Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

626266

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2015

Размер:

8 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

§5.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1)Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2)Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним.

3)Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.

4)Уравнения в полных дифференциалах.

5)Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.

6)Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.

7)Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

8)Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

9)Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

10)Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

11)Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

12)Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.

13)Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

14)Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).

15)Линейные однородные дифференциальные уравнении с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).

16)Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

§5.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1)Пусть y1 — решение дифференциального уравнения L y 0 . Показать, что введение новой искомой

функции u y / y1 приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.

2) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения

y f (x, y) .

3) Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения y f (x, y) ,

соответствующие максимумам и минимумам. Как отличить максимум от минимума?

4)Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной

x(t) , где функция (t) произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Доказать это утверждение

для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

5) Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейным при преобразовании искомой функции

y (x)z (x).

Здесь z — новая искомая функция (x) , и (x) — произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.

6) Составить общее решение уравнения y p(x) y 0 , если известно ненулевое частное решение y1 этого

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

уравнения.

7) Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции y1 (x) и y2 (x) являются решениями линейного дифференциального уравнения

y	y1	y2
y	y	y		0.
	1		2
y	y	y
	1		2

8) Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее

y1 x, y2 x2 .

Показать, что функции x и x 2 линейно независимы в интервале ( , ) .

Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке x 0 . Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

9) Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения y1 , y2 , y3 ?,.

10)Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию, lim x y(x) 0 , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.

§ 5.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде

(x, y) C).

1. 4xdx 3ydy 3x2 ydy 2xy 2 dx.

12.

y(4 ex )dy ex dx 0.

13.

2xdx 2ydy x2 ydy 2xy 2 dx.

2. x

1 y 2

1 x2

14.

4 y 2 dx y 1 x2 dy 0.

15.

4 y

ydy x

ydy.

(ex

8)dy ye x dx 0.

16.

3 y

dx ydy x

ydy.

6xdx 6ydy 2x2 ydy 3xy 2 dx.

5 y 2 yy 1 x2 0.

17. 6xdx ydy yx 2 dy 3xy 2 dx.

18.

6. x 3 y

dx y 2

7. (e2 x 5)dy ye2 x dx 0.

y ln y xy 0.

19.

(1 ex ) y ye x .

20.

y y

1 x 2

1 0.

1 x2 y xy 2 x 0.

1 y

21.

6xdx 6ydy 3x

ydy

2xy

dx.

6xdx 2ydy 2x2 ydy 3xy 2 dx.

22.

y(1 ln y) xy 0.

23.

10.

5 y 2 dx y

4 x2 dy 0.

(3 ex ) yy ex .

y(4 ex )dy ex dx 0.

24.

11.

3 y 2 1 x2 yy 0.

25.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru


xdx ydy yx 2 dy xy 2 dx.			26.	2xdx ydy yx 2 dy xy 2 dx.

	5 y 2 dx 4(x2 y y)dy 0.			2x 2xy 2	2 x2 y 0.
27. (1 ex ) yy ex .			28.	20xdx 3ydy 3x2 ydy 5xy 2 dx.

3(x2 y y)dy		2 y 2 dx 0.	29.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

y 2

xy 3

1. y

16.

x2 y 2 y.

3y3 2 yx 2

2 y

2 y 2 x2 .

3y3 10 yx 2

x y

2 y

y x y .

3xy y

x2 y 2 y.

2xy

y 2

2 y

xy 3 2x2 y 2 y.

6 x

y 2

4 yx

12.

2 y 2

2x2

x 2 y

3y3 12 yx 2

2 y

2x y

xy 3y

xy 2 x

x2 4xy

y 2

10.

xy 2 3x

3y3

6 yx 2

4 y

11.

2 y 2 3x2

xy y

3y3 14 yx 2

12.

2 y 2

7x2

x 2 2xy

xy 5y

13.

x2 6xy

y 2

xy 4

14.

3y3

8yx 2

10.

15.

2 y 2 4x2

x2 2xy y 2

xy 4 2x2 y 2 y.

2xy

2xy 3y

2x2

6xy

30.

