_gmurman2[1]

Т а б л и ц а 51

Решение. Используя замечание 2 (см. §1), перейдем к целым числам у/^=а10*дг/у—138. Составим расчетную табл. 52.

Используя итоговый столбец и нижнюю строку табл. 52, найдем общую и факторную суммы квадратов отклонений:

5общ=2 <?/—Г2 ^/1*/я » 293—1VI3=293—0,08=292,92;

« 64/4 + 400/4 + 225/3 +144/2—0,08 = 262,92. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

^ост = 5общ—5факт = 292,92—262,92 « 30. Найдем факторную и остаточную дисперсии:

5факт==5факт/(Р—1) = 262,92/(4—1)=:262,92/3 = 87,64; «^«5ост/(п—р)=:30/{13—4) = 30/9 = 3,33.

290

Сравним факторную и остаточную дисперсии с помощью крите­ рия F (см. гл. XIII, § 2). Для этого сначала вычислим наблюдаемое значение критерия:

Так как /^набл > ^кр—нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем. Другими словами, групповые средние различа­ ются значимо.

675. Произведено 14 испытаний, из них 5—на первом уровне фактора, 3—на втором, 2—на третьем, 3—на четвертом и 1—на пятом. Методом дисперсионного ана­ лиза при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний при­ ведены в табл. 53.

Т а б л и ц а 53

У к а з а н и е . Принять у(/ = \Oxij — 78.

676. Произведено 13 испытаний, из них 4—на первом уровне фактора, 6—на втором и 3—на третьем. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 про­ верить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 54.

291

УК а з а н и е. Принять yfj == л:// — 73.

677.Произведено 14 испытаний, из них 7—на пер­

вом уровне фактора, 3 — на втором и 4 — на третьем. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в табл. 55.

У к а з а н и е . Принять у,у = 100^/диил^у • -3900.

678. Произведено 26 испытаний, из них 7—на первом уровне фактора, 5—на втором, 8—на третьем и 6—на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о равенстве груп-

292

Часть четвертая

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Глава пятнадцатая

МОДЕЛИРОВАНИЕ (РАЗЫГРЫВАНИЕ] СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

§ 1. Разыгрывание дискретной случайной величины

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью вы­ бирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а: М(Х) = а.

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) п возможных значений Xi случайной величины X, находят их среднее

294

Р е ш е н и е . Разобьем интервал (О, 1) оси Or точками с коор­ динатами 0,22; 0,22 + 0,17 = 0,39 на три частичных интервала: Л,—(0; 0,22), Ла—(0,22; 0,39), Дз~(0;39, 1).

2. Выпишем из таблицы приложения 9 шесть случайных чисел, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05; 0,97; 0,87 (ш^тая строка таблицы снизу).

Случайное число ri = 0,32 принадлежит частичному интервалу Да» поэтому разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение Х2==10; случайное число /•а = 0,17 принадлежит частичному интервалу Ai, поэтому разыгрываемая величина приняла возможное значение JCI = 2.

Аналогично получим остальные возможные значения.

скретной случайной величины X — числа появлений события Л в трех независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность по­ явления события А равна 0,4; б) принять для определенности слу­ чайные числа: 0,945; 0.572; 0,857; 0,367; 0,897.

§ 2. Разыгрывание полной группы событий

Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.

Правило. Для того чтобы разыграть испытания^ в каждом из которых наступает одно из событий Аи ^2» •••» An полной группы, вероятности которых pt» Рг* • "* Рп известны, достаточно разыграть

295

Если в испытании величина X приняла возможное значение Xi = i, то наступило событие Л/.

683. Заданы вероятности трех событий: Л^, Ла, Лд, образующих полную группу: Pi = P (Ai) = 0,22, Ра == = Р{А^) = 0,31 f Рз = Р(Лз)=0,47. Разыграть пять испы­ таний, в каждом из которых появляется одно из трех рассматриваемых событий.

Р е ш е н и е . В соответствии с правилом настоящего параграфа надо разыграть дискретную случайную величину X с законом рас­

остальные события. В итоге получим искомую последовательность событий: As, Ai, А^, Аи Лд.

