учебник , электродинамика
.pdf
Запишем его в показательном виде: ω02 – Ω2 + 2βΩi = = |
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 eiδ, |
||||||||
где δ находится из соотношения: tgδ = |
|
|
2βΩ |
(см. (38.19)) и |
|||||
Ω2 − ω2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
δ = arctg |
|
2βΩ |
|
. |
(41.7) |
||
|
|
Ω2 − ω2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
С учётом этого уравнение (41.6) принимает вид: |
|
|
|||||||
ξ) |
= |
B eiΩt |
= |
|
|
B |
ei(Ωt −δ). (41.8) |
||
1 |
|
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 eiδ |
|
|
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 |
||||
|
|
|
|
||||||
Сравнивая уравнения (41.6) и (41.8), приходим к выводу, что смещение или заряд на конденсаторе отстаёт по фазе от вынуждающего воздействия на величину δ.
Взявдействительнуючастьуравнения(41.8), частноерешениезаписываетсяввиде:
ξ(t) = Aв cos(Ωt – δ), |
(41.9) |
||
где |
B |
|
|
Aв = |
(41.10) |
||
(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 |
|||
|
|
||
— амплитуда вынужденных колебаний.
Таким образом, решением дифференциального уравнения (41.3), учитывая
(41.4) и (41.5), является уравнение |
|
|
|
ξ(t) = A e− βt cos(ωt + α) + A |
в |
cos(Ωt – δ). |
(41.11) |
0 |
|
|
Первое слагаемое в формуле (41.11) быстро убывает при увеличении t ввиду наличия множителя e–βt (β > 0). Это слагаемое заметно влияет на величину ξ лишь в начале колебаний, а в дальнейшем определяется вторым членом. Поэтому можно сделать вывод, что под действием внешнего периодического воздействия в колебательной системе возникают вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающего воздействия:
ξ(t) = Aв cos(Ωt – δ). |
(41.12) |
Амплитуда вынужденных колебаний (см. (41.10)) зависит от амплитуды вынуждающего воздействия, от характеристик колебательной системы (коэффициент затухания β и собственная частота ω0 колебательной системы) и от частоты
вынуждающего воздействия.
4. Из выражения (41.10) следует, что амплитуда Aв вынужденных колебаний
зависит прежде всего от частоты Ω вынуждающего воздействия, поскольку для данной системы ω0, β и B — величины постоянные. Проанализируем это выра-
жение. При Ω = 0, т.е. при статической нагрузке, Aв = B/ω02 , а при Ω → ∞,
92
Aв → 0. Для построения зависимости Aв от Ω исследуем её на экстремум. Амплитуда Aв будет максимальной, если подкоренное выражение
z = (ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 минимально. Для нахождения циклической частоты Ωр, при которой Aв максимальна, надо, как известно из дифференциального анали-
за, |
продифференцировать z по Ω и |
производную приравнять к |
нулю, т.е. |
||||
|
dz |
= |
d |
[(ω02 − Ω2 )2 + 4β2Ω2 ] = 0. |
Отсюда Ω(Ω2 − ω02 + 2β2 ) = 0. |
Поскольку |
|
|
dΩ |
|
|||||
|
|
dΩ |
|
|
|
||
Ω ≠ 0, то Ω2 − ω02 + 2β2 = 0 и Ω = ± |
ω02 − 2β2 . Отрицательное решение надо |
||||||
отбросить, так как циклическая частота не может быть отрицательной. Поэтому
|
|
|
|
|
|
Ωр = ω02 − 2β2 . |
(41.13) |
||
Подставляя (41.13) в (41.10), находим выражение резонансной амплитуды Aвр: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
Aвр = 2β ω02 −β2 . |
(41.14) |
||
|
|
|
A |
|
β3 |
|
Из (41.13) и (41.14) вытекает, что с умень- |
||
|
|
|
|
β2 |
|
|
шением коэффициента затухания β резо- |
||
|
|
|
|
|
|
нансная циклическая частота Ω приближа- |
|||
|
|
|
|
|
β1 > β2 |
> β3 |
|
р |
|
|
|
|
|
|
ется к собственной циклической частоте ω |
||||
|
|
|
|
β1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
колебательной системы, а резонансная ам- |
|||
|
B |
|
|
|
|
плитуда Aвр возрастает. Явление резкого |
|||
|
|
|
|
|
ω0 |
|
возрастания амплитуды вынужденных ко- |
||
|
ω2 |
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
лебаний, когда частота вынуждающих воз- |
|||
0 |
Ωp1Ωp2 Ωp3 |
Ω |
|||||||
действий близка |
к собственной частоте |
||||||||
Рис. 41.2 |
колебательной системы, называется |
резо- |
||
нансом. |
На рис. 41.2 приведены так назы- |
|||
|
||||
ваемые резонансные кривые, т.е. зависимость амплитуды Aв вынужденных коле-
баний от циклической частоты Ω вынуждающего воздействия при различных значениях коэффициента затухания β, т.е. совокупность графиков функции (41.10) при различных β.
