Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При доказательстве этой теоремы сначала устанавливают, что эта функция является возрастающей и ограниченной. Поэтому согласно теореме 15 предел функции существует. Его обозначают через e и пишут

	1 n	e.
lim 1		e.
x	n

Можно показать (принимается без доказательства), что число e			является ир-
рациональным. Его приближённое значение e 2.718282.
Теорема 17. Функция y (1 1/ x)x при x имеет предел, равный e :
	1	x	(14)
lim 1	x	e .
x

Предел (14) называют «вторым замечательным пределом».

Пример.

lim x 4 x 2 x x 1

Пусть (x 1) / 3 y, при этом вид

			x 2			x 1		1
x 1 3					3				3
							3	3	3
							3	3
lim				lim 1						.
lim	x 1			lim 1	x 1					.
x	x 1			x	x 1
y , когда		x . Тогда последний предел примет

1 3 y

y 3

lim 1

lim

1 e

Логарифм loga x

называется натуральным, если его основание равно e ,

т. е. a e . Этот логарифм обозначают ln x .

Пусть y ln x . Тогда по определению логарифма ey

x . От последнего со-

отношения возьмём десятичный логарифм и получим lg ey

lg x . По свойству

логарифма будем иметь y lg e lg x . Но y ln x , следовательно,

(ln x)lg e lg x .

(15)

В этой формуле lg e

– известное число (т. к. e

– число известное, то и его

десятичный логарифм известен: lg e 0.4343), поэтому формула (15) выражает десятичный логарифм x через его натуральный логарифм. Ясно, что и, наоборот, по lg x можно найти ln x (lg x) /(lg e) .

5354.ru

§ 13. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (x) , (x) – бесконечно малые функции при			x , т. е.
lim	(x) 0 и	lim (x) 0 . Бесконечно малая функция (x)	называется бес-
x		x

конечно малой функцией одного порядка с бесконечно малой функцией (x) ,

если существует конечный предел lim [ (x) / (x)] 0 .

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

более высокого порядка, чем (x) , если	существует конечный предел
lim [ (x) / (x)] 0 . Значит, проще говоря, (x)	стремится к нулю быстрее, чем
x
(x) .

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

более низкого порядка, чем (x) , если	lim [ (x) / (x)] , т. е., упрощенно,
	x
(x) стремится к нулю медленнее, чем (x) .

Если не существует конечный или бесконечный предел lim [ (x) / (x)] ,

то говорят, что бесконечно малые функции (x) и (x) не сравнимы по отношению.

Бесконечно малая функция (x) называется бесконечно малой функцией

порядка k ( k – определённое число)

по отношению к бесконечно малой

функции (x) , если существует конечный предел

lim

(x)

0 .

[ (x)]k

Например, функция (x) 1 x2

есть бесконечно малая функция второго

порядка по отношению к бесконечно малой функции (x) 1 x

при x .

В самом деле, здесь имеем

lim

(x)

lim

1 x2

lim

1 1.

1 x 2

x (x) 2

Отметим, что две бесконечно малые функции (x)

и (x)

одного и того

же порядка называются

эквивалентными

при

x , если

lim [ (x) / (x)] 1.

Пример. При x бесконечно малые

(x)

– эквивалент-

ные бесконечно малые, так как предел их отношения равен единице. Действительно,

5354.ru

(x)

lim

(x2 3) / x4

x2 3

lim

lim 1

1/ x

x (x)

§ 14. Непрерывность функции в точке и на интервале

Функция y f (x) называется непрерывной в точке x c , если

					lim f (x) f (c) .	(16)
					x c
Это означает, что:
существует		f (c) , т. е. функция f (x) определена в точке				x c и всюду
вблизи точки x c ;
существует предел				lim f (x)	(существуют равные друг другу односто-
				x c
ронние пределы	lim		f (x) lim f (x) );
	x c 0			x c 0
lim f (x) f	(c)	(	lim f (x) lim		f (x) f (c) ).
x c			x c 0	x c 0

Как видно из (16), предел непрерывной функции можно вычислить под-

становкой в функцию предельного значения x c			ее аргумента. Кроме того,
x c можно записать так:	lim x c .	Этот предел подставим в правую часть
	x c
формулы (16) и получим	lim f (x) f (lim x) . Это		равенство показывает, что
	x c	x c

знак предела и знак непрерывной функции можно переставить.

