методическое посообие Tom 2

2) если ∆1 ∆2 < 0 , то обе точки лежат в разных полуплос-

костях относительно данной прямой (по разные стороны от прямой).

Доказательство. Очевидно, что данные точки лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой тогда и только тогда, когда прямая пересекает отрезок M1M2 в

некоторой внутренней точке M3 этого отрезка, не совпадающей ни с точкой M1 , ни с точкой M2 , так как они не лежат на данной прямой.

M1

M3 L

M2

Рис. 23.

Мы докажем, что прямая L пересекает отрезок M1M2 тогда и только тогда, когда невязки этих точек ∆1 и ∆2 имеют разные знаки, т.е. когда ∆1 ∆2 < 0 . Отсюда сразу же будет следовать, что точки M1 и M2 лежат в одной полуплоскости тогда и только тогда, когда ∆1 ∆2 > 0 .

Пусть M3 (x3; y3 ) – произвольная внутренняя точка отрезка M1M2 и пусть λ = λMM13M2 – отношение, в котором точка M3 делит отрезок M1M2 . Отсюда следует, что λ > 0 и

Найдем невязку точки M3 относительно прямой L: 61

∆3 = Ax3 +By3 +C = A x11+λ+λx2 +B y11++λλy2 +C =

=1+λ1 (A(x1 +λx2 ) +B(y1 +λy2 ) +C(1+λ)) =

=(Ax1 +By1 +C)1++λλ(Ax2 +By2 +C) = 1+1λ (∆1 +λ∆2 )

Таким образом, мы доказали формулу:

λ− ∆1 > 0 и найдем на отрезке M1M2 точку M3 , которая

∆2

M1 (−5;11) , M2 (8; 3) , M3 (2; −13) и прямой 6x − y +13 = 0 . 62

Решение. Находим невязки точек относительно данной

Задача 115. Определить взаимное расположение двух точек и двух прямых на плоскости.

Решение. 1) Сначала рассмотрим случай, когда прямые пересекаются. Возможны два варианта, представленные ниже на рисунках.

Обозначим через ∆nm невязку точки Mn , n =1, 2 относительно прямой Lm , m =1, 2 . Тогда в силу теоремы преды-

дущей задачи:

1) в случае рисунка 24 имеем ∆11∆21 > 0 – точки M1 и M2 находятся в одной полуплоскости относительно прямой L1 ; ∆12∆22 < 0 – точки M1 и M2 находятся в разных полу-

находятся в разных полуплоскостях относительно прямой

63

L1 ; ∆12∆22 < 0 – точки M1 и M2 находятся в разных полуплоскостях относительно прямой L2 и

∆11∆21∆12∆22 > 0 .

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема. 1) Если все невязки ∆nm , n,m =1, 2 , имеют одинаковый знак, то обе точки M1 и M2 находятся в одном из

четырех углов, образованных двумя пересекающимися прямыми.

2) Если имеются невязки разных знаков, но их произведение положительно

∆11∆21∆12∆22 > 0 ,

то точки M1 и M2 находятся в вертикальных углах.

3) Если имеются невязки разных знаков, но их произведение отрицательно

∆11∆21∆12∆22 < 0 ,

то точки M1 и M2 находятся в смежных углах.

Пример. Определить взаимное расположение точек А(9; 1),

В(5; 3), С(5; 5), D(– 5; – 5), Е(2; – 6) относительно прямых x −3y −9 = 0 , 3x −y −11 = 0 .

Решение. Находим невязки данных точек относительно данных прямых:

∆A1 = 9 −3 −9 = −3 , ∆A2 = 27 −1−11 =15,

∆B1 = 5 −9 −9 = −13 , ∆B2 =15 −3 −11 =1,

∆C1 = 5 −15 −9 = −19 , ∆C2 =15 −5 −11 = −1,

∆D1 = −5 +15 −9 =1, ∆D2 = −15 +5 −11 = −21,

∆E1 = 2 +18 −9 =11, ∆E2 = 6 +6 −11 =1,

Невязки точек А и В имеют одинаковые знаки, следовательно, они находятся в одном углу.