Явление резонанса может быть как полезным, так и вредным. Так, например, явление электрического резонанса используется при настройке радиоприёмника на нужную радиостанцию. Изменяя величины индуктивности L и ёмкости C, можно добиться того, что собственная частота колебательного контура совпадет с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией. В результате этого в контуре возникнут резонансные колебания данной частоты, амплитуды же колебаний, создаваемых другими станциями, будут малы. Это приводит к настройке радиоприёмника на нужную станцию.
93
§42. СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ИНЖЕНЕРНЫЕ СООРУЖЕНИЯ И КОЛЕБАНИЯ
При строительстве различных инженерных сооружений и зданий приходится часто сталкиваться с вопросами колебаний, которые во многих случаях вредны. Поэтому с ними необходимо бороться. Можно выделить три основные причины появления вредных колебаний.
1.Колебания вследствие периодической вынуждающей силы. К ним можно отнести вибрацию зданий под действием находящихся в них работающих моторов, которые вследствие колебательных движений поршней или несцентрированности осей вращения валов всегда дают вибрацию.
2.Самовозбуждение колебаний (автоколебания). Здесь отсутствует внешняя периодическая сила, но существует какой-то источник энергии, приводящий к появлению колебаний. Можно выделить большой класс самовозбуждения колебаний, причиной которых является трение. Так, струна скрипки колеблется и издаёт звук вследствие трения смычка о струну. Линии электропередачи, радио мачты, телевизионные башни, висячие мосты совершают колебания под действием постоянно дующего ветра. Такие колебания могут приводить к разрушению конструкций.
3.Колебания под действием одного или нескольких ударов. Это, прежде всего, колебания под воздействием землетрясений и взрывов.
Наибольшую опасность возникающие вредные колебания представляют в том случае, когда их частота близка к собственной частоте какой-нибудь конструкции, т.е. при резонансе. Так, например, крылья самолёта имеют свою собственную частоту колебаний, и если эта частота совпадёт с частотой колебания, возникающей вследствие трения о воздух (явления «флаттера»), то это может привести к разрушению крыла. Поэтому необходима такая конструкция, чтобы упомянутые частоты сильно отличались друг от друга при любой скорости движения самолёта. В этом заключается первый способ борьбы с последствиями вредных колебаний. Его называют отстройкой от резонанса. Он используется при создании любых конструкций, в которых имеются или могут появиться вредные колебания.
Второй широко применяемый способ — демпфирование (гашение) колебаний. Простейшим демпфером колебаний является резина. Именно поэтому весь автотранспорт имеет резиновые колёса: тряска, которая возникает из-за неровностей дорог, в значительной мере снижается вследствие упругих свойств резины. Схема специального более совершенного демпфирующего устройства изображена на рис. 42.1 Устройство включает
пружины и поршень, движущийся в вязком |
Рис. 42.1 |
94
масле. Такое сочетание упругих и вязкостных свойств системы приводит к хорошему гашению колебаний: колебания, совершаемые нижней плитой, гасятся и плохо передаются верхней плите. Такие демпферы используются для гашения колебаний заводских труб, радиомачт, висячих мостов и т.д. Их включают в растяжки, которыми крепятся упомянутые конструкции к земле. С помощью демпферов гасятся колебания вибрирующих устройств, расположенных внутри зданий. Отметим, что автомобильные амортизаторы основаны на том же принципе.
В заключение следует отметить полезную роль колебаний и их использование в строительных технологиях. Остановимся в основном на использовании так называемых вибромашин. Основной их частью является виброисточник, в котором генерируются нужные для создания колебаний силы. Вибротехнические процессы весьма эффективны, и можно привести неполный перечень их использования:
1.Увеличение скорости движения загрузки вниз по наклонным жёлобам.
2.Ускоренное опорожнение бункеров, содержащих сыпучие материалы.
3.Измельчение твёрдых тел в вибромельницах.
4.Связывание множества отдельных частиц в прочное целое.
