460. Колебания и волны
.pdf
51
между давлением P и объемом W данной массы газа выражается уравнением
PW g = const , |
(2) |
где γ - показатель адиабаты, значение которого зависит от вида газа.
Логарифмируя (2) и затем дифференцируя полученное выражение, можно получить соотношение для относительных изменений давления и объема
|
D P |
= - |
gD W |
= - |
gS ЃЭx |
= - |
gЃЭx |
. |
(3) |
|
P |
W |
S ЃЭx |
|
|||||
|
|
|
|
ЃЭx |
|
||||
Дифференцируя (1) по х и подставляя в (3), получим |
|
||||||||
DP = gPkA cos( wt - kx ) . |
(4) |
||||||||
Величина DP0 |
= gPkA = 2pgPA / l |
называется |
амплитудой |
||||||
избыточного (звукового) давления. Для |
обычных звуковых волн |
||||||||
(кроме ударных) амплитуда смещений много меньше длины волны
(А << λ), поэтому DP0 << P.
Таким образом, звуковая волна в газе с термодинамической точки зрения представляет собой волну избыточного давления, изменяющуюся по закону
DP( + ) = DP0 cos( w t - kx ) , |
(5) |
которая распространяется в положительном направлении оси OХ со скоростью V = w / k = ln .
Рис.2
На рис. 2 изображены "профили" волн избыточного давления
52
и смещений в момент времени t = 0. Из рисунка видно, что нули смещений соответствуют максимумам(минимумам) избыточного давления.
Уравнение волны избыточного давления, распространяющейся вдоль отрицательного направления осиOX, получается заменой х на
–х в (5) D P( - ) = D P0 cos( w t + kx ) .
2.2. Стоячая волна образуется в результате наложения (интерференции) двух гармонических волн, распространяющихся навстречу друг другу. Уравнение стоячей волны избыточного давления (при равенстве амплитуд) имеет вид
DP = DP( +) + DP( - ) = DP0 cos( wt - kx ) + DP0 cos( wt + kx )
или, преобразовав,
D P = 2 D P0 cos |
kx cos w t . |
(6) |
Из уравнения (6) следует, что |
в стоячей |
звуковой волне |
существуют точки, в которых избыточное давление постоянно равно нулю. Такие точки называются узлами, их координаты определяются из условия
coskx = 0 |
или xуз = (m + 1/2)λ/2, (m = 0, ±1, ±2 ...). |
(7) |
|
Точки, для |
которых |coskx|=1, |
амплитуда |
колебаний |
избыточного давления максимальна и равна2∆P0, называются пучностями. Координаты пучностей определяются по формуле
xпуч = mλ/2, (m = 0, 1, 2 ...). |
(8) |
Из (7) и (8) видно, что расстояние между двумя соседними узлами (пучностями) равно λ/2, а расстояние между соседним узлом и пучностью равно λ/4.
Рис. 3
53
На рис. 3 изображены "профили" стоячей волны звукового
давления в различные моменты времени: сплошной линией при t |
= |
|||||||
0, пунктиром - при t = Т/2. |
|
|
|
|
|
|
||
2.3. На практике стоячие волны чаще всего образуются при |
||||||||
наложении |
прямой |
волны |
и волны, отраженной |
от |
какого-либо |
|||
"препятствия". |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
распространении |
звуковых |
волн |
в |
трубах |
такими |
||
"препятствиями" могут служить либо закрытый, либо открытый |
||||||||
торцы трубы. Поэтому "профили" стоячих |
волн, |
которые |
могут |
|||||
возбуждаться в столбах газа в трубах, определяются условиями на |
||||||||
торцах трубы - граничными условиями: |
|
|
|
|
|
|||
1) на открытом конце трубы всегда возникает узел звукового |
||||||||
давления (так как на открытом торце труба |
соседствует с |
|||||||
атмосферой) |
или |
пучность |
смещений(так |
как |
частицы |
могут |
||
свободно смещаться); 2) на закрытом конце трубы образуется пучность звукового
давления (так как скачок давления возможен лишь на закрытом конце трубы) или узел смещений (так как частицы вблизи стенки не могут смещаться).