64

Невязки точек А и С относительно второй прямой имеют противоположные знаки, и произведение их невязок отрицательно, следовательно, они находятся в смежных углах. Аналогично точки А и Е находятся в смежных углах. Но знаки невязок точек С и Е различны, значит, точка Е находится в другом смежном углу по отношению к точке А, т.е. точки С и Е находятся в вертикальных углах.

Аналогично определяем, что точки А и D расположены в вертикальных углах.

Анализируя расположение точек, выясняем, что точки А и В расположены в одном углу, а остальные точки расположены по одной в каждом из трех оставшихся углов.

Ответ: рисунок 26.

Задача 116. Определить взаимное расположение точки и двух параллельных прямых на плоскости.

Решение. Возможны два варианта расположения точки, не лежащей на данных параллельных прямых:

1) точка находится между прямыми;

65

2) точка находится вне той части плоскости, которая расположена между прямыми.

Теорема. Пусть дана точка А и две параллельные прямые L1 , L2 . Пусть M1 , M2 – произвольные точки, лежащие на

прямых L1 , L2 соответственно. Тогда точка А лежит между

данными прямыми тогда и только тогда, когда

∆12 ∆21∆A1∆A2 > 0 ,

где ∆A1 , ∆A2 – невязки точки А относительно данных прямых, ∆12 – невязка точки M1 относительно прямой L2 , ∆21

– невязка точки M2 относительно прямой L1 .

Доказательство. 1) Пусть точка А лежит между прямыми. Тогда точки А и M2 лежат в одной полуплоскости от-

носительно первой прямой, т.е. их невязки относительно первой прямой имеют одинаковые знаки и их произведение ∆21∆A1 > 0 . Аналогично рассуждая получаем, что

∆12 ∆A2 > 0 и ∆12 ∆21∆A1∆A2 > 0 .

2) Пусть точка А лежит не между прямыми, например, как на рисунке 28. Тогда относительно первой прямой невязки точек А и M2 имеют одинаковый знак и ∆21∆A1 > 0 , а от-

носительно второй прямой невязки точек А и M1 имеют

разные знаки и ∆12 ∆A2 < 0 . Отсюда, ∆12 ∆21∆A1∆A2 < 0 . Теорема доказана.

Пример. Определить положение точки A(−1;7) относи-

тельно прямых x + y −9 = 0, 2x +2y −11 = 0 .

Решение. Данные прямые параллельные. Найдем на каждой прямой по одной произвольной точке. Проверяем, что

M1 (1;8) L1, M2 (1,5; 4) L2 . Находим невязки

66

∆12 = 7, ∆21 = −3,5, ∆A1 = −3, ∆A2 =1, ∆12 ∆21∆A1∆A2 > 0 .

Ответ: точка А находится между данными прямыми.

Задача 117. Определить положение точки относительно треугольника на плоскости.

Решение. Пусть дана точка M(xo , yo ) и треугольник

АВС с известными координатами его вершин: A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) .

В

• M

А С Рис. 29.

Обозначим через ∆AB , ∆BC , ∆AC , – невязки точки М относительно сторон AВ, BС и АC соответственно, ∆A , ∆B , ∆C –

невязки вершин треугольника относительно противоположных сторон.

Нетрудно доказать теорему, которая в наших обозначениях выглядит следующим образом и доказательство которой предоставляется читателю.

Теорема. Точка М находится внутри треугольника АВС тогда и только тогда, когда одновременно выполняются неравенства:

∆A ∆BC > 0, ∆B∆AC > 0, ∆C∆AB > 0 .

Пример. Лежит ли точка М(2; 2) внутри треугольника ОАВ, если О – начало координат, А(4; 2), В(2; 4)? Решение. Найдем уравнение сторон треугольника:

OA : x −2y = 0 , OB : 2x − y = 0 , AB : x + y −6 = 0 .

Находим невязки точки М относительно сторон ОА, ОВ и АВ соответственно:

∆OA = 2 − 4 = −2 < 0 , ∆OB = 4 − 2 = 2 > 0 ,

∆AB = 2 + 2 −6 = −2 < 0 .

Находим невязки вершин треугольника относительно противоположных сторон:

∆O = 0 +0 −6 = −6 < 0 , ∆A =8 −2 = 6 > 0 ,

∆B = 2 −8 = −6 < 0 .

