Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum

2.1 хрестова карта, 2 дами, нема чiрви;

3.хоча б 4 хрестовi карти та 1 туз;

4.3 дами та 2 хрестовi карти;

5.2 бубновi карти, 2 хрестовi карти та 1 туз;

6.валет та дама чорної мастi й не бiльше одного туза;

7.2 дами, 1 король та нема чiрви;

8.2 карти червоної мастi та 3 тузи;

9.не менш нiж 4 червоних карти та 2 тузи;

10.1 валет, 3 чорнi карти та немає дам.

№6.11. Скiльки рiзних перестановок можна зробити з букв заданого слова?

1.“отаман”, причому приголоснi стоять у алфавiтному порядку;

2.“катастрофа”, причому порядок приголосних не мiняється;

3.“танкетка”, причому буквосполучення "ант"заборонене;

4.“парламент”, причому приголоснi iдуть в алфавiтному порядку, а приголоснi - в порядку, протилежному до алфавiтного;

5.“дисидент”, причому приголоснi i голоснi чергуються;

6.“кримiнал”, причому п’яте i сьоме мiсце зайнятi приголосними;

7.“"мiнiстр”, причому приголоснi не йдуть в алфавiтному порядку;

80

8.“президент”, причому приголоснi iдуть в алфавiтному порядку;

9.“логарифм”, причому на другому, четвертому та шостому мiсцi стоять приголоснi;

10.“капiтуляцiя”, причому слово починається з лiтери “а”, а далi чергуються голоснi та приголоснi.

№6.12. У посудинi є зеленi, бiлi та чорнi кульки, причому всi кульки пронумерованi. Скiлькома способами можна витягнути заданий набiр кульок, не повертаючи їх та не враховуючи їх порядок?

1.У посудинi 3 бiлих, 4 чорних та 5 зелених кульок, витягаємо 6 кульок, щоб було не менш нiж 1 бiла, не менш нiж 1 чорна та не менш нiж 2 зелених;

2.У посудинi 3 бiлих, 4 чорних та 5 зелених кульок, витягаємо 7 кульок, щоб було не менш нiж 2 бiлих, не менш нiж 1 чорна та не менш нiж 2 зелених;

3.У посудинi 3 бiлих, 4 чорних та 5 зелених кульок, витягаємо 7 кульок, щоб було не менш нiж 1 бiла, не менш нiж 2 чорних та не менш нiж 2 зелених;

4.У посудинi 4 бiлих, 4 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 1 бiла, не менш нiж 3 чорних та не менш нiж 2 зелених;

5.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 2 бiлих, не менш нiж 1 чорна та не менш нiж 3 зелених;

81

6.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 2 бiлих, не менш нiж 1 чорна та не менш нiж 3 зелених;

7.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 3 бiлих, не менш нiж 0 чорних та не менш нiж 3 зелених;

8.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 1 бiла, не менш нiж 1 чорна та не менш нiж 4 зелених;

9.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 7 кульок, щоб було не менш нiж 2 бiлих, не менш нiж 0 чорних та не менш нiж 3 зелених;

10.У посудинi 4 бiлих, 5 чорних та 6 зелених кульок, витягаємо 8 кульок, щоб було не менш нiж 2 бiлих, не менш нiж 3 чорних та не менш нiж 1 зелена.

82

ЗАНЯТТЯ 7

Формула включень та виключень

Навчальнi задачi

№ 7.1. В науково-дослiдному iнститутi працює 67 чоловiк. З них 47 знає англiйську мову, 35 – нiмецьку та 23 – обидвi мови. Скiльки людей в iнститутi не володiє iноземною мовою?

Розв’язок. Нехай А - множина людей, якi знають англiйську, Н - множина людей, якi знають нiмецьку. За формулою включень та виключень, кiлькiсть людей, якi знають англiйську або нiмецьку мови, становить

( ) = ( ) + ( ) − ( ∩ ) = 47 + 35 − 23 = 59.

Вiдповiдно, людей, якi не знають жодної iноземної мови буде 67−59 =

8.

AН

23

47 35

67

83

№ 7.2. Староста класа склав наступний звiт про клас: ”В класi вчиться 45 учнiв, з них 25 хлопцiв. 30 школярiв вчаться гарно, в тому числi 16 хлопцiв. Спортом займаються 28 учнiв, в тому числi 18 хлопцiв та 17 учнiв, якi гарно вчаться. 15 хлопцiв добре вчаться i в той же час займаються спортом“.