Рис. 4
На рис. 4,а показаны распределения звукового давления в
закрытой с обоих концов трубе, удовлетворяющие |
граничным |
||||||
условиям |
(2) для |
первых |
двух видов |
стоячих |
волн-гармоник. |
||
Пунктиром |
дан |
вид |
распределения |
через |
|
полпериода. Для |
|
сравнения |
на |
. рис4,б |
представлены |
соответствующие |
|||
распределения для полузакрытой трубы(граничные условия: при х
=0 - пучность, при х = L - узел).
2.4.Частоты, соответствующие возможным при данных граничных условиях стоячим волнам, называются собственными
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
(нормальными) частотами. Для |
того |
чтобы |
найти |
собственные |
||||||||
частоты для закрытой трубы, сравним |
рис. |
3 и |
4,а: |
для |
первой |
|||||||
гармоники (основной тон) - L = λ1 / 2, для второй (первый обертон) L = |
||||||||||||
2λ2 / 2, для третьей (второй обертон) L = 3 λ3 / 2 и т.д. |
В общем случае |
|||||||||||
L = nλn / 2 |
, где n = 1, 2, 3, ... Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
λn = 2 L / n. |
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||
Собственные частоты соответствующих гармоник |
|
|
|
|||||||||
|
|
ν n = |
V |
|
= n |
V |
. |
|
|
|
|
(10) |
|
|
λ n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 L |
|
|
|
|
|
|||
2.5. |
В |
лабораторной |
установке |
площади |
микрофона и |
|||||||
динамика существенно меньше площади торцов трубы, поэтому ее |
||||||||||||
можно считать закрытой с обоихконцов (см. |
рис. |
4, |
а). При |
|||||||||
возбуждении звука в закрытой трубе в ней возникают резонансы на |
||||||||||||
собственных |
частотах, определяемых |
соотношением (10), |
причем |
|||||||||
разность частот двух соседних резонансов постоянна и равна
n n +1 -n n |
= V |
|
2 L |
Отсюда по известным n n +1 , n распространения звука
.
n
(11)
и L можно найти скорость
V = |
2 L (n n + 1 |
- n n ) . |
(12) |
2.6. Переход от одной |
гармоники к |
другой может |
быть также |
осуществлен путем изменения резонансной длины трубыL при
фиксированной частоте |
и, |
следовательно, при |
фиксированной |
|||||
длине звуковой волны l |
= V |
/ n |
. Из соотношений (9), (10) и рис. |
|||||
4,а следует, что изменение d |
длины |
трубы L |
между двумя |
|||||
соседними ее резонансами равно λ/2, т.е. |
V |
|
|
|||||
d = L m +1 |
- L m |
= |
l |
= |
. |
(13) |
||
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2n |
|
||
2.7. Скорость звуковых волн в газах зависит от равновесных значений давления P и температуры Т. Для идеальных газов в адиабатическом приближении теоретическое значение скорости звука можно вычислить по формуле (см. приложение)
V = |
g p = |
g RT |
, |
(14) |
|
r |
m |
|
|
где γ - показатель адиабаты (γ = 1,4 для воздуха); р, ρ - равновесные значения давления и плотности;
55
μ - молярная масса ; μ возд. = 0,029 кг/моль;
R= 8,31 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная;
Т- абсолютная температура.
Подставляя |
значения |
постоянных, можно |
получить |
приближенную формулу |
|
|
|
|
V = 20 T (м/с). |
|
(15) |
3. Описание лабораторной установки
3.1. Схема экспериментальной установки для определения скорости звука в воздухе методом стоячих волн приведена на рис. 5.
Установка состоит из металлической трубыТ, внутри которой на заглушках укреплены динамикD и микрофон М. Заглушка с динамиком может перемещаться внутри трубы с помощью штанги Ш, на которой нанесена шкала отсчета. К динамику подводится напряжение звуковой частоты от генератораЗГ. Звуковые сигналы, преобразованные микрофоном в электрические, подаются через усилитель У на вход осциллографа ЭО.
Рис. 5 Рекомендуемый диапазон частот для работы с данной трубой
(2000…4000 Гц) выбран с целью получения звуковых волн, близких
кплоским.
3.2.Техника безопасности
Корпуса осциллографа, генератора и усилителя должны быть заземлены. Запрещается включать приборы без разрешения преподавателя или лаборанта.
4. Порядок измерений
4.1. Внести технические данные приборов в табл.1.