31.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

1.y x 2 y 3 . 2x 2

2.y x y 2 . 2x 2

3.y 3y x 2 . 3x 3

4. y	2 y 2	.

	x y 2

5.y x y 2 . 3x y 2

6.y 2x y 3 .

7.y x 7 y 8 . 9x y 8

8.y x 3y 4 . 3x 6

9. y	3y 3
		.
	2x y 1

10. y x 2 y 3 . 4x y 3

11.y x 2 y 3 .

2x 2


12.	y	x 8y 9	.

		10x y 9
13.	y	2x 3y 5		.

		5x 5
	y	4 y 8
14.					.
		3x 2 y 7

15.y x 3y 4 . 5x y 4

16.y y 2x 3 .

17.y x 2 y 3 .

18.y 3x 2 y 1.

	y	5y 5
19.				.
		4x 3y 1
20.	y	x 4 y 5	.

		6x y 5

21.y

22.y

23.y

24.y

25.y

26.y

27.y

28.y

29.y

30.y

31.y

x y 2 . x 1

2x y 3 .

4x 4

2x y 3 .

2x 2

y . 2x 2 y 2

x 5y 6 . 7x y 6

x y 4 . x 2

2x y 1.

2x 2

3y 2x 1.

3x 3

6 y 6 .

5x 4 y 9

x 6 y 7 . 8x y 7

y 2 . . 2x y 4

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

1.	y	y	x2 , y(1) 0.					2.				7.	y	y			x sin x, y( / 2) 1.
1.	y	x	x2 , y(1) 0.					2.				7.	y	x			x sin x, y( / 2) 1.
		x												x
y	yctgx 2x sin x, y( / 2) 0.											8.	y	y			sin x, y( )							1		.
y	yctgx 2x sin x, y( / 2) 0.													y										1

	y y cos x				1	sin 2x, y(0) 0.								x
3.					1
3.														y
				2								9.	y	y					x2 , y(1) 1.
												9.	y						x2 , y(1) 1.
	y ytgx cos 2 x, y( / 4)							1						2x
4.								1		.
4.								2		.		10.	y					2x			y		2x2		, y(0)		2	.
								2										2x					2x2				2
																	x2
	y		y	x2 2x, y( 1)					3		.			1			x2					1 x2					3
5.			y						3
5.		x	2					2				11.	y		2x 5						y 5, y(2) 4.
		x	2					2							2x 5

6.	y		y	y e x (x 1), y(0)			1.												x2
6.	y	x	1	y e x (x 1), y(0)			1.					12.	y		y					x 1		e x , y(1) e.
		x	1												y					x 1

																x					x

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

13.y xy 2 lnxx , y(1) 1.

14.y xy 12x3 , y(1) 4.

15.y 2x y x2 , y(1) 56 .

16.y xy 3x, y(1) 1.

17. y	2xy	1 x2 , y(1) 3.
	x2
1

18.y 1 2x y 1, y(1) 1.

19.y 3xy x23 , y(1) 1.

20.y 2xy 2x3 , y(1) e 1.

21. y	xy	x	, y(0)	2	.
	x2 )	2		3
2(1

Задача 5. Решить задачу Коши.

1. y 2 dx (x e2 / y )dy 0, y

|x e

( y 4 e y 2x) y , y

|x 0

3. y 2 dx (xy 1)dy 0, y

2(4y 2 4y x) y 1, y

|x 0

(cos 2y cos 2 y x) y sin y cos y, y

/ 3.

|x 1/ 4

(x cos 2 y y 2 ) y y cos 2

y, y

/ 4.

e y2 (dx 2xydy) ydy, y

|x 0

(104 y3 x) y 4y, y

|x 8

dx (xy y3 )dy 0, y

|x 1

(3y cos 2y 2y 2 sin 2y 2x) y y, y

/ 4.

11. 8(4y3 xy y) y 1, y

|x 0

(2ln y ln 2 y)dy ydx xdy, y

e2 .

