SalimovRB_matematika_gl_1-20_2011_web

Здесь 0 x при x 0 и x 0 при x 0. Если имеет место условие (26), то

§7. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

1. Пусть f x ex . Имеем f x f x ... f n x ... ex ,

Радиус сходимости этого ряда мы вычислили ранее и показали, что он равен бесконечности. Это означает, что ряд (31) сходится на всей числовой оси, , т. е. для любого x. Необходимо еще рассмотреть поведение оста-

точного члена формулы Тейлора Rn x . Он определяется формулой (29) и для функции f x ex примет вид

Так как ряд (31) сходится для любого x, то согласно необходимому признаку

ниченной функцией от n, так как e ex . Другой сомножитель в правой части формулы (32) в силу условия (33) есть бесконечно малая функция. Согласно теории пределов, произведение бесконечно малой и ограниченной функций

этот ряд имеет радиус сходимости, равный бесконечности. Остаётся рассмотреть поведение остаточного члена формулы (29) для функции f x sin x.

тель формулы (29) стремится к нулю при n согласно (33), и произведение этой величины на ограниченную величину f n 1 есть бесконечно малая

функция при n для любого x.

Итак, для любого x функция Rn x в (29) удовлетворяет соотношению (26), поэтому ряд, построенный для f x sin x , для любого x представляет эту функцию, т. е.

Поступив совершенно аналогично, покажем, что для cos x справедливо следующее разложение в ряд Маклорена:

3. Разложим в ряд Маклорена функцию f x 1 x m , где m - любое действительное число. Найдем производные

332

5354.ru

f x m 1 x m 1 , f (x) m m 1 1 x m 2 , … f n (x) m m 1 m 2 . . . m n 1 1 x m n ,

f n 1 (x) m m 1 m 2 . . . m n 1 m n 1 x m n 1 ,

вычислим их значения в точке x 0 и составим ряд Маклорена для рассматриваемой функции:

Чтобы раскрыть неопределённость типа под знаком предела, поделим на

R 1L 1. Это означает, что ряд сходится в интервале 1 x 1. Осталось рассмотреть поведение остаточного члена Rn x формулы Тейлора для рассматриваемой функции при n . Имеем

f n 1 m m 1 m 2 ... m n 1 m n 1 m n 1 .

Это выражение подставим в формулу (29) и получим

xn 1

Rn x n 1 !m m 1 m 2 . . . m n 1 m n 1 m n 1 .

В этом выражении есть некоторая заранее неизвестная точка, лежащая между нулём и x, причём 1 x 1. Для указанного x можно показать, что

lim Rn x 0. Таким образом, для 1 x 1 ряд (35) для функции 1 x m пред-

n

ставляет эту функцию, т. е.

1 x 1.

333

5354.ru

Этот ряд называют биномиальным. Отметим, что если в последней формуле m - целое положительное число, то в правой части останется только конечное число слагаемых, так как производные порядков, больших или равных m 1 будут тождественными нулями. В результате получим частный случай так называемой формулы бинома Ньютона.

§8. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

1. Вычисление значений функций. Возьмём разложение (34) функции

то нашли бы точное значение sin ( 18). Указанную сумму найти не удаётся, поэтому её приближённо заменим n -й частичной суммой Sn указанного ряда, помня, что Sn S при n . Приближенное равенство Sn S будет тем точ-

нее, чем больше n. Таким образом, в правой части можно сохранить первые n слагаемых, а остальные отбросить. Тем самым получим приближенную формулу для нахождения sin ( 18). Сохраним в ряде первые два слагаемых и получим приближенную формулу

ются все условия теоремы Лейбница (см. параграф 6 главы 16). Поэтому ряд сходится, сумма его положительна и меньше первого члена ряда. Таким образом, в приближённой формуле (36) погрешность меньше этого первого члена18 5 5! 4 10 6. Таким образом, мы записали приближённую формулу для

вычисления sin ( 18) и указали её погрешность. Сохранив в разложении для sin ( 18) большее число первых членов, получим более точную формулу.

334

5354.ru

ло. Этот интеграл не удается вычислить по формуле Ньютона–Лейбница, так как первообразную для подинтегральной функции нельзя записать через элементарные функции. Поэтому интеграл можно вычислить только приближённо, например, по формуле трапеций (см. параграф 11 главы 12). Рассмотрим здесь метод, основанный на использовании степенных рядов.

любого x. С учётом теоремы о почленном интегрировании степенных рядов проинтегрируем ряд в интервале от 0 до a :

Если бы нам удалось найти сумму ряда в правой части (38), то нашли бы точное значение искомого интеграла. Но эту сумму найти не удается, поэтому приближённо заменим её n -й частичной суммой ряда, отбросив все остальные члены, и получим приближённую формулу для вычисления исходного интеграла.

Заменим приближённо указанную сумму ряда для интеграла второй частичной суммой:

реме Лейбница его сумма положительна и меньше первого члена a5(5!5). Таким образом, формула (39) даёт приближённое значение искомого интеграла, и погрешность этой формулы меньше a5(5!5).

