mehanika

ства, наконец, между кривыми плавления и испарения — жидкому состоянию. Как уже указывалось, любая точка, лежащая на одной из указанных кривых, изображает равновесное состояние двух соответствующих фаз вещества. Таким образом, каждая точка на диаграмме давление — температура соответствует определённому равновесному состоянию вещества. Поэтому её называют диаграммой состояния. На рис.67.1 приведена диаграмма состояния для веществ, у которых плотность в твёрдом состоянии больше, чем в жидком. У них с повышением давления температура плавления возрастает. Однако у некоторых веществ, наоборот, плотность вещества в твёрдом состоянии меньше, чем в жидком. Для них с повышением давления температура плавления понижается (см. §65, пункты 2 и 3). Диаграмма состояния для этих веществ показана на рис. 67.2. Для вещества с несколькими кристаллическими фазами диаграмма состояния имеет более сложный характер. На рис. 67.3 изображена диаграмма для случая, когда у вещества две твёрдых кристаллических фазы. У таких веществ две тройных точки. В точке D в равновесии находятся первая кристаллическая фаза, жидкость и газ, а в точке D1 — жидкость и обе твёрдые фазы.

Диаграмма состояния для каждого вещества строится на основе опытных данных. Зная её, можно предсказать состояние вещества при различных условиях (при разных давлениях и температурах), а также превращения вещества при различных процессах. Поясним это на примерах. Возьмём вещество в состоянии, соответствующем точке a на рис. 67.3, и подвергнем его изобарическому нагреванию, то на участке a – a' происходит повышение температуры кристалла до температуры плавления, в состоянии a' наблюдается плавление кристалла и превращение его в жидкость. В этом состоянии одновременно существуют твёрдая и жидкая фаза вещества. Когда кристалл полностью расплавится, то температура жидкости начинает повышаться (участок a' – b') до температуры кипения. В состоянии b' жидкость кипит при постоянном давлении. После того, как она полностью выкипит, образуется ненасыщенный пар (газ), температура которого вновь повышается (участок b' – b). Если же вещество

168

давление, примерно, 100 кПа). В силу этого, при атмосферном давлении вещество может существовать только в твёрдом (сухой лёд) и газообразном состояниях. Сухой лёд непосредственно превращается в газ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1.Фазой называют часть термодинамической системы, обладающей одинаковыми физическими свойствами. Это понятие в какой-то мере ассоциируется с понятием агрегатного состояния вещества, но оно, однако, шире. Так, например, различные кристаллические модификации (разновидности) вещества также представляют собой различные фазы.

2.При определённых условиях разные фазы одного и того же вещества, находясь в соприкосновении, остаются в равновесии друг с другом, т.е. их массы не меняются. Равновесие двух фаз наблюдается только при определённых значениях параметров состояния. Поэтому состояние равновесия двух фаз, например, на диаграмме (координатной плоскости) давление P — температура T изображается точкой, асовокупностьтакихсостояний— линией, т.е. графикомзависимостиP = f (T).

3.Процессы, в результате которых происходит превращение одной фазы ве-

щества в другую, называются фазовыми превращениями или фазовыми пере-

ходами. Переходы вещества, связанные с изменением расположения его атомов или молекул, называют фазовыми превращениями первого рода. Эти превра-

щения сопровождаются поглощением или выделением определённого количества теплоты. При фазовых переходах второго рода не происходит выделения или поглощения количества теплоты, а наблюдается лишь скачкообразное изменение некоторых физических свойств вещества.

4.Парообразованием называется процесс перехода вещества из жидкого состояния в газообразное, а обратный процесс называют конденсацией. Испарение — это процесс парообразования, происходящий с открытой поверхности жидкости при любой температуре.