Через кiлька днiв виявилось, що в даному звiтi є помилка. Чи дiйсно це так?

Розв’язок. Порахуємо, скiльки дiвчат не займаються спортом та погано вчаться. Нехай А - множина хлопцiв, В - множина гарних учнiв та С - множина спортсменiв.

28

C 45

За формулою включень та виключень, кiлькiсть учнiв, якi або гарно вчаться, або займаються спортом, або є хопцями складає

( ) = ( )+ ( )+ ( )− ( ∩ )− ( ∩ )− ( ∩ )+

+ ( ∩ ∩ ) = 25 + 30 + 28 − 16 − 17 − 18 + 15 = 47.

Це число бiльше нiж кiлькiсть учнiв у класi, тому в даних дiйсно є помилка.

84

№ 7.3. Букет квiтiв може мiстити хризантеми, троянди, ромашки та пiвники. Квiти одного сорту одна мiж одною не вiдрiзняються; порядок квiтiв не має значення. Скiльки можна скласти рiзних букетiв з 10 квiтiв, якщо кожен букет має мiстити вiд 1 до 4 хризантем, вiд 2 до 3 троянд, вiд 1 до 4 ромашок та вiд 2 до 3 пiвникiв?

Розв’язок. Вважаємо, що букет вже мiстить 1 хризантему, 2 троянди, 1 ромашку та 2 пiвника. Таким чином, до нього залишилося додати

10 − 1 − 2 − 1 − 2 = 4 квiтки, серед яких не бiльш нiж 4 − 1 = 3 хризантеми, не бiльш нiж 3 − 2 = 1 троянду, не бiльш нiж 4 − 1 = 3 ромашок та не бiльш нiж 3 − 2 = 1 пiвник.

Позначимо кiлькiсть хризантем 1, троянд 2, ромашок 3 i пiвникiв 4. Тодi отримаємо наступну умову:

= ( 1 ≤ 3) ( 2 ≤ 1) ( 3 ≤ 3) ( 4 ≤ 1).

Обернене твердження буде мати вигляд

= ( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2).

Позначивши ( ) кiлькiсть букетiв, якi задовольняють умову , за формулою включень та виключень отримаємо

( 1 2 3 4) = ( 1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) − ( 1 2)−

− ( 1 3) − ( 1 4) − ( 2 3) − ( 2 4) − ( 3 4)+

+ ( 1 2 3) + ( 1 2 4) + ( 2 3 4) + ( 1 3 4)−

− ( 1 2 3 4).

Тепер пiдставимо отриману вище обернену умову в дану формулу.

( ) =

85

=(( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2)) =

=( 1 ≥ 4) + ( 2 ≥ 2) + ( 3 ≥ 4) + ( 4 ≥ 2)−

− (( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2)) − (( 1 ≥ 4) ( 3 ≥ 4))−

− (( 1 ≥ 4) ( 4 ≥ 2)) − (( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4))−

− (( 2 ≥ 2) ( 4 ≥ 2)) − (( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2))+

+ (( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4))+ (( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2) ( 4 ≥ 2))+

+ (( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2))+ (( 1 ≥ 4) ( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2))−

− (( 1 ≥ 4) ( 2 ≥ 2) ( 3 ≥ 4) ( 4 ≥ 2)).

Кожен доданок в отриманому виразi є розв’язком задачi на вибiр ненумерованих об’єктiв з обмеженнями знизу. Якби обмежень не було,

~4

ми б обирали iз 4 типiв квiток 4 штуки, тобто 4 . Проте, наприклад, в першому доданку вимагається наявнiсть чотирьох хризантем, а отже,

~0

вiльних мiсць уже не буде, тобто отримаємо 4 . Другий доданок вимагає наявнiсть 2 троянд, i залишається 2 вiльних мiсця для 4 типiв квiтiв,

~2

тобто 4 . Якщо ж взяти п’ятий доданок, то можна побачити, що там вимагається наявнiсть 6 квiтiв, тобто бiльше, нiж вiльних мiсць. Тому такi доданки перетворюються в нуль.

