primeri_zao
.pdf
ЗАДАЧА № 12 |
|
|
|
|
РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ УЛАР |
|
|||
1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ |
|
|||
|
|
|
На двутавровую балку, свободно |
|
|
|
Q |
лежащую на двух жестких опорах, с вы- |
|
|
|
h |
соты h падает груз Q (рис. 15). |
|
|
|
|
Требуется: |
|
|
|
z |
1) найти наибольшее нормальное |
на- |
A |
B |
C |
пряжение в балке; |
|
l |
|
0,2l |
2) решить аналогичную задачу при усло- |
|
y |
|
|
вии, что правая опора заменена пру- |
|
Рисунок 15 |
|
|
жиной, податливость которой (т.е. |
|
|
|
осадка от груза 1 кН) равна α ; |
|
|
|
|
|
3) сравнить полученные результаты. |
|
Исходные данные для решения задачи: Q = 400 Н; l =2,8 м; h = 4 |
см; |
|||
α = 28 10−3 м/кН; двутавр № 24а, схема балки 8. |
|
|||
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
Для ответа на первый вопрос задачи необходимо найти величину опорных реакций балки от статического воздействия груза Q (рис. 16). Используя уравнения равновесия статики, получаем:
∑тА = 0 ; VB l −Q (l +0,2l)= 0 ; VB =Q (l + 0,2l)/ l =1,2Q ;
∑тB = 0 ; VA l +Q 0,2l = 0 ; VA = −Q 0,2l / l = −0,2Q .
Проверка:
∑y = 0 ; VA +VB −Q = 0 ; −0,2Q +1,2Q −Q = 0 .
|
Q |
z |
A |
|
|
C |
|
|
B |
ст |
|
|
|
v |
VA |
VB |
|
0,2Ql |
|
|
y |
|
|
l |
0,2l |
Эп. М |
|
Рисунок 16
Строим эпюру изгибающих моментов в заданной балке от статического действия груза Q . Записываем
уравнение метода начальных параметров для определения прогибов оси балки
vi |
= v0 +θ0 zi − |
VA zi3 |
|
|
1,2l |
− |
VB (zi −l)3 |
|
|
1,2l . |
|
|
|
|
|||||||||
6EJ x |
6EJ x |
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
l |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
Начальные параметры задачи v0 и θ0 определяем исходя из следующих граничных условий:
41
zi |
= 0 ; v(0)= 0 , отсюда v0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
zi |
= l ; v(l)= 0 , отсюда 0 = 0 +θ0l − |
VAl3 |
, тогда θ0 = |
VAl2 |
= |
−0,2Ql2 |
. |
6EJ x |
6EJ x |
|
|||||
|
|
|
|
6EJ x |
|||
Вычисляем вертикальное перемещение балки в точке С, где приложена сила Q , при zi =1,2l
vcm = 0 + |
−0,2Ql2 |
1,2l − |
−0,2Q (1,2l)3 |
− |
1,2Q (1,2l −l)3 |
= 0,016 |
Ql3 |
; |
|||||
6EJ x |
6EJ x |
|
6EJ x |
EJ x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
vcm |
= 0,016 |
Ql3 |
= 0,016 |
|
400 2,83 |
|
=1,849 10−5 м. |
|
|
||||
EJ x |
2 1011 3800 10−8 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычисляем динамический коэффициент по следующей формуле |
|
||||||||||||
|
kд =1 |
+ 1 + |
2h =1 + |
1 + |
2 4 10−2 |
= 66,79 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
vcm |
|
1,849 10−5 |
|
|
|
|
|||
Максимальный изгибающий момент, возникающий в балке от статического действия груза Q , равен
M max =0,2Ql =0,2 400 2,8 = 224 Нм.
Вычисляем величину максимальных нормальных напряжений от статического действия груза Q
σmaxст = |
M max |
= |
224 |
= 0,707 10-6 Па = 0,707 МПа. |
|
317 10-6 |
|||
|
Wx |
|
||
Здесь Wx =317 см3 – момент сопротивления двутавра № 24а, определяемый
по сортаменту прокатной стали.
Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q равны
σmaxдин =σmaxст kд = 0,707 66,79 = 47,22 МПа.
A
VA
y
|
|
Q |
|
z |
|
|
|
|
|
пр |
|
B |
C |
пр |
|
|
|
||
v |
|
B1 |
C1 |
βv |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
ст |
|
|
|
v |
|
l |
VB |
0,2l |
|
|
Рисунок 17
Для ответа на второй вопрос задачи рассмотрим деформированное состояние балки при замене ее правой опоры пружиной, имеющей заданную податливость α (рис. 17). При указанной замене, прогиб балки от статического действия груза Q будет равен:
vст′ = vcm + βvпр .
42
Как следует из чертежа треугольник АВВ1 подобен треугольнику АСС1. Исходя из этого подобия, имеем
vlnp = β1,v2npl , тогда β =1,2 .
Осадка пружины возникает от действия опорной реакции VB при статическом приложении к балке груза Q и равна
vnp =αVB = 28 10−6 1,2 400 =1344 10−5 м.
Прогиб балки в точке С при статическом действии силы Q vст′ =1,849 10−5 +1344 10−5 =1345,849 10−5 м.
Вычисляем величину динамического коэффициента при подпружиненной правой опоре
kд′ =1+ 1+ |
2h |
=1+ 1+ |
2 4 10−2 |
−5 = 3,64 . |
|
′ |
|
1345,849 10 |
|
|
vcm |
|
|
Максимальные нормальные напряжения от ударного действия падающего груза Q при замене правой опоры на пружину равны
′дин |
ст |
′ |
= 0,707 3,64 = 2,57 МПа. |
σmax |
=σmax |
kд |
Таким образом, при замене жесткой опоры в точке В пружиной максималь-
ные нормальные напряжения в поперечном сечении балки уменьшаются в
σmaxст |
= |
47,22 |
=18,374 раза. |
|
|||
′дин |
2,57 |
|
|
σmax |
|
||
43