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке открытого интервала (a, b) или замкнутого интервала a, b , то её называют непрерывной в соот-

ветствующем интервале.

Ясно, что для замкнутого интервала соотношение (16) считаем выполнен-

ным	во всех	точках	этого интервала, включая	концы,	т. е. в частности
lim f	(x) f (a)	и lim f (x) f (b) . Здесь предел в точке a представляет собой
x a		x b
			предел справа, так как слева от этой точки
			функция не определена. Аналогично в точке b
			имеем предел слева, так как справа от точки b
			функция не определена.
			Геометрический	смысл непрерывности
			функции заклю-чается в том, что её график
			представляет собой сплошную, без разрывов,
			линию. В самом деле, изобразим на плоскости
	Рис. 43		Oxy график непрерывной		функции y f (x)
			93		5354.ru
					5354.ru

(рис. 43). На кривой отметим точку M0 с абсциссой c , её ордината равна f (c) , т. е. M0 c, f (c) . На этой же кривой возьмём точку M с абсциссой x , её ор-

дината равна f (x) , т. е. M x, f (x) . Когда абсцисса x точки M стремится к c
– абсциссе точки M0 , ордината f (x) точки M стремится к f (c) согласно (16)
в силу непрерывности функции. Это означает,	что при этом точка M стре-
мится к точке M0 , и графиком функции y f (x)	является сплошная линия без
разрывов.

Обозначим величину x c x и назовём ее приращением аргумента рас-

сматриваемой функции	f (x) . Разность соответствующих значений функции
обозначим
	f (x) f (c) y	(17)
или, так как x c x ,	f (c x) f (c) y , и назовём приращением функции

f (x) , вычисленным для точки c и соответствующим приращению x аргу-

мента..
В (16) учтём, что	f (c) lim f (c) , т. к. предел постоянной равен этой посто-
	x c

янной. Этот предел подставим в правую часть (16), затем его перенесём влево и учтём, что разность пределов равна пределу разности. После этого получим

lim f (x) f (c) 0 . Но разность под знаком предела, согласно (17),	равна y .
x c
Поэтому имеем
lim y 0 .	(18)
x 0

Здесь мы учли, что при x c разность x 0 . Таким образом, если функция непрерывна в точке c , то при стремлении приращения аргумента x к нулю, соответствующее приращение функции, вычисленное для точки c , стремится к нулю. Проведя рассуждения в обратном порядке, получим, что из (18) сле-

дует (16).

Соотношение (18) иногда называют вторым определением непрерывно-

сти функции в точке. Оно равносильно исходному определению (16).

§ 15. Свойства непрерывных функций

Теоремы 18 (и 19). Алгебраическая сумма (и произведение) конечного числа функций, непрерывных в точке, есть функция, непрерывная в этой точке.

5354.ru

Теорема 20. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке, есть функция, непрерывная в этой точке, если знаменатель в ней не обращается в нуль.

Эти теоремы доказываются, исходя из определения непрерывности функции (16), с привлечением ранее доказанных теорем о пределе суммы, произведения и частного. На этом не останавливаемся.

Теорема 21. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, есть функция непрерывная.

Доказательство. Теорему докажем для сложной функции, состоящей из двух функций. В случае большего числа образующих функций теорема доказывается аналогично.

Пусть дана функция y f (U ) , в которой U , в свою очередь, является функцией от x (U (x) ), т. е. дана сложная функция

	y f ( (x)) F (x) .	(19)
Пусть значению аргумента x c	отвечает значение U p функции	U (x) ,

т. е. p (c) . Кроме того, известно, что функция	y f (U ) непрерывна в точке
p , т. е. согласно (16)
lim f (U ) f ( p) .		(20)
U p

Дано также, что функция U (x) непрерывна в точке c , соответствующей

точке p ,	т. е. lim (x) (c) . Последняя формула показывает, что при x c
	x c
имеем (x) (c) ,		а так как U (x) ,		p (c) , то U p . Нужно доказать, что
сложная	функция	(19)	непрерывна	в точке c , т. е. нужно показать, что
lim F(x) F(c) . Действительно, с учетом (19) имеем
x c
	lim F(x) lim f ( (x)) lim			f (U ) f ( p) f (c) F(c) .
	x c	x c	U p

Теорема доказана.

