута на (a, b))

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit