Функ. анализ (задачник)

t

Rb

a) y(t) = x(ξ) dξ ;

a

R

где K(s, t) C([a, b] × [a, b]) ,

b) y(s) = K(s, t) x(t) dt ,

a

компактны в пространстве

C[a, b].

a)

xn(t) = tn, n = 1, 2, . . . ;

b)

xn(t) = sin nt,

n = 1, 2, . . . ;

c)

xn(t) = sin(n + t),

n = 1, 2, . . . ;

d)

xα(t) = sin αt,

α R1 ;

e)

xα(t) = sin αt,

α [1, 2] ;

f)

xα(t) = arctg αt,

α R1 ;

g)

xα(t) = et−α,

α > 0 ?

P =

x = (ξ1

, ξ2

, . . .) `2 : |ξk| 6 k

, k > 1

1

E

(

1 2

`2 :

n=1

λn2

6

)

= x = (ξ , ξ , . . .)

∞

|ξn|2

1 ?

X

10. Какие из следующих множеств компактны в пространстве C[0, 1]:

a)

y(t) = 01 ets ϕ(s) ds : |ϕ(s)| 6 1, ϕ C[0, 1] ;

R

b)

nx(t) C(2)[0, 1]

:

|x(t)| 6 B0 ;

|x0(t)| 6 B1; |x00(t)| 6 B2o ;

c)

nx(t) C(1)[0, 1]

:

|x(t)| 6 B0 ;

|x0(t)| 6 B1o ;

d)

nx(t) C(2)[0, 1]

:

|x(t)| 6 B0 ;

|x00(t)| 6 B2o ;

e)

nx(t) C(2)[0, 1]

:

|x0(t)| 6 B1 ; |x00(t)| 6 B2o ;

f)

nx(t) C[0, 1] : |x(t)| 6 B, |x(t1) − x(t2)| 6 L · |t1 − t2| o ;

g)

nx(t) C(1)[0, 1]

:

|x(t)| 6 B,

|x0(t1) − x0(t2)| 6 L · |t1 − t2|o .

11. Компактны ли следующие множества в пространстве

L2(0, 1) :

a)

ntα ,

если

α > −

1

;

если α > 0 ;

2

b)

{sin nt},

n > 1 ;

|ϕ(ξ)|2 dξ 6 1, ϕ L2(0, 1) ;

c)

x(t) = t

ϕ(ξ) dξ : 1

R

R

d)

(ln t)n ,

n > 1.

12. Пусть

{cn} числовая последовательность. Пусть, далее

M =

( x = (ξ1, ξ2, . . .) `2 :

∞

|ckξk|2 6 1 ) .

X

2.

Проверить компактность оператора

A : `2 → `2,

если

Ax = A(ξ1, ξ2, . . .) = 0, 11

, 22 , . . . , n

, . . . .

ξ

ξ

ξn

3.

Пусть

H гильбертово пространство и

A : H → H линейный

оператор. Доказать, что

A компактен тогда и только тогда, когда

он любую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильно

сходящуюся.

4.

Пусть

A : `2 → `2,

A(ξ1, ξ2, . . .) = (a1ξ1, a2ξ2, . . .).

Доказать, что

оператор A компактен тогда и только тогда, когда

an → 0 при

n → ∞.

5.

Доказать, что оператор

A : C[a, b] → C[a, b],

(Ax)(t) = x0(t)x(t),

где

0 6= x0 C[a, b] ,

не является компактным.

6.

Доказать компактность следующих операторов:

t

a) A : C[0, 1] → C[0, 1] ,

(Ax)(t) = R0

x0(t)x(s) ds,

где

x0(t) C[a, b] ;

b

b) A : C[a, b] → C[a, b] ,

(Ax)(t) =

R

K(s, t)x(s) ds,

a

где

K(s, t) непрерывная на [a, b] × [a, b]

функция.

t

a) A : L2(0, 1) → L2(0, 1),

(Ax)(t) = R0

x(s) dst

;

где

x0(t) C[0, 1] ;

R0

b) A : L2(0, 1) → L2(0, 1),

(Ax)(t) = x0(t) · x(s) ds,

b

c) A : L2(a, b) → L2(a, b),

R

(Ax)(t) = K(s, t)x(s) ds,

a

где

K(s, t) непрерывная на

[a, b] × [a, b]

функция;

где

K(s, t) L2([a, b] × [a, b]).

b

R

d) A : L2(a, b) → L2(a, b),

(Ax)(t) = K(s, t)x(s) ds,

a

8. Показать, что оператор A : `2 → R1,

Ax =

∞

ξk

, является

k

компактным.

=1 2

kP

1

R1

a) (Ax)(t) = x(s) ds ;

0

b) (Ax)(t) = x(s)(t − s)−2/5 ds ;

R1

0

R

c) (Ax)(t) = (ts + t2s2)x(s) ds .

0

11. Доказать, что оператор дифференцирования

d

является компакт-

dt

ным из C(2)[0, 1]

в

C[0, 1].

12. При каких

α,

β,

γ > 0 является компактным в пространстве

1

C[0, 1] оператор

(Ax)(t) = R0

tα sβ x(sγ) ds ?

13. При каких

α, β,

γ

является компактным в пространстве L2(0, 1)

1

оператор

R

(Ax)(t) =

tα sβ x(sγ) ds ?

0