Теорема 22. Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Эта теорема принимается без доказательства.

Из теорем 18 – 22 и определения элементарной функции вытекает, что элементарные функции непрерывны в каждой точке, в которой они определены. Отсюда в соответствии с (16) следует, что предел элементарной функции

5354.ru

можно вычислить подстановкой предельного значения аргумента. Например,

lim (sin2 x) sin2 ( / 2) 1 .

x / 2

§ 16. Точки разрыва функции

Точка x c называется точкой разрыва функции y f (x) , если в ней нарушается хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции в точке, указанных в параграфе 14.

В качестве примера возьмём функцию, определённую формулой

f (x) | x | / x .

(21)

Ясно, что эта функция определена везде, кроме точки x 0 . Для любого по-

ложи-тельного x

имеем

и согласно формуле (21)

f (x) 1 . Если же

x 0 ,

то

x и f (x) 1. График

этой функции изображен на рис. 44.

Так как функция в точке x 0 не определена, то на

её графике нет точки с абсциссой x 0 , т. е. нет точки,

лежащей на оси Oy , поэтому график как бы не доходит

Рис. 44

до оси Oy , что отмечено стрелками. Для любой точки

x c 0 имеем f (c) 1. Кроме того, для любого x 0 имеем

f (x) 1 , поэтому

lim f (x) f (c) 1 .

Это означает, что функция в точке

c непрерывна в силу

x c

(16). Аналогично установим, что для любого x c 0

функция также непре-

рывна. Но точка x 0 есть точка разрыва функции (21) по двум причинам:

не существует f (0) , т. к. в точке x 0 функция (21) не определена;

для функции (21) не

существует предел

lim f (x) .

x 0

В самом деле, предел справа этой функции

lim f (x) 1 , а предел слева

lim f (x) 1. Таким

x 0 0

образом, односторонние пределы хотя и суще-

ствуют, но не равны друг другу, значит, не суще-

ствует обычный (двусторонний) предел lim f (x) .

x 0

Точка x c называется точкой разрыва перво-

Рис. 45

го рода функции y f (x) , если существуют конечные односторонние пределы

lim f (x)	и	lim f (x) . Например, для функции (21) точка	x 0 – точка разрыва
x c 0		x c 0

5354.ru

первого рода. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. Для функции f (x) 1 x (рис. 45) точкой разрыва второго рода будет x 0 , так как в этой точке функция не определена и односторонние

пределы бесконечны: lim f (x) и	lim f (x) .
x 0 0	x 0 0

5354.ru

ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Задача об определении скорости

Пусть точка движется по прямой неравномерно и проходит путь от точки

M0 до точки M длиной S за время t (рис. 46). С изменением t					длина пути S
изменяется по заданному закону		S f (t) (т. е. функцию S f (t) считаем за-
данной). Итак,	MM0 S f (t) . В следующий момент времени				t t , t 0 ,
	точка окажется в положении M1 . Таким образом,
	за время		t t	точка пройдёт путь, равный
	f (t t) (получаемый из формулы				S f (t) заме-
	ной	t на	t t ).	Это означает, что за время t
	точ-
Рис. 46		ка проходит путь
			MM1 f (t t) f (t) S.		(1)
Путь MM1	равен приращению функции S f (t) , соответствующему при-

ращению t и вычисляемому для точки t . Ясно, что отношение S t характеризует скорость передвижения точки на участке MM1 за время t . Чем

быстрее точка движется, тем больший путь она пройдёт за время t , тем больше будет значение этого отношения. Нас интересует скорость движения точки не на всём участке MM1 (не за весь промежуток времени t ), а скорость

движения точки в положении M (в момент t ).