684. Заданы вероятности четырех событий, образую­ щих полную группу: /?, ==Р (^i) = 0,15, р^ = Р(А^ = 0,Ы\ Рз=Я(Лз)-0,05, р, = Я(Л,)=0,16.

Разыграть 10 испытаний, в каждом из которых появ­ ляется одно из рассматриваемых событий.

Р е ш е н и е . Возможны четыре исхода испытания:

Ai=AB, причем в силу независимости событий Р{АВ) = Р {А)Х XP(fi) = 0,7 0,4 = 0,28;

Л2 = Л5, причем Р(А^) = 0,7 0,6 = 0,42; As = AB^ причем Р(Л^5) = 0,30,4 = 0,12;

р0,28 0,42 0,12 0,18

Выберем из таблицы приложения 9 четыре случайных числа, например 0,32; 0,17; 0,90; 0,05.

296

Используя правило § 1, легко найдем искомую последователь­ ность результатов четырех испытаний: Лг, Лх, А^, Ai.

686. События А и В независимы и совместны. Разы­ грать пять испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,6, а события В—0,8.

пять испытаний, в каждом из которых заданы вероятно­

определенности принять случайные числа: 0,66; 0,06; 0,57; 0,47; 0,17.

§ 3. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Известна функция распределения F (х) непрерывной случайной величины X. Требуется разыграть X, т. е. вычислить последователь­ ность возможных значений д:/(/== 1, 2, . . . ) .

А. Метод обратных функций. Правило 1. Для того чтобы ра­ зыграть возможное значение Х( непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное чис­ ло fi, приравнять его функции распределения и решить относи­ тельно Х{ полученное уравнение F(xi) = ri,

Если известна плотность вероятности / (х), т используют пра­

'|

J/(x)dx = r/,

—00

297

или уравнение

J/Wdx= fh

Если окажется» что Z = ^, то решают относительно х уравнение

З а м е ч а н и е 1. Если задана плотность вероятности непрерыв­ ной случайной величины X в виде

/ W = Ci/i (дг)+С2/, (x) + ... + Cnfn (X),

где fk(x) — плотности вероятностей, коэффициенты С^ положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Zs=zk, то решают (по

пение \ fk(x)dx:=r2.

а

689. Найти явную формулу для разыгрывания непре­ рывной случайной величины X, распределенной равно­

мерно в интервале (а, Ь), зная ее функцию распределе­

ния F{x) = {x—a)/{b—a) (a<x<b).

Р е ш е н и е . В соответствии с правилом 1 приравняем задан­ ную функцию распределения случайному числу г,-:

(д:/—а)/(/>—в)==г/.

Решив это уравнение относительно х/, получим явную формулу для^ разыгрывания возможных значений X: Х(= (Ь—а) /'|*+^*

690. Разыграть четыре возможных значения непре­ рывной случайной величины X, распределенной равно­ мерно в интервале (4, 14).

298

У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа: 0,74; 0.02; 0,94; 0,36.

691. Найти явную формулу для разыгрывания непре­ рывной случайной величины X, распределенной по пока­ зательному закону, заданному функцией распределения

F(A:)=1—е-^^(л:>0).

692. Найти явную формулу для разыгрывания непре­ рывной случайной величины, заданной плотностью веро­ ятности f{x)=b/{l+axY в интервале [О, 1/(6—а)]; вне этого интервала /(л:) = 0.

Р е ш е н и е . Используя правило 2, напишем уравнение

о

решив это уравнение относительно д:/, окончательно получим

Xi = ri/(b'-ari).

693. Разыграть пять возможных значений непрерыв­ ной случайной величины X, заданной плотностью веро­ ятности /(л:)= 10/(1+2А:)^ В интервале (О, 1/8); вне этого интервала f{x)^0.

694. Найти явную формулу для разыгрывания равно­ мерно распределенной случайной величины X, заданной плотностью вероятности f{x) — 2 в интервале (0; 0,5); вне этого интервала f{x) = 0.

695. Разыграть пять возможных значений непрерыв­ ной равномерно распределенной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(л:) = 0,1 в интервале (0; 10); вне этого интервала f{x) = 0.

рывной случайной величины, распределенной по показа­

299