5.Перемешивание смесей и их разделение.
Особо следует остановиться на вибропогружении свай для создания фундаментов зданий. Сваи обычно забивают тяжёлым грузом («бабой») аналогично тому как забивают в стенку гвоздь молотком (кстати, это тоже периодический, т.е. колебательный, процесс. В настоящее время можно встретить погружения свай в грунт с помощью вибраций. Наверху сваи ставят вибровозбудитель, который создаёт колебания сваи. За счёт этого резко снижается сила трения между землёй и сваей и последняя под действием своей тяжести погружается в землю. Скорость погружения может быть весьма значительной: 3 — 4 метра в минуту. С помощью вибровозбудителя можно и извлекать сваи из земли.
Очевидно, что в данном случае перечень использования колебательных процессов неполный, возможности их не ограничены и применение их во многом зависит от изобретательности человеческого ума.
§43. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
До сих пор были рассмотрены только гармонические колебания, т.е. колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса. В природе и технике встречаются и другие по форме колебания. Так, изменение напряжения может происходить по закону прямоугольника (рис. 43.1), треугольника, широко используемого в радиотехнике, и многие другие. Как же изучать такие колебания? Оказывается, что любое сложное колебание можно представить в виде суммы уже изученных гармонических колебаний. Метод представления произвольного колебания через гармонические колебания называют гармоническим анализом, который основан на том, что любую периодическую функцию f(t) с периодом T можно записать в виде бесконечного тригонометрического ряда
95
∞
f (t) = ∑ Ak cos(kωt + αk ). (43.1)
k =1
Здесь ω = 2π/T, Ak = ak2 + bk2 , αk = arctg (bk /ak), ak и bk — коэффициенты Фурье данной функции, вычисляемые по формулам
|
|
|
2 t0 |
+T |
|
||
ak |
= |
|
|
|
∫ f (t) cos kωt dt, |
(43.2) |
|
T |
|||||||
|
|
t0 |
|
||||
|
|
|
2 t0 |
+T |
|
||
b |
= |
|
|
|
∫ f (t) sin kωt dt. |
(43.3) |
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
T |
t0 |
|
||
|
|
|
|
||||
Колебание с наименьшей частотой (при k = 1) называется первой гармоникой (в акустике — основным тоном), а колебания с кратными частотами — высшими
f |
f |
|
гармониками |
(в акустике — |
||
c |
|
обертонами). Обычно ампли- |
||||
|
|
|||||
|
|
туды Ak довольно быстро |
||||
0 |
t |
|
||||
|
убывают с |
ростом |
номера |
|||
|
0 |
t |
гармоники. Поэтому на прак- |
|||
|
|
|
тике |
можно |
ограничиться |
|
|
|
|
лишь |
несколькими |
первыми |
|
|
Рис. 43.1 |
Рис. 43.2 |
слагаемыми ряда (43.1). В ка- |
|||
|
честве |
примера |
проведём |
|||
|
|
|
||||
гармонический анализ колебания, график которого приведён на рис. 43.1. Используя (43.2) и (43.3) и принимая t0 = 0, из формулы (43.1) находим, ограничиваясь
тремя слагаемыми
f (t) ≈ |
4c |
(sin ωt + 1 sin 3ωt + |
1 sin 5ωt), |
|
|
π |
|
||||
|
3 |
5 |
|
||
|
|
(43.4) |
|
A |
|
где ω = 2π /T. График функции (43.4) показан на рис. 43.2. |
|
||||
Как видно, он достаточно близок к прямоугольным им- |
|
||||
пульсам (см. рис. 43.1). |
|
|
ω |
||
Во многих задачах физики играют роль только ампли- |
|||||
ω 2ω 3ω |
|||||
туды гармоник. Так обстоит дело, когда нас интересуют 0 |
|||||
интенсивности гармоник, которые пропорциональны квад- |
Рис. 43.3 |
|
рату амплитуды колебаний. В этом случае важны лишь ам- |
||
|
плитуда и частоты гармоник. Разложение сложного колебания на гармонические гармоники (без учёта их фаз) называют спектральным разложением. Диаграмма, изображающая зависимость амплитуды каждой гармоники от её частоты, называетсяспектромсложногоколебания(рис. 43.3).
§44. ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК
96
К разряду колебательных процессов, широко используемых в нашей жизни, относятся колебания переменного электрического тока. Переменным током в общем смысле называют электрический ток, изменяющийся со временем. В данном случае под переменным током будет пониматься ток, сила которого изменяется со временемпозаконусинусаиликосинуса. Такойтокчастоназываютсинусоидальным.