Очевидно, что чем меньше t , тем лучше отношение S t характеризует скорость движения точки в момент t . Эту последнюю скорость наиболее

полно характеризует предел	lim( S / t) , который обозначается V V (t) . Итак,
	t 0
V V (t) lim( S / t) или с учётом (1)
t 0
	V V (t) lim	f (t t) f (t)	.	(2)
	V V (t) lim		.	(2)
	t 0	t

5354.ru

§ 2. Определение, механический и геометрический смыслы производной

Дана функция y f (x) . Приращению x аргумента этой функции отвечает её приращение y f (x x) f (x) , записанное для точки x . Возьмём отношение

y f (x x) f (x) .

x x

Предел этого отношения при x 0 называется производной от функции y f (x) в точке x и обозначается f (x) . Итак,

f (x) lim y

x 0 x

или

f (x) lim f (x x) f (x) .

x 0 x

(3)

(4)

Понятно, что в каждой точке x эта производная будет своя, поэтому производная f (x) также является функцией от x . Для обозначения производной применяются также символы y , yx , dy / dx . Значение производной в конкретной точке x a обозначается f (a) или y x a . Отметим, что операция нахож-

дения производной называется дифференцированием. Например, для функции f (x) x2 имеем

f (x) lim (x x)2 (x)2 2x. .

x 0 x

При прямолинейном движении точки по закону S f (t) скорость точки в момент t определяется формулой (2):

V V (t) lim	S	lim	f (t t) f (t)	.
	t
t 0		t 0	t

Сравнив ее с формулами (3), (4), заключаем, что в правой части (2) стоит выражение, равное f (t) St . Итак, скорость V точки в момент t равна произ-

водной от пути S по времени t . В этом состоит механический смысл произ-

водной.

Выясним теперь геометрический смысл производной. Пусть дана функция y f (x) . Изобразим её график на плоскости Oxy и на кривой y f (x)

5354.ru

возьмём точки	M0 x, f (x) и M1 x x, f (x x) (рис. 47 сделан для случая,
когда x 0 и	x x x , а если x 0 , то точка M1 будет лежать левее точки

M0 ). Через точки M0 , M1 проведём секущую для графика данной функции. Эта секущая образует с осью Ox угол . Пусть K - точка с абсциссой x x и

ординатой f x. Из рис. 47 видно, что для треугольника M0 KM1	справедливо
соотношение
y / x tg .	(5)

Рис. 47

Если при стремлении точки M1 к точке M0 с любой стороны секущая M0 M1 стремится к определённому положению M0T , то эта прямая M0T называется

касательной к кривой y f (x) в её точке M0 .

Пусть – угол, образованный этой касательной с осью Ox , тогда при

x 0 точка M1 стремится к M0 ,				M0 M1	стремится к M0T и угол стремится
к углу . Так как		tg – непрерывная функция, то lim tg tg . Перейдём в

(5)	к пределу при	x 0 ,	тогда	lim( y / x) lim tg . Предел в правой части
				x 0	x 0

равен tg , а согласно (3)			предел в левой части последней формулы равен
f (x) , поэтому f (x) tg .

	Итак, вычисленная в точке x			производная от функции y f (x)		равна tg ,
причём угол образован с осью Ox касательной к кривой y f (x)						в её точке
M0	с абсциссой x . В этом заключается геометрический смысл производной.

Иначе говоря, эта производная равна угловому коэффициенту k tg касательной.

100

5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.04.2019125 Кб6RTsB_test.doc
#
12.05.2015371 Кб12rulturologiy 2.pdf
#
14.11.2018294 Кб9russkij-yaz.-egye-chast-s-yenciklopediya.doc
#
17.03.2016150 Кб13rutrvar56.pdf
#
17.03.2016311 Кб7ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354.pdf
#
12.05.20154 Мб46SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web.pdf
#
12.05.20154 Мб121SalimovRB_matematika_gl_1-9_2011_web.pdf
#
11.05.2015989 Кб45Sbornik_testov_s_otvetami_marketing.doc
#
01.05.2025714 Кб1Sbornik_zadach_-mogut_prigoditsya_pri_sdache_ek...docx
#
12.05.201510 Мб17SGH_i900_service_manual-spaces_ru.pdf
#
12.05.2015526 Кб52Shavali_Burova_109_13.pdf