335

5354.ru

§9. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения второго порядка

ренцируемой сколь угодно раз по своим аргументам.

Согласно теореме параграфа 8 главы 15, уравнение (40) с правой частью, для которой выполняются условия этой теоремы, имеет единственное решение y y x , удовлетворяющее начальным условиям (41). Предположим, что

искомое решение y x разлагается в ряд Тейлора, и соответственно будем искать его в виде

y( x) y x0 y x0 x x0

Ряд (42) будет найден, если вычислим все его коэффициенты, т. е. найдём

части этого равенства стоит известное выражение F, содержащее известные числа x0 , y x0 , y x0 . Значит, мы нашли значения y x0 , используя исходное

336

5354.ru

y 4 x0 . Продолжив этот процесс, получим все коэффициенты разложения

(42). Если бы нам удалось найти сумму ряда Тейлора в правой части формулы (42), то мы бы нашли искомое решение точно. Как правило, эту сумму найти не удаётся, но мы можем получить приближённое выражение для искомого решения, сохранив в (42) первые n 1 слагаемых, отбросив остальные, иначе говоря, заменив сумму ряда (n 1) -й частичной суммой:

в котором требуется найти все коэффициенты. Согласно начальным условиям

ким образом, при x 0 каждая чётная производная равна предыдущей чётной производной, взятой с обратным знаком. Но y 0 0, поэтому все чётные

производные равны нулю (при x 0 ). Аналогично каждая нечётная производная при x 0 равна предыдущей нечётной производной, взятой с обратным

искомое решение y x sin x. Если бы нам не удалось найти сумму ряда, то

мы получили бы приближённое решение уравнения, сохранив первые несколько членов разложения и отбросив остальные. Например, y x x x33!.

338

5354.ru

ГЛАВА 18. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЧАСТЬ 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

§1. Статистическое и классическое определения вероятности случайного события.

Геометрическая вероятность

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события.

Случайное событие – это событие, которое может произойти или нет при осуществлении определённых условий.

В дальнейшем вместо слов «осуществлены определенные условия» будем говорить «проведено испытание». Например, появление надписи при бросании монеты – случайное событие, а бросание монеты – испытание. Достоверным называется событие, которое в результате испытания неизбежно должно произойти. Невозможное событие – событие, которое в данном испытании произойти не может. Каждое случайное событие зависит от множества факторов, которые невозможно учесть, поэтому нельзя предсказать появление или непоявление отдельного случайного события. Иначе обстоит дело, когда речь идёт о случайных событиях, которые могут многократно повторяться при одинаковых испытаниях, т. е. когда речь идёт о массовых однородных случайных событиях. Они имеют закономерности. Теория вероятностей занимается изучением закономерностей массовых случайных событий. Знание этих закономерностей позволяет предсказать, как будут происходить события. Если нельзя предсказать появление надписи при одном бросании монеты, то можно приблизительно предсказать число появления надписи, например, при 100 бросаниях. Надпись появляется приблизительно 50 раз. Теория вероятностей применяется в теориях надёжности, массового обслуживания,

P A p m / n .

339

5354.ru

Пример. Пусть A – попадание в цель при выстреле, положим, что сделано 100 выстрелов, при этом попаданий было 51, тогда p 51/100.

Пусть испытания проводятся сериями. Если в сериях испытаний число испытаний невелико, то, как показывает опыт, при переходе от одной серии к другой относительные частоты случайного события A изменяются существенно. Иначе дело обстоит в случае, когда в сериях испытаний число испытаний велико. Опыт показывает, что в этом случае при переходе от серии к серии с большим числом испытаний относительные частоты случайного события A изменяются мало. Значит, относительная частота случайного события приобретает устойчивость, теряет случайность. При этом существует такое число p, вокруг которого группируются относительные частоты случайного события A в сериях с большим числом испытаний. Группировка происходит тем теснее, чем больше число испытаний. Указанное число p называется вероятностью рассмотренного случайного события A и обозначается

В этом случае условно пишут m / n p при n , но эта запись не означает обычного стремления к числу p величины m / n при n , а означает лишь сказанное выше. Это и есть статистическое определение вероятности.

Случайные события называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Случайные события называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе (одновременно) при данном испытании.

Будем говорить, что случайные события образуют полную группу несов-

местных событий, если при каждом испытании обязательно появится одно из них (какое-либо) и только одно.

Однородный куб, на гранях которого нанесены цифры от 1 до 6, называется игральной костью. При бросании игральной кости будем следить за появлением цифры на верхней её грани. При этом может произойти любое из следующих шести событий: появление цифры 1; появление цифры 2; появление цифры 3; появление цифры 4; появление цифры 5; появление цифры 6. Эти шесть событий образуют полную группу, так как при каждом бросании обязательно появляется какое-либо одно из них и только одно. В то же время первые пять из этих событий не образуют полную группу, так как появление цифры 6 на верхней грани игральной кости будет означать, что при этом испытании ни одно из пяти названных событий не появилось.

340

5354.ru