5.Состояние термодинамической системы, при котором число молекул, покидающих жидкость, равно числу молекул, возвращающихся в неё, называют динамическим равновесием, а пар, находящийся в динамическом равновесии со своей жидкостью, называется насыщенным. Насыщенный пар при данной температуре имеет определённую плотность, называемую равновесной. Это обусловливает неизменность равновесной плотности, а следовательно, и давления насыщенного пара от его объёма, поскольку уменьшение или увеличение объёма этого пара приводит к конденсации пара или к испарению жидкости, соответственно.

6.Кипение — это процесс парообразования, происходящий по всему объёму жидкости при постоянной температуре, называемой температурой кипения, которая зависит от природы жидкости. Кипение в жидкости возникает лишь в тот момент, когда давление насыщенного пара жидкости в газовых пузырьках, находящихся в ней, становится равным внешнему давлению. Температура, соответствующая этому давлению насыщенных паров, и является температурой ки-

169

пения жидкости. С изменением внешнего давления, кипение происходит при различных давлениях насыщенного пара жидкости в газовых пузырьках, а следовательно, и при разных температурах.

7.Плавлением называют процесс перехода вещества из твёрдого состояния в жидкое. Существует два вида твёрдых тел — кристаллические и аморфные. Плавление кристаллических тел происходит при определённой для каждого вещества температуре, называемой температурой плавления, и требует затраты некоторого количества теплоты, называемого теплотой плавления. При плавлении аморфных тел нет определённой температуры перехода в жидкость. Можно лишь указать интервал температур, при котором происходит размягчение тела. Процесс перехода вещества из жидкого состояния в твёрдое называется отвердеванием. В случае кристаллических тел его называют кристаллизацией.

8.Процесс перехода вещества из твёрдого состояния в газообразное называет-

ся сублимацией, или возгонкой.

9.Если в одной координатной плоскости, например, P — T, изобразить кривые равновесия двух фаз жидкость — насыщенный пар (кривая испарения), жидкость — кристалл (кривая плавления) и кристалл — насыщенный пар (кривая сублимации) какого-нибудь вещества, то они пересекаются в одной точке, называемой тройной точкой. В этом состоянии вещество одновременно находится в трёх равновесных состояниях — твёрдом, жидком и газообразном. При этом кривые испарения, плавления и сублимации делят координатную плоскость на три области. Ниже кривых сублимации и испарения находятся точки, соответствующие газообразному состоянию вещества, слева от кривых сублимации и плавления точки соответствуют кристаллическому (твёрдому) состоянию, между кривыми плавления и испарения — жидкому состоянию (см. рис. 67.1 и 67.2). Каждая точка на диаграмме давление — температура соответствует определённому равновесному состоянию вещества. Поэтому её называют диаграммой состояния. Знание диаграмм состояния вещества позволяет предсказывать, в каком состоянии будет находиться вещество при определённых значениях давления и температуры.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называют фазой вещества и фазовыми переходами?

2.Что называется испарением, конденсацией, кипением, плавлением, отвердеванием и сублимацией?

3.Какой пар называется насыщенным?

4.Что называют тройной точкой?

5.Что такое диаграмма состояния и для чего она нужна?

170

Приложение 1

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

Существуют три вида векторов: свободные, т.е. векторы, которые могут быть отложены из любой точки пространства; скользящие, начало которых может перемещаться вдоль прямой, проведённой через вектор; связанные, т.е. векторы, приложенные к определённой точке. Скользящие и связанные векторы могут быть

b

Рис. П. 1.1

выражены через свободные векторы. В силу этого, векторное исчисление основываетсянапонятиисвободноговектора, обычноназываемого простовектором.

ar4

Рис. П. 1.2

несём вектор b (или ar) так, чтобы начала векторов совпали. Затем построим на них параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма и есть векторrc (рис.

П.1.1,б). Вектор cr можно найти и иным способом. Перенесём вектор b параллельно самому себе таким образом, чтобы его начало оказалось совмещённым с концом вектора arr (рис. П. 1.1, в). Тогда вектор, проведённый из начала вектора a

в конец вектора b , и будет вектором cr = ar + b. Последний способ особенно удобен при сложении нескольких векторов.