56
Таблица 1
Прибор |
Пределы |
Цена |
Приборная |
|
|
измерений |
деления |
погрешность |
|
Звуковой генератор |
2000…4000 Гц |
|
∆ν= |
Гц |
Шкала отсчета |
|
|
∆L = |
м |
положения динамика |
|
|
||
|
|
|
|
|
4.2. Упражнение |
1 |
|
|
|
4.2.1.Включите генератор ЗГ, усилитель У и осциллограф ЭО. Переместите динамик на минимальное расстояние L0 от микрофона. Его значение, указанное на установке, внесите в табл. 2.
4.2.2.Переключатель "ослабление" ЗГ поставьте в положение "0,1 V", а ручкой "регулировка выхода" ЗГ подберите такую амплитуду звукового сигнала, чтобы на экранеЭО наблюдался сигнал размахом в несколько сантиметров.
4.2.3.Изменением частоты выберите два соседних резонанса, соответствующих n-й и (n +1)-й гармоникам в диапазоне частот 2000
…4000 Гц. Значения этих частот занесите в табл. 2.
L0 = |
м |
|
Таблица 2 |
n n ,Гц |
|
n n +1 ,Гц |
(n n +1 -n n ) , Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Упражнение 2
4.3.1.Установите на звуковом генераторе , частоту соответствующую более сильному резонансу. Занесите значения выбранной частоты в табл. 3.
4.3.2.Постепенно выдвигая динамик, фиксируйте его положения, соответствующие максимуму сигнала. Данные занесите
втабл. 3.
n = |
Гц |
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
m |
Lm |
|
i |
di = Lm +1 - Lm |
Ddi |
Ddi2 |
||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= (‡”di ) / 5 = |
|
‡” di2 = |
|
|
|
d |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
5. Обработка результатов измерений
5.1. Вычислите значение скорости звука для упражнения1 по формуле
V= 2 L 0 (n n + 1 - n n ) .
5.2.Определите приборные погрешности(относительную и абсолютную)
eприб = |
DV |
= |
|
2Dn |
|
|
+ |
DL |
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
V |
(n |
n+1 |
n |
n |
) |
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
5.3. Представьте окончательный результат в виде
V= (V ± DV ) , м/c.
5.4.Вычислите среднее значение скорости звука в воздухе для
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
упражнения 2 по формуле V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2 d |
n . |
|
|
||||||||||||||
5.5. Определите относительную приборную погрешность |
|
||||||||||||||||
|
e приб |
= |
|
|
2 D L |
+ |
D n |
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
n |
|
|
||||||
5.6. Определите случайную погрешность |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
‡”D d i2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
D S = |
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N ( N - 1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
Ddслуч =ta (N)DS; t0,9 (5) =2,1; |
|
|
||||||||||||||
|
eслуч = |
Ddслуч |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.7. Найдите |
полные |
|
относительную |
и |
абсолютную |
||||||||||||
погрешности |
e = eприб |
+ eслуч ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
DV = e V .
5.8.Представьте окончательный результат в виде
V= (V ± DV ) , м/c.
5.9.По формуле (15), зная комнатную температуру, рассчитайте теоретическое значение скорости звука в воздухе. Сравните это значение с результатами предыдущих вычислений.
Литература
58
1. Савельев, И.В. Курс общей физики. T.4. Волны. Оптика / И.В.Савельев.- М.: Изд-во « Астрель», 2001.
Приложение
Для вывода формулы скорости звука в воздухе воспользуемся уравнением движения массы газа, заключенного в элементарном объеме W = S¶x ( рис. 1)
|
|
|
‡”F |
|
|
|
|
|
ax = |
x |
. |
|
(16) |
|
|
dm |
|
|||
Масса |
газа, |
заключенного внутри W, равна |
dm = ρS¶x; ее |
|||
ускорение |
ax=¶2x/¶t2; результирующая |
сила |
вдоль |
осиOХ |
||
‡”F x |
= ( P ( x ) - P ( x + ЃЭx )) S = -DPS |
или, |
учитывая |
(3), |
||
‡” x |
= (gPЃЭx / ЃЭx)S |
. |
|
|
|
|||
F |
|
|
|
|
|
|||
|
Подставляя эти выражения в (16), получим |
|
|
|
||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
. |
(17) |
|
|
ЃЭx / ЃЭt |
= (gP(ЃЭx / ЃЭx)S) / rЃЭxS = (gP / r)ЃЭx / ЃЭx |
|||||
Сравнивая (17) с дифференциальным волновым уравнением (¶2x/¶t2 = V2¶2x/¶x2), для скорости распространения звука в газе получим формулу
V = gP / r или V = 
gRT / m , учитывая что P=(r/ m)RT.