2(x y 4 ) y y, y

|x 2

y3 ( y 1)dx 3xy 2 ( y 1)dy ( y 2)dy, y

|x 1/ 4

15. 2y 2 dx (x e1/ y )dy 0, y

|x e

22.	y xy x3 , y(0) 3.
23.	y	2	y		e x (x 1)2 , y(0) 1.

		x 1
		x 1
24.	y 2xy xe x2 sin x, y(0)									1.
25.	y	2 y	(x 1)3 , y(0)								1	.
25.	y	x 1	(x 1)3 , y(0)							2		.
		x 1								2
26.	y y cos x sin 2x, y(0) 3.
27.	y 4xy 4x3 , y(0)								1	.
27.	y 4xy 4x3 , y(0)									.
								2
28.	y	y		ln x			, y(1) 1.
28.	y						, y(1) 1.
		x				x
29.	y	3x2 y				x2 (1 x3 )		, y(0) 0.
29.	y	3x2 y			3			, y(0) 0.
					3

30.y y cos x sin 2x, y(0) 1.

31.y xy x22 , y(1) 1.

10.

12.

13.

14.

16.

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru


(xy				y )dy y 2 dx 0, y							1/ 2				4.										17.
									\|x		1/ 2
sin 2ydx (sin 2 2y 2sin 2												y 2x)dy, y												/ 4.
																					\|x 1/ 2
18.	( y 2 2 y x) y 1, y											0.													19.
							\|x 2

2y		ydx (6x y 7)dy 0, y\|x 4																1.							20.
dx (sin y 3cos y 3x)dy, y\|x e /																		2 / 2.							21.
2(cos2				y cos 2y x) y sin 2y, y												\|x 3 / 2					5 / 4.				22.
																\|x 3 / 2
chydx (1 xshy)dy, y\|x 1 ln 2.																									23.
(13y3 x) y 4y, y							1.																		24.
						\|x 5
y2 ( y2 4)dx 2xy( y 2 4)dy 2dy, y																							2.
																					\|x / 8
25.	(x ln 2 y ln y) y								y	, y						1.									26.
25.	(x ln 2 y ln y) y							2		, y				\|x 2		1.									26.
														\|x 2


(2xy					y )dy 2y 2 dx 0, y													1.							27.
													\|x 1/ 2
ydx (2x 2sin 2 y y sin 2y)dy 0, y																							/ 4.
																					\|x 3 / 2
28.	2( y		3 y xy)dy dx, y												0.										29.
											\|x 2
(2y xtgy y2tgy)dy dx 0, y																				.					30.
																\|x 0
4 y	2 dx (x e1/(2 y) )dy 0, y																1		.						31.
4 y	2 dx (x e1/(2 y) )dy 0, y												\|x e						.						31.
													\|x e			2
																2
dx (2x sin 2y 2cos 2									y)dy 0, y													0.
																			\|x 1
Задача 6. Найти решение задачи Коши.
1. y xy (1 x)e x y2 , y(0) 1.																									2.
xy y 2 y 2 ln x, y(1)									1	.															3.
xy y 2 y 2 ln x, y(1)								2		.															3.
								2
2(xy y) xy 2 , y(1) 2.																									4.
y 4x3 y 4(x3 1)e 4 x y2 , y(0) 1.																									5.
xy y y 2 (ln x 2) ln x, y(1) 1.																									6.
2( y xy) (1 x)e x y2 , y(0) 2.																									7.
3(xy y) y 2 ln x, y(1) 3.																									8.
2y y cos x y 1 cos x(1 sin x), y(0) 1.																									9.
y 4x3 y 4y2e4 x (1 x3 ), y(0) 1.																									10.

3y 2xy 2xy 2 e 2 x2 , y(0) 1.

11.

																			При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!
																						www.otlichka.ru
2xy 3y (5x2							3) y3 , y(1)										1		.			12.
							3) y3 , y(1)

																		2
3xy 5y (4x 5) y 4 , y(1) 1.																						13.
2y 3y cos x e2x (2 3cos x) y 1 , y(0) 1.																						14.
3(xy y) xy 2 , y(1) 3.																						15.
y y 2xy 2 , y(0)										1	.											16.
y y 2xy 2 , y(0)											.											16.
								2
2xy 3y (20x2								12) y3 , y(1)										1			.	17.