Находим произведение невязок:

∆AB ∆O = (−2)(−6) > 0 , ∆OB ∆A = 2 6 > 0 ,

∆OA ∆B = (−2)(−6) > 0

Ответ: да.

Глава 17. Плоскость

Задача 118. Проверить, лежит ли данная точка на данной плоскости.

Решение. Пусть М1 (x1, y1, z1 ) – координаты данной точки, σ: Ax +By +Cz +D = 0 – общее уравнение плоскости σ. Подставляем координаты точки M1 в уравнение

плоскости, т.е. подставим в уравнение плоскости σ вместо переменной х число x1 – абсциссу точки M1 , вместо пере-

менной у – ординату y1 точки M1 , вместо переменной z – аппликату z1 точки M1 :

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 .

Если при этом получается верное числовое равенство, то точка M1 σ , в противном случае, M1 σ .

Пример. Лежат ли точки А(5; –5; – 1) и В(–8; –5; 2) на плоскости 2x + y −5 = 0 ?

Решение. Подставляем координаты точки А в уравнение плоскости σ: 2 5 + (−5) −5 = 0 . Следовательно, точка А

лежит на данной плоскости. Подставляем в уравнение

плоскости координаты точки В:

2 (−8) + (−5) −5 = −16 −10 = −26 ≠ 0 .

Следовательно, точка В не лежит на плоскости σ. Ответ: A σ; B σ .

Задача 119. Построить чертеж плоскости в ПДСК.

Решение. Возможны несколько случаев. 1) В общем уравнении плоскости

Ax + By +Cz + D = 0

все его коэффициенты не равны нулю. Тогда его можно записать в виде уравнения в отрезках (смотрите задачу 121):

69

xa + by + zc =1 .

Находим точки пересечения плоскости с осями координат: А(а, 0, 0) – точка пересечения плоскости с осью Ох; В(0, b, 0) – точка пересечения плоскости с осью Оу; С(0, 0, с) – точка пересечения плоскости с осью Оz. Строим найденные точки на координатных осях ПДСК

Охуz и соединяем их отрезками прямых: z

с

у

Оb

а

х

Рис. 30.

Еще из школьного курса геометрии нам известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой линией. Здесь, на рисунке 30, отрезок прямой ab есть отрезок прямой, по которой пересекается данная плоскость и координатная плоскость Оху. Аналогично, отрезки ac и bc есть отрезки прямых пересечения данной плоскости с координатными плоскостями Охz и Оуz.

2) Пусть в общем уравнении плоскости

Ax + By + Cz = 0 ,

D = 0, A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 .

Если все оставшиеся коэффициенты имеют одинаковый знак, то плоскость "не видно" из первого октанта, т.к. ни одна точка с положительными координатами не лежит на данной плоскости. Построение такой плоскости довольно затруднительно, и мы не будем этим здесь заниматься.

70

Если среди коэффициентов А, В и С есть числа различных знаков, то умножая при необходимости на –1 мы можем добиться того, что один из коэффициентов будет положительным, а два другие – отрицательными. В этом случае легко построить ту часть плоскости, которая будет находиться в первом октанте. Для этого найдем уравнения прямых, по которым данная плоскость пересекается с координатными плоскостями, и отметим на них две точки, лежащие в первом октанте. Соединяя найденные точки и начало координат отрезками прямых, мы получим часть плоскости, находящейся в первом октанте.

Пример. Построить в системе координат Охуz плоскость

2x − y − 4z = 0 .

z

Решение. Полагая y = 0 , находим прямую пересечения

данной плоскости с координатной плоскостью Охz: x = 2z . Полагая z = 0 , находим прямую пересечения данной плоскости с координатной плоскостью Оху: y = 2x .

На обеих прямых есть точки с неотрицательными координатами. На первой прямой берем точку А(2; 0; 1), на вто-

71

рой – В(1; 2; 0) и соединяем точки А, В и О отрезками прямых. Заметим, что при x = 0 на прямой −y − 4z = 0 нет то-

чек с положительными координатами у и z.

Ответ: плоскость треугольника ОАВ на рисунке 31 представляет часть данной плоскости.