1. Условие квазистационарности. Условие квазистационарности состоит в том, что период T изменения силы тока должен быть значительно больше времени τ, течение которого электромагнитное возбуждение распространяется между наиболее удаленными точками цепи, т.е. T » τ. Здесь τ = l/c, где l — длина цепи, c — скорость распространения электромагнитного поля по цепи. Для переменного тока промышленной частоты (ν = 50 Гц) условие квазистационарности достаточно хорошо выполняется для цепей до 100 км. При соблюдении этого условия мгновенные значения силы тока можно считать одинаковыми во всех поперечных сечениях цепи. Поэтому применимы законы Ома и правила Кирхгофа, выведенные для постоянного тока.
2. Получение переменного тока. Принципиальная схема получения переменного тока проста и может быть пояснена на примере плоской проводящей рамки, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 44.1).
|
|
|
nr |
Магнитный поток ФB, пронизывающий |
|||||||
|
|
|
площадь S рамки в любой момент времени t, |
||||||||
|
|
|
|
|
согласно (29.1), находится по формуле: |
||||||
|
|
|
|
|
B Ф |
|
= |
BS·cosα |
= |
BS cosωt, |
|
|
|
|
α |
B |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(44.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
где α = ωt — угол поворота рамки в момент |
||||||||||
|
|
|
|
|
времени t (начало отсчёта времени выбрано |
||||||
|
|
Рис. 44.1 |
так, чтобы при t = 0 α = 0). При вращении |
||||||||
|
dФB |
рамки возникает э.д.с. индукции (см. (31.5)) |
|||||||||
e = − |
. Отсюда, учитывая (44.1), |
получаем e = ωBS·sinωt. При sinωt = 1 e |
|||||||||
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||
максимальна, т.е. εm = ωBS. Тогда запишем |
|
|
|
||||||||
|
|
e = εm sinωt. |
|
|
(44.2) |
|
|
|
|||
Таким образом, при равномерном вращении рамки, находящейся в однородном магнитном поле, в ней появляется переменная э.д.с., изменяющаяся по закону синуса или косинуса. Переменное напряжение u снимается с вращающегося витка с помощью щёток, схематически показанных на рис. 44.1. В генераторе переменного тока для получения достаточно большой э.д.с. применяются сильные магнитные поля, увеличивают число витков (рамок), соединённых последовательно, которые имеют как можно бóльшую площадь.
3. Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединённых ре-
зистора, индуктивности и ёмкости. Пусть последовательно соединённые резистор, индуктивность и ёмкость подключены к источнику переменного тока (рис.
97
44.2). Тогда через них потечёт переменный ток. Поскольку цепь неразветвлённая сила тока i в любой момент времени одинакова во всей цепи. Предположим, что сила тока изменяется со временем по закону:
i(t) = Im cosωt, |
(44.3) |
где Im амплитудное значение силы тока, ω циклическая частота изменения силы тока. Найдём напряжение, возникающее на этой цепи. Протекание тока в отдельных участках цепи обусловлено напряжением uR на резисторе, uL на индуктивности и uC на ёмкости. Для нахождения этих напряжений запишем уравнение силы токавкомплекснойформе
i)(t) = Imeiωt . |
(44.4) |
Расчёты проводим с комплексными величинами. Согласно закону Ома для участка цепи, напряжение uR равно
u)R = Ri , |
(44.5) |
где R сопротивление резистора, называемого активным сопротивлением. Из выражения (44.5) следует, что фазы силы тока, текущего через резистор, и
напряжения на нём совпадают. Это означает, что сила тока и напряжение на ре-
зисторе одновременно достигают своих максимальных зна- |
|
|
|
||||
чений. |
|
|
|
~u |
|||
Напряжение |
на индуктивности находим по |
формуле |
|
||||
|
|
|
|||||
u)L = −e)S = L |
di |
(см. (32.4)). Здесь L величина индуктив- |
L |
C |
|||
dt |
|||||||
|
|
|
|
R |
|||
ности, e)S э.д.с. самоиндукции. Подставляя в это выраже- |
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
ние (44.4), находим, что |
|
Рис. 44.2 |
|||||
|
|
u)L = iωLImeiωt =iωLi). |
|
||||
|
|
(44.7) |
|
|
|
||
В этой простой записи содержится достаточно большая информация:
а) Уравнение (44.7) представляет собой запись закона Ома в комплексном ви-
де. Из формул (44.5) и (44.7) приходим к выводу, что величина |
|
RL = ωL |
(44.8) |
играет роль сопротивления, оказываемого индуктивностью при протекании по ней переменного тока. Поэтому её называют индуктивным сопротивлением. Из соотношения (44.8) следует, что для постоянного тока (ω = 0) индуктивное сопротивление равно нулю.