																		2		2
																		2		2

y 2xy 2x3 y3 , y(0) 2.																						18.
xy y y 2			ln x, y(1) 1.																			19.
2y 3y cos x (8 12cos x)e2 x y 1 , y(0) 2.																						20.
4y x3 y (x3						8)e 2 x y 2 , y(0) 1.																21.
8xy 12y (5x2								3) y3 , y(1)
8xy 12y (5x2								3) y3 , y(1)										2.				22.
2( y y) xy 2 , y(0) 2.																						23.
y xy (x 1)ex y 2 , y(0) 1.																						24.
2y 3y cos x e 2 x (2 3cos x) y 1 , y(0) 1.																						25.
y y xy 2 , y(0) 1.																						26.
2(xy y) y2 ln x, y(1) 2.																						27.
y y xy 2 , y(0) 1.																						28.
y 2 ycthx y 2 chx, y(1)														1	.							29.
y 2 ycthx y 2 chx, y(1)															.							29.
													sh1
2( y xy) (x 1)ex y2 , y(0) 2.																						30.
				2			4
y ytgx						y		sin x, y(0) 1.														31.
y ytgx						y		sin x, y(0) 1.														31.
				3
xy y xy 2 , y(1) 1.
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
1. 3x2e y dx (x3e y 1)dy 0.																						2.
(3x2	2	cos		2x	)dx				2x			cos		2x		dy 0.						3.
(3x2		cos			)dx							cos				dy 0.						3.
	y			y						y 2				y
(3x2 4y 2 )dx (8xy e y )dy 0.																						4.

(2x 1	y	)dx (2x	1	)dy 0.	5.

	x2		x

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

( y 2 y sec2 x)dx (2xy tgx)dy 0.

(3x2 y 2y 3)dx (x3 2x 3y 2 )dy 0.

(

)dx (

y 2

x2 y 2

8. (sin 2x 2cos(x y))dx 2cos(x y)dy

9. (xy 2

)dx (x2 y

)dy 0.

y 2

(

3y 2

)dx

2 y

dy 0.

cos

2 y dy 0.

y dx x

dy 0.

13.

1 xy

dy 0.

x2 y

xy 2

x y 2

dy 0.

y 2

xy 1

dy 0.

x cos y

10xy

y 2 sin y3

sin

sin y

xdy

18.

e x dx

dy 0.

)dy 0.

10.

11.

12.

14.

15.

16.

17.

dy 0.

19.

e y dx (cos y xe y )dy 0.						20.
( y3 cos x)dx (3xy 2			e y )dy 0.			21.
xe y2 dx (x2 ye y2	tg 2 y)dy 0.					22.
(5xy 2 x3 )dx (5x2 y y)dy 0.						23.
(cos(x y 2 ) sin x)dx 2y cos(x y 2 )dy 0.
24. (x2 4xy 2y 2 )dx ( y2 4xy 2x2 )dy 0.
		1			1
25. sin y y sin x			dx	x cos y cos x		dy 0.

		x
					y

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

www.otlichka.ru

26.

e y dx 1

e y dy 0.

27.

y 2

	(x y)dx (x y)dy	0.	28.

	x2 y 2
2(3xy 2 2x3 )dx 3(2x2 y y2 )dy 0.			29.
(3x3 6x2 y 3xy 2 )dx (2x3 3x2 y)dy 0.
30. xy 2 dx y(x2 y 2 )dy 0.			31.

xdx ydy (xdy ydx) 0. x2 y 2

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую,

проходящую через точку

1. y y x2 , M (1,2).										2.	16.											1
											16.									1,			.
												2( y y ) x 3, M								1,			.
yy 2x, M (0,5).										3.		y										2
y 2 y 2 , M (1,2).										4.	17.	y	x 2y, M (3,0).									18.
											17.											18.
	2x										xy 2y, M (1,3).											19.
y	2x			, M (1,1).						5.
y	3y			, M (1,1).						5.	3yy x, M ( 3, 2).											20.
											3yy x, M ( 3, 2).											20.