Пусть даны, например, четыре вектора a1, a2 , a3 и a4 (рис. П. 1.2, а). Перене-

сём векторы параллельно самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего в любой последовательности (рис. П. 1.2, б). Получается ломаная линия. Соединив начало первого отложенного вектора с концом по-

171

следнего, получим вектор ar, равный a = a1 + a2 + a3 + a4 . Этот способ сложения векторов называют методом многоугольника.

вектором ar, если скаляр n положительный, и противоположно вектору ar, когда

скаляр n отрицательный. Деление вектора a на скаляр m равносильно умножению этого вектора на скаляр n = 1/m.

4r. Векторное произведение векторов. Векторным произведением векторов a

и b называется вектор cr, перпендикулярный к этим векторам и направленный так, что после совмещения начал указанных векторов кратчайший поворот от a к

b казался бы наблюдателю, смотрящему с конца вектора c , идущим против часовой стрелки (рис. П. 1.4). Модуль c этого вектора равен c

общемуначалу.

Приложение 2

ПРОИЗВОДНАЯ

1. Производной, обозначаемой через y′, некоторой функции y = f (x) по аргументу x называется предел отношения приращения функции y = f (x + x) – f (x) к приращению аргумента x при его стремлении к нулю, т.е.

172

Дифференциалом dy той же функции называют выражение dy = y′dx, где dx — дифференциал аргумента, равный бесконечно малому приращению аргумента. Отсюда

т.е. производная— этоотношениедифференциалафункциикдифференциалуаргумента.

В действительности же предельный переход, указанный в формуле (П.2.1), по ряду причин (например, в силу атомистического строения вещества, погрешностей измерений и т.д.) осуществить невозможно. Это идеализированная абстракция, идеализированное представление. Поэтому в физике поступают иначе. Предположим, что необходимо измерить скорость снаряда, движущегося в воздухе в некоторой точке М траектории (рис. П.2.1). Для этого надо измерить расстояние l, в котором находится данная точка, и промежуток времени t, за который сна-

мерения. Обозначим эти значения, соответственно, через dt и dl. Назовём их элементарными. С учётом этого, модуль υ скорости равен:

С элементарными величинами физики обращаются как с дифференциалами. Поэтому можно сказать, что скорость — это производная пути по времени. Таким об-

разом, в физике производная равна отношению конечных достаточно малых (элементарных) приращенийфункциииаргумента, анекакпределэтогоотношения.

2. Частная производная функции нескольких переменных u = f (x,y,z,t) по одной из них, например по x, обозначаемой ∂∂ux , определяется равенством

лишь одна из независимых переменных. Функция n переменных имеет n част-

ных производных первого порядка: ∂∂ux , ∂∂uy , ∂∂uz , ∂∂ut и т.д. Частная производ-

ная находится по правилам дифференцирования функции одной переменной, причём остальные переменные рассматриваются в данном случае как постоянные.

3. Правила дифференцирования, т.е. нахождения производной функции одной переменной.

173

а) Производная алгебраической суммы двух или нескольких функций равна алгебраической сумме производных от каждой функции: dxd (u +υ − w +K)= dudx + ddxυ − dwdx +K

б) Производная произведения двух или нескольких функций равна: для двух функций (uυ)′ = u′υ + uυ′; для трёх функций (uυw)′= u′υw + uυ′ w + uυw′.

в) Из правила б) следует (Cu)′ = Cu′ , т.е. постоянную величину можно выносить за знак производной или, наоборот, вносить.

д) Производная функции от функции (сложной функции) вычисляется по

Частная производная второго порядка от функции u = f(x,y,z,t) может быть

взята по той же переменной, что и первая ( ∂2u , ∂2u и т.д.) или же по другой

∂x2 ∂y2

переменной ( ∂2u , ∂2u , ...); в последнем случае производная называется сме-

∂x∂y ∂x∂z

шанной. Величина смешанной производной не зависит от порядка переменных,

по которым берутся производные ( ∂2u = ∂2u ). Частные производные более

∂x∂y ∂y∂x

высокого порядка определяются аналогично.