б) Мнимая единица i показывает, что фаза напряжения на индуктивности опережает фазу силы тока в ней на π/2 (см. (38.24)), т.е. максимальные значения силы тока и напряжения на индуктивности достигаются не одновременно, когда сила тока максимальная, напряжение равно нулю и наоборот.
Напряжение на ёмкости равно u)C = q)/ C. Заряд q на конденсаторе находится по формуле q) = ∫i dt. Подставляя в этот интеграл (44.4), получаем, что
98
) |
) |
|
iωt |
|
Im |
|
iωt |
|
1 |
|
) |
|
|
q |
= ∫i |
dt =Im ∫e |
|
dt = |
|
e |
|
+ B = |
|
|
i |
+ B. |
Постоянная интегрирования соот- |
|
iω |
|
iω |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ветствует допущению, что на конденсаторе имеется начальный заряд, не завися-
щий от времени, но его нет. Поэтому B = 0. |
Тогда |
q) = |
Im |
eiωt = −i |
Im |
eiωt , так |
||||||
|
|
|||||||||||
как 1/i = i/i2 = –i (i2 = –1). С учётом (44.4) находим: |
|
iω |
ω |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
) |
Im |
|
iωt |
|
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
uC = −i |
|
e |
|
|
= −i |
|
i . |
|
|
(44.9) |
||
ωC |
|
|
ωC |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сравнивая это равенство с законом Ома, приходим к выводу: |
|
|
||||||||||
а) величина |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= |
|
|
|
|
|
(44.10) |
||||
|
ωC |
|
|
|
|
|
||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
играет роль сопротивления, оказываемого ёмкостью при протекании через неё переменного тока. Вследствие этого её называют ёмкостным сопротивлением. Для постоянноготока(ω= 0) RC = ∞, т.е. постоянныйтокчерезконденсаторнепроходит.
б) Мнимая единица –i показывает, что фаза напряжения на ёмкости отстаёт от фазы силы тока в ней на π/2 (см. (38.24)), т.е. максимальные значения силы тока и напряжения на ёмкости достигаются не одновременно, когда сила тока максимальная, напряжение равно нулю и наоборот.
Поскольку цепь последовательная, то сумма напряжений u)R , u)L и u)C равна напряжению u, приложенному к этой цепи, т.е. u = u)R + u)L + u)C . Подставляя сюда выражения (44.5), (44.7) и (44.9), находим, что
) |
|
1 |
) |
) |
) |
|
|
u |
= R + i(ωL − |
|
) i |
= Z |
i , |
(44.11) |
|
ωC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
где введено обозначение Z = R + i[ωL – 1/(ωC)]. Соотношение (44.11) представляет собой закон Ома в комплексной форме, а величина Z общее сопротивление данной цепи в комплексном виде. Перепишем Z в показательной форме:
где |
|
|
|
|
Z) = Zeiϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(44.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z = |
) ) |
= |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
= |
R |
2 |
+ (ωL − |
1 |
) |
2 |
(44.13) |
|
Z Z |
R + i(ωL − |
ωC |
) R − i(ωL − |
|
ωC |
) |
|
ωC |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— модуль общего сопротивления последовательной цепи (см. §38, п. 8) и |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ωL − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = arctg |
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
(44.14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99
— сдвигфазмеждутокоминапряжениемцепи. ВеличинаX = R − R = ωL – |
1 |
|
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
L |
C |
|
ωC |
|
называется реактивным сопротивлением. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (44.12) в (44.11) и учитывая (44.4), получаем: |
|
|
|
|
||||
u) = Zi)eiϕ = ZI |
m |
ei(ωt + ϕ) = U |
m |
ei(ωt + ϕ) , |
|
(44.15) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
||
Z Im = Um |
|
|
|
(44.16) |
||||
|
|
|
|
|||||
амплитуда напряжения на последовательной цепи. Действительная часть выражения (44.15)
u = Um cos(ωt + ϕ) |
(44.17) |
даётзаконизменениянапряжениянаданнойпоследовательнойцепи(см. (§38, п. 8)). Таким образом, протекание переменного тока, изменяющегося со временем по закону i(t) = Im cos ωt, через последовательно соединённые резистор, индук-
тивность и ёмкость приводит к появлению в цепи напряжения u = Um cos(ωt + ϕ).
