Заменяя x на 2 получим неопределённость ви-
да 00
(Обоснование этого действия будет дано дальше в разделе "Непрерывные отображения"). Раскрывать эту неопределённость будем мето-
дом Безу. Разделим многочлен x2 + 2x − 8 на
(x − 2) :
x2 + 2x − 8 |x − 2 x2 − 2x |x + 4
4x − 8
4x − 8
0
Тогда x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4). Анало-
гично запишем знаменатель в виде x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
x2 + 2x |
− |
8 |
0 |
|
|
3 |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
8 |
|
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
(x − 2)(x + 4) |
= |
|
|
|
|
x→2 |
(x − 2)(x2 + 2x + 4) |
|
|
|
|
|
|
= lim |
x + 4 |
= |
6 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
x→2 x2 + 2x + 4 12 2 |
Сокращение на (x − 2) проведено правильно, так как x 6= 2 при x → 2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР – ИНСТРУМЕНТ Найти предел
lim a0x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5 x→g b0x5 + b1x4 + b2x3 + b3x2 + b4x + b5
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.19.4.2. Метод "Умножить на сопряжённое".
В основе приёма лежит одна из формул:
(a − b) a |
|
− |
|
+ ba |
|
|
− |
|
+ · · · + b |
|
− |
an − bn = |
n |
1 |
n |
2 |
n |
2 |
a + b |
n |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
или формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
− ba |
|
− |
|
+ b |
a |
|
|
|
a2n+1 + b2n+1 = (a + b) |
2n |
|
|
2n |
− |
2 |
− · · · − b |
|
|
− a + b |
|
|
|
2n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Сомножители, стоящие в формуле (3.10) [или в формуле (3.11)] справа, называют "сопряжёнными". Метод применяют для раскрытия
неопределённостей вида 00 или (∞ − ∞) .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 61. Найти предел
|
√ |
|
√ |
|
|
lim |
|
x + 4 − 8 |
. |
x→4 |
x − 4 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. √
Положим в формуле (3.10) a = x + 4,
√
b = 8, n = 2. Умножая числитель и знаменатель на сопряжённое к (a − b), получим
|
√ |
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
8 |
|
3.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
4 |
(x |
− |
4) √x + 4 + |
√8! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
√ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
|
4 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
x + 4 + |
|
|
8 |
4 2 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 62. Найти предел |
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
+ √3 |
|
|
|
! . |
x |
lim |
x + 5 |
5 |
− |
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. |
√3 |
|
|
Положим в формуле (3.11) a = |
|
, |
x + 5 |
b = √3 |
|
, n = 1. |
|
|
|
5 − x |
|
|
|
Умножая и деля на сопряжённое к (a + b), получим
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x! |
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
√x + 5 + |
√5 |
− |
∞ − ∞ |
) 3=. |
|
|
|
+ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
( |
x + 5) + (5 − x) |
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(5 − x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ s(x + 5)2 + √x2 − 25 + |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ s(x + 5)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
s(5 |
− x)2 |
|
|
|
√x2 − 25 + |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
√ |
|
− √ |
|
|
axn + b |
lim |
c |
|
|
|
x→g |
|
pxm + q |
ТРЕНАЖЁР Найти предел
√
lim
3 xn + a3 − a
x→g xn
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
|
√3 |
|
− c |
|
lim |
x − b |
|
|
|
x→a |
|
x − a |
ТРЕНАЖЁР Найти предел
|
√ |
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
a + bxn |
|
lim |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти предел |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x − b − c |
|
|
|
x→a |
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕНАЖЁР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти предел |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
− |
√ |
|
|
|
|
xn + a |
|
lim |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
√xn + b − |
√b |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