Вопросы для самоконтроля
1-й КОМПЛЕКТ
1.Покажите, что стоячая волнаx(x,t) = A cos(kx)· cos(ωt) удовлетворяет волновому уравнению ¶2x/¶t2 = V2¶2x/¶x2.
2.Нарисуйте профили бегущей волны смещений аналогично рис.2, в моменты времени t = 0, Т/4, Т/2.
3.Вычислите значение минимальной частоты стоячей волны в
данной |
трубе при её длине, равной L0. |
|
2-й КОМПЛЕКТ |
1. |
Запишите уравнение плоской гармонической волны и |
укажите ее параметры.
2.Нарисуйте профили стоячей волны звукового давления (рис.
3)в момент времени t = 0, Т/4, Т/2.
3.Определите номера гармоник, возбуждаемых при
n n
выполнении данной лабораторной работы на частотахn и n+1 (упражнение 1).
59
3-й КОМПЛЕКТ
1.Дайте определение продольным и поперечным упругим волнам, укажите условия их распространения в твердых, жидких и газообразных средах.
2.Покажите направления скоростей частиц газаx& = ¶x/¶t в
бегущей волне в точках х = 0, l/2, l (рис. 2) в моменты времени t =
0и t = Т/2.
3.Найдите отношение частот первой и третьей гармоник в полузакрытой трубе (рис. 4,б).
4-й КОМПЛЕКТ
1.Выведите уравнение стоячей волны звукового давления и укажите положения узлов и пучностей, формулы (7) и (8).
2.Объясните физический смысл граничных условий для смещения частиц и звукового давления.
3.Найдите частоту основного тона столба воздуха в закрытой трубе длиной L = 1 м. Как изменится эта частота, если труба будет заполнена гелием (μHe = 0,004кг/моль), углекислым газом (μCO2 =
0,044 кг/моль)?
|
5-Й КОМПЛЕКТ |
|
||
1. Сформулируйте принцип суперпозиции волн. |
|
|||
2. |
В момент времени t = Т/4 звуковое давление в |
стоячей |
||
волне |
равно |
нулю |
при любомх, см. уравнение (6). Поясните |
|
причину |
появления звукового давления в соседние моменты |
|||
времени. |
|
|
|
|
3. |
Как |
будет |
изменяться частота основного тона |
закрытой |
трубы, если ее сначала открыть с одного конца, а потом с другого?
6-Й КОМПЛЕКТ
1.Стоячая волна является частным случаем явления интерференции. Поясните.
2.Выразите связь граничных условий для смещений частиц и
звукового |
давления (рис 4, а, б). |
|
3. В |
упражнении 1 учитывается |
и вычисляется только |
приборная погрешность, а в упражнении 2 |
- приборная и случайная. |
|
Почему? |
|
|
Описание работы написали и составили вопросы для самоконтроля ст. преподаватели Афанасьев Б.Л и Гусева Е.А.
60
Лабораторная работа № 12-К
«ИЗУЧЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА»
1. Введение
1.1. Радужная окраска нефтяных и масляных пятен на поверхности воды, цвета побежалости на закаленных металлах, сиреневый оттенок объектива фотоаппарата– эти и многие другие явления объясняются интерференцией света.Явление интерференции имеет самое широкое применение для измерения длины волны излучения, определения толщины пленок, плотности, показателя преломления и дисперсионных свойств веществ, для контроля качества поверхности, при просветлении оптики и т. д.
1.2. Целью работы является изучение интерференции световых волн методом колец Ньютона и определение радиуса кривизны линзы.
2. Основные понятия
2.1. Интерференцией называется явление перераспределения световой энергии при наложении когерентных волн, в результате которого возникают максимумы и минимумы интенсивности.
Когерентными называются волны с постоянной во времени разностью фаз.
Рис. 1