~

Аналогiчнi операцiї проводимо з усiма доданками. Оскiльки =

− , то будемо мати

+ 1

= 30 + 52 + 30 + 52 − 30 = 1 + 10 + 1 + 10 − 1 = 21.

Тепер потрiбно отриману кiлькiсть “непотрiбних” букетiв вiдняти вiд загальної кiлькостi букетiв, якi можна сформувати з 4 квiтiв. Всього

~4 4

таких варiантiв буде 4 = 7 = 35.

86

Остаточно отримаємо 35 − 21 = 14 варiантiв букетiв.

Задачi для аудиторної та домашньої роботи

№7.4. Знайти найбiльший спiльний дiльник i найменше спiльне кратне чисел 120 та 42.

№7.5. Скiльки чисел серед чисел вiд 1 до 100 таких, якi не дiляться на жодне з чисел 2,3,5?

№7.6. Скiльки серед чисел, якi не перевищують 35, таких, що не дiляться нi на 3, нi на 7, нi на 8?

№7.7. Iз 30 студентiв 60% вивчають нiмецьку мову, 50% - англiйську мову, 50% - французьку мову, 30% - нiмецьку та французьку, 20% - англiйську та французку, 40% - англiйську та нiмецьку, 10% - англiйську, нiмецьку i французьку мови. Скiльки вiдсоткiв студентiв:

а) не вивчають жодної мови; б) вивчають двi мови;

в) вивчають не менше двох мов?

№7.8. На пiдлозi площою 20 м2 лежать три килими. Площа одного ковра 10 м2, другого 8 м2, третього 5 м2. Кожнi два килими перекриваються на площi 3 м2. Всi три коври перекриваються на площi 1 м2.

а) Яка площа пiдлоги, не покритої килимами?

б) Яка площа пiдлоги, покритої одним шаром килимiв?

№7.9. Букет квiтiв може мiстити хризантеми, троянди, ромашки та пiвники. Квiти одного сорту одна мiж одною не вiдрiзняються; порядок квiтiв не має значення. Скiльки можна скласти рiзних букетiв з 10 квiтiв, якщо кожен букет має мiстити задану кiлькiсть квiтiв?

87

1.вiд 2 до 4 хризантем, вiд 1 до 3 троянд, вiд 1 до 4 ромашок та вiд 2 до 3 пiвникiв;

2.вiд 2 до 4 хризантем, вiд 3 до 5 троянд, вiд 1 до 3 ромашок та вiд 1 до 4 пiвникiв;

3.вiд 3 до 5 хризантем, вiд 1 до 4 троянд, вiд 1 до 3 ромашок та вiд 1 до 4 пiвникiв;

4.вiд 3 до 5 хризантем, вiд 1 до 3 троянд, вiд 1 до 4 ромашок та вiд 1 до 5 пiвникiв;

5.вiд 3 до 6 хризантем, вiд 1 до 4 троянд, вiд 1 до 5 ромашок та вiд 1 до 3 пiвникiв;

6.вiд 1 до 4 хризантем, вiд 2 до 3 троянд, вiд 1 до 4 ромашок та вiд 2 до 3 пiвникiв;

7.вiд 1 до 4 хризантем, вiд 3 до 5 троянд, вiд 1 до 3 ромашок та вiд 1 до 4 пiвникiв;

8.вiд 1 до 4 хризантем, вiд 1 до 4 троянд, вiд 1 до 3 ромашок та вiд 1 до 4 пiвникiв;

9.вiд 1 до 4 хризантем, вiд 2 до 4 троянд, вiд 1 до 4 ромашок та вiд 1 до 5 пiвникiв;

10.вiд 1 до 4 хризантем, вiд 4 до 6 троянд, вiд 1 до 3 ромашок та вiд 1 до 3 пiвникiв.

88

ЗАНЯТТЯ 8

Генератриси та їх застосування

Навчальнi задачi

№ 8.1. Знайти генератрису послiдовностi = , = 0, 1, 2, . . ..

Розв’язок.

Запишемо послiдовнiсть у виглядi ряду:

∞

∑

( ) = .

=0

Зведемо та до спiльного степеня:

Розв’язок. Розкладемо заданий дрiб за допомогою методу невизначених коефiцiєнтiв. Знаменник перетворюється в нуль при = 2 та

= 3, тому

89