3) Пусть один из коэффициентов А, В, С равен нулю. Здесь возможны два случая: а) D = 0 и б) D ≠ 0 . Рассмотрим оба случая по отдельности.

3а) Пусть D = 0 и один из коэффициентов А, В, С равен

Это уравнение прямой на координатной плоскости Оху, проходящей через начало координат. Отсюда следует, что плоскость проходит через эту прямую и ось Оz, т.к. любая точка оси аппликат Oz удовлетворяет этому уравнению.

Пример. Построить в системе координат Охуz плоскость

2x − y = 0 .

z

y

1

х

Рис. 32.

Решение. На координатной плоскости Оху прямая y = 2x проходит через начало координат и точку (1; 2). Проводим

72

через эти точки прямую и изображаем искомую плоскость в виде параллелограмма, одной из сторон которого является прямая y = 2x , а другой – ось Oz.

Ответ: рисунок 32.

3б) Пусть D ≠ 0 и один из коэффициентов А, В, С равен нулю.

z

х а

Рис. 33.

Пусть для определенности C = 0 . Тогда уравнение принимает вид: Ax + By = −D , где A ≠ 0 ≠ B . Это уравнение на

координатной плоскости Оху есть уравнение прямой. Запишем ее уравнение в отрезках:

xa + by =1.

Плоскость проходит через эту прямую параллельно оси Oz, смотрите рисунок 33.

Аналогично строятся плоскости уравнения которых имеют вид Ax + Cz = −D или By + Cz = −D .

4) Пусть два из коэффициентов А, В, С равны нулю. Уравнение плоскости принимает вид:

Ax = −D или By = −D или Cz = −D .

Если D = 0, то получающиеся уравнения:

х = 0, у = 0, z = 0 73

суть уравнения координатных плоскостей Oyz, Охz и Оху соответственно.

Если D ≠ 0 , то разделив первое уравнение на А, второе на В и третье на С, получаем:

х = а, у = b, z = с

– уравнения плоскостей параллельных координатным плоскостям Oyz, Охz, Оху соответственно.

Рис. 34. Рис. 35. z

с

z = c

у

х

Рис. 36.

Задача 120. Определить вид уравнения плоскости.

Решение. Перечислим все виды уравнений плоскости: 1) общее уравнение плоскости

Ах + Ву + Сz + D = 0; 2) уравнение плоскости в отрезках

74

– уравнения координатных плоскостей Оуz, Охz и Оху соответственно;

х = а, у = b, z = с

– уравнения плоскостей параллельных координатным плоскостям Оуz, Охz и Оху соответственно;

Ах + Ву = 0, Ву + Сz = 0, Ах + Сz = 0

– уравнения плоскостей, содержащих координатные оси Оz, Ох и Оу соответственно;

– уравнения плоскостей, параллельных координатным осям Оz, Ох и Оу соответственно;

Ах + Ву + Сz = 0

– уравнение плоскости, проходящей через начало координат;

4)нормированное (нормальное) уравнение плоскости:

xcos α + ycosβ+ z cos γ −p = 0 .

Заметим, что нормированное уравнение плоскости, как и неполные уравнения, является частным случаем общего уравнения плоскости; 5) уравнение плоскости, проходящее через заданную точку

M(xo , yo ,zo ) сзаданнымнормальнымвектором n = (A,B,C) :

A(x − xo ) + B(y − yo ) + C(z − zo ) = 0 ;

6) уравнение связки плоскостей с центром связки в точке

M(xo , yo ,zo ) :

A(x − xo ) + B(y − yo ) + C(z − zo ) = 0 ,

75

где A,B,C R

7) векторное уравнение плоскости: (r − ro ) n = 0 ,

где r – радиус-вектор текущей точки плоскости, ro – ради-

ус-вектор фиксированной точки плоскости, n – ее нормальный вектор.

Задача 121. Найти уравнение плоскости в отрезках, зная ее общее уравнение.

Решение. Пусть Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости, где D ≠ 0 . Перенесем свободный член D уравнения в правую часть и разделим уравнение на – D:

−AxD + −ByD + −CzD =1.

Обозначим

Тогдауравнение плоскости приметвид уравнения вотрезках: xa + by + zc =1 .