Приложение 3

174

ИНТЕГРАЛ

1. Первообразная функция. Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной y = f (x), определённой в некоторой области, называется такая функция F(x), производная от которой равна dFdx(x) = f (x)

или dF (x) = f (x) dx.

2. Неопределённый интеграл. Общее выражение F(x) + C, где C — произ-

вольная постоянная величина, для всех первообразных от данной функции f (x) называют неопределённым интегралом от функции f (x) или от дифференциала f (x) dx.

Обозначение:

∫ f (x) dx =∫dF (x) = F (x) + C.

Здесь ∫ — знак интеграла, f (x) — подынтегральная функция, dF(x) — подын-

тегральное выражение.

3. Определённым интегралом некоторой функции f(x) на числовом промежутке

нимать таким образом. Числовой промежуток [a,b] разбивается на n малых интервалов x1, x2, ... , xn. Длина xi каждого из них умножается на значение функции f(xi) в произвольной точке, находящейся внутри этого малого интервала. Затем составляется сумма ∑ f (xi ) xi и от неё берётся предел при условии, что n стремится к бес-

i

конечности, адлинакаждогомалогоинтервала xi будетстремитьсякнулю. Реально же такой предельный переход провести невозможно по ряду принципи-

альных соображений (например, из-за атомистического строения вещества), атакже вследствие того, что точность измерений уменьшается при уменьшении значения измеряемой величины. Поэтому поступают иным образом. Числовой промежуток

Итак, в физике определённый интеграл рассматривается не как предел суммы, а как сумма большого числа достаточно малых слагаемых.

4. Основные правила интегрирования — это свойства неопределённых ин-

тегралов, позволяющие преобразовывать интеграл данной функции к интегралам от других функций:

а) Интегралотмногочленаравенсуммеинтеграловоткаждогослагаемого, т.е.

∫(u +υ − w)dx = ∫u dx +∫υ dx − ∫w dx,

175

где u, υ и w — функции от x.

б) Постоянный множитель C можно выносить за знак интеграла:

∫Cf (x)dx = C∫ f (x)dx.

в) Правило подстановки. Если x = ϕ (t), то ∫ f (x)dx =∫ f (ϕ(t)) ϕ′(t)dt.

г) Интегрированиепочастям: ∫u dυ = uυ − ∫υ du, гдеu, υ — функцииотx. 5. Таблица некоторых интегралов (постоянные интегрирования опущены)

Приложение 4 Вычисление средней скорости теплового движения молекул

Средняя скорость теплового движения молекул находится по формуле:

воспользуемся правилом интегрирования по частям (см. приложение 3, п. 4).

после подстановки пределов интегрирования равна нулю вследствие того, что показательная функция e–x стремится к нулю быстрее, чем стремится к беско-

Приложение 5

Вычислениесреднегозначенияквадратаскороститепловогодвижениямолекул.

176

Среднее значение <υ2> квадрата скорости молекул находится по формуле

Рассмотрим двойной интеграл от функции e−αυ2 −αu 2 по областям (D1), (D2) и (D3), указанным на рис. П.5.1, где (D1) — четверть круга с центром в точке O и радиусом r, (D2) — квадрат, ограниченный прямыми υ = 0, υ = r, u = 0, u = r и (D3) — чет-

верть круга с центром в точке O и радиусом r 2. Из рис. П.5.1 видно, что (D1) являютсячастью(D2), а(D2) частью(D3). Тогдаочевидныследующиенеравенства:

При стремлении r к бесконечности крайние члены неравенства стремятся к π/(4α). Следовательно, ктому жепределу должен стремиться исреднийчлен. Изэтогоследуетследующеезначениеинтеграла(П.5.2):

177