							3				y y x2 , M ( 3,4).											21.
y ( y 1)x, M 1,									.	6.
y ( y 1)x, M 1,									.	6.
							2				x2 y 2			2xyy 0, M ( 2,1).
yy x 0, M ( 2, 3).										7.		y						3
															2	y, M		3
y 3 y 2 , M (1,2).											22.			x			2,			.
											22.			x			2,			.
										8.								2
xy 2y, M (2,3).										9.	23.	y y x, M (2,1).										24.
y (x2 2) y, M (2,2).										10.	yy x, M (2,3).											25.
x2 y 2				2xyy 0, M (2,1).							y y x, M (4,2).											26.
						9					3yy x, M (1,1).											27.
11. y						9
				y x, M				,1 .		12.	y x2			y, M (0,1).
				y x, M				,1 .		12.
						2																28.
y x		2				1								2
														2
				y, M 1,				.		13.	y 3y 3 , M (1,3).											29.
				y, M 1,				.		13.	y 3y 3 , M (1,3).											29.
						2
y xy, M (0, 1).										14.	x2	y2		2xyy 0, M ( 2, 1).
y xy, M (0, 1).										14.
y xy, M (0,1).										15.		y							1
											30.			x( y 1), M 1,							.
											30.			x( y 1), M 1,							.
			x																2
yy			x		, M (0,1).							y x 2y, M (1,2).
yy					, M (0,1).						31.
				2							31.
				2
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку M 0											и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M

нормальный вектор MN с концом на оси Oy имеет длину, равную a , и образует острый угол с положительным

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа! www.otlichka.ru

направлением оси Oy .

1. M 0 (15,1), a 25.		2.	4. M 0 (6,4), a 10.	5.
M 0	(12,2), a 20.	3.	M 0 (3,5), a 5.
M 0	(9,3), a 15.

Найти линию, проходящую через точку M 0 , если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями

координат, делится точкой линии в отношении			a : b (считая от оси Oy ).
6.	M	0 (1,1), a : b 1: 2.	7.	9. M 0 (1,0), a : b 3 : 2.
M 0 ( 2,3), a : b 1: 3.				10. M 0 (2, 1), a : b 3 :1.
8.	M	0 (0,1), a : b 2 : 3.

Найти линию, проходящую через точку M 0 , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью

Oy делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении a : b (считая от оси Oy ).
11.	M 0	(2, 1), a : b 1:1.	14. M 0 (2,1), a : b 1: 2.	15.
12.	M 0	(1,2), a : b 2 :1.	M 0 (1, 1), a : b 1: 3.
13.	M 0	( 1,1), a : b 3 :1.

Найти линию, проходящую через точку M 0 , если отрезок любой ее касательной, заключенный между осями

координат, делится в точке касания в отношении a : b (считая от оси Oy ).
				18. M 0 (1,3), a : b 2 :1.		19.
16.	M 0	(1,2), a : b 1	:1.	M 0	(2, 3), a : b 3 :1.	20.
				M 0	(2, 3), a : b 3 :1.	20.
17.	M 0	(2,1), a : b 1	: 2.	M 0	(3, 1), a : b 3 : 2.
				M 0	(3, 1), a : b 3 : 2.

Найти линию, проходящую через точку M 0 и обладающую тем свойством, что в любой ее точке M касательный

вектор MN с концом на оси Ox имеет проекцию на ось Ox , обратно пропорциональную абсциссе точки M .

Коэффициент пропорциональности равен a .

21. M 0 (1, e), a	1									1			2.
		.		24. M			0		2,		, a			22.
	2	.		24. M			0		2,	e	, a			22.
	2									e
M 0 (2, e), a 2.							1					1
			25.	M	0	1,			, a				.	23.
			25.	M	0	1,	e	2	, a			4	.	23.
							e					4

M 0 (1, e), a 1.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025121 Кб25ballov-75211.rtf
#
05.08.2019165 Кб156-16.docx
#
01.05.202567 Кб36. Экономическая часть.docx
#
23.09.201942 Кб760-82.docx
#
01.04.202599 Кб361-66_2novoe.doc
#
16.05.20158 Мб30626266.pdf
#
25.09.2019241 Кб1464-70, 115.docx
#
22.09.2019605 Кб1866-100.doc
#
01.04.2025574 Кб166-73.docx
#
23.09.201979 Кб177-12.docx
#
01.07.202585 Кб17-Нормир. нов.doc