Пример. Уравнение плоскости 2х – 3у + 2z + 6 = 0 записать в виде уравнения в отрезках.

Решение. Переносим свободный член 6 в правую часть уравнения и делим уравнение на –6: 2x−6 − 3y−6 + −2z6 =1 , или

после сокращения: − x3 + 2y − 3z =1.

Ответ: − x3 + 2y − 3z =1.

76

Задача 122. Найти уравнение связки плоскостей, зная её центр.

Решение. Пусть M(xo , yo ,zo ) – центр связки плоско-

стей. Для написания уравнения связки нам нужно знать три уравнения плоскости, проходящих через центр связки. В качестве таких плоскостей удобно взять плоскости проходящие через центр М и параллельные координатным плоскостям: x = xo , y = yo , z = zo или x −xo = 0, y − yo = 0, z −zo = 0 .

Тогда искомое уравнение связки плоскостей имеет вид:

α(x −xo ) +β(y − yo ) + γ(z −zo ) = 0 .

Заменяя здесь греческие буквы на привычные латинские, получаем ответ задачи.

Ответ: A (x −xo ) +B(y − yo ) +C(z −zo ) = 0 .

Пример. Написать уравнение связки плоскостей с центром связки в точке М(–1; 2; –3).

Ответ: A (x +1) +B(y −2) +C(z +3) = 0 , где A,B,C R .

Задача 123. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, если известен ее нормальный вектор.

Решение. Общее уравнение плоскости имеет вид

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где A, B, C – координаты ее нормального вектора. По ус-

ловию задачи координаты нормального вектора плоскости известны. Осталось найти коэффициент D. С этой целью подставим в уравнение координаты точки Mo . Так как

точка M(xo , yo ,zo ) лежит на плоскости, то ее координаты

удовлетворяют уравнению этой плоскости: Axo + Byo + Czo + D = 0 ,

откуда D = −Axo − Byo −Czo . 77

Подставляя найденное значение D в общее уравнение плоскости, получаем: Ax + By + Cz − Axo − Byo −Czo = 0

или A (x −xo ) +B(y − yo ) +C(z −zo ) = 0 – искомое уравне-

ние плоскости.

Ответ: A (x −xo ) +B(y − yo ) +C(z −zo ) = 0 .

Пример. Известно, что точка М(1,2,–3) лежит на плоскости и n = (−1, 4, 2) – ее нормальный вектор. Найти уравнение

плоскости.

Решение. 1-йспособ. Искомоеуравнениеплоскостиимеетвид

на данной плоскости. Так как нормальный вектор данной плоскости известен:

n = (−1, 4, 2) , то А = –1, В = 4, С = 2,

а точка М(1, 2, –3) лежит на плоскости, т.е. xo =1, yo = 2, zo = −3 ,

то, подставляя эти числовые данные в уравнение, получаем:

−(x −1) + 4(y − 2) + 2(z +3) = 0 .

Раскрываем скобки и приводим подобные члены:

−x + 4y + 2z −1 = 0 . Ответ: x − 4y − 2z +1 = 0 .

2-й способ. Общее уравнение плоскости имеет вид

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где А, В, С – координаты ее нормального вектора n = (A, B, C) . Так как нормальный вектор данной плоско-

сти известен n = (−1, 4, 2) , то A = −1, B = 4, C = 2 и уравнение плоскости принимает вид

78

−x + 4y + 2z + D = 0 .

Так как точка М(1,2,–3) лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению, т.е.

−1+ 4 2 + 2 (−3) + D = 0 или D = −1.

Подставляя в уравнение это значение коэффициента D, получаем искомое уравнение плоскости −x + 4y + 2z −1 = 0 .

Можно умножить это уравнение на –1.

Ответ: x − 4y − 2z +1 = 0 .

Задача 124. Определить взаимное расположение двух плоскостей.

Решение. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть

α: A1x +B1y +C1z +D1 = 0

β: A2x +B2y +C2z +D2 = 0

–общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

ниями прямой пересечения данных плоскостей.

Замечание. Удобнее сначала выписать нормальные векторы данных плоскостей

n1 = (A1, B1, C1) , n2 = (A2 , B2 , C2 )

и выяснить коллинеарные они или нет. Если n1 ||/ n2 , то

79