При этом разность фаз ϕ между напряжением и силой тока, называемая сдвигом фаз, находится по формуле: ϕ = arctg[ωL – 1/(ωC)]/R. Если ωL > 1/(ωC), то напряжение опережает по фазе силу тока, если RL< RC, то отстаёт. Амплитудные значения напряжения и силы тока связаны соотношением: Um = ImZ, где
Z = R2 + (ωL − ω1C ) 2 общее сопротивление цепи.
§45. МОЩНОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
1. Мгновенная мощность переменного тока, согласно (21.4), равна произведению мгновенных значений напряжения и силы тока
P(t) = u(t)·i(t) = Um Im cos(ωt + ϕ) cosωt, где u(t) = Umcos(ωt + ϕ); i(t) = Imcosωt
(см. формулы (44.3) и (44.17)). Практическое значение имеет средняя мощность, выделяемая в цепи за конечный промежуток времени значительно больший периода колебания силы тока. Для нахождения средней мощности P преобразуем
выражение для |
P(t), используя соотношение cosα cosβ = (1/2)[cos(β – α) + |
|||||
+ cos(β + α)]. |
Полагая |
ωt = α |
и |
ωt + ϕ = β, |
получаем, |
что |
P = <(1/2)Um Im[cosϕ + cos(2ωt + ϕ)]>. Среднее значение cos(2ωt+ϕ) равно ну-
лю, так как половину периода функция положительная, а другую половину отрицательная. Поэтому
P = |
1Um Im cosϕ. |
(45.1) |
|
2 |
|
Введём так называемые действующие значения силы тока и напряжения по формулам
I = |
Im |
, |
U = Um . |
(45.2) |
|
2 |
|
2 |
|
100
Тогда |
|
P =UI cosϕ, |
(45.3) |
где cosϕ называют коэффициентом мощности.
2. Выясним физический смысл действующих значений силы тока и напряжения. Пусть цепь переменного тока состоит только из резистора (активного сопротивления). Если в цепи не совершается работа, то вся мощность расходуется на увеличении внутренней энергии проводников, составляющих цепь, т.е. на выделение количества теплоты Q в резисторе за некоторое время t. С учётом
(45.1) |
Q = Pt = (1/2)UmImcosϕ t. |
Согласно |
формуле |
(44.14), |
||||
|
ωL − |
1 |
|
|
|
|
|
|
ϕ = arctg |
ωC |
= 0, так как RL = ωL = 0 и RC = 1/(ωC) = 0, поскольку индуктив- |
||||||
|
||||||||
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
ное и ёмкостное сопротивления отсутствуют. Тогда cosϕ = 1 и Um = ImZ = ImR
(см. (44.13)). С учётом этого Q = (1/2) Im2 Rt = I2Rt, где I действующее значение
силы тока. Полученная формула тождественна закону Джоуля — Ленца для постоянного тока. Отсюда становится ясным физический смысл действующих зна-
чений. Действующее значение силы переменного тока (или переменного на-
пряжения) равно такой силе (или величине напряжения) постоянного тока, тепловое действие которого одинаково с тепловым действием переменного тока.
3. Коэффициент мощности cosϕ играет важную роль в электротехнике. Найдём,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωL − |
1 |
|
|
|
от чего |
он зависит. |
Из |
выражения |
(44.14) |
следует, |
что tgϕ = |
ωC |
. Из |
|||||||||
|
|||||||||||||||||
R |
|
||||||||||||||||
тригонометрии |
|
|
|
|
|
|
известно, |
|
|
|
|
|
что |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cosϕ = |
1 |
= |
|
1 |
|
|
2 = |
|
R |
|
|
2 . Если ωL = 1/(ωC), то |
|||||
1 + tg2ϕ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
ωL− |
|
|
|
R2 + |
ωL − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosϕ = 1 и P = IU, а при чисто реактивном сопротивлении (R = 0) средняя мощность равна нулю, какими бы большими не были сила тока и напряжение. Если cosϕ имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении необходимо увеличивать силу тока. Это приводит к возрастанию потерь, обусловленных нагреванием проводов. Поэтому на практике всегда стремятся путём подбора индуктивности и ёмкости цепи увеличить коэффициент мощности. Для промышленных установок наименьшее допустимое значение cosϕ составляет примерно 0,85.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
1. Колебаниями называют процессы, характеризуемые определённой повторяемостью со временем.
101