umm_201

6

4

y1(x)

2

y2(x)

y3(x)

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

4

6

8

x

Рис.1. Построение графика функций с помощью преобразований

Решение.

Графическим решением уравнения называются абсциссы точек пе-

ресечения

двух графиков

функций. Построим графики двух функций

y2 = x2 − 2, y1 = x +1 .

Графики данных функций пересекаются в одной

10

5

0

5

10

15

20

π

−1;

б) y = 2(x −1)

3

−1.

35. а) y = sin x +

4

36. а) y =

2

π

+ 0.5 ;

б) y = 2ctg

− x .

x + 0.5

3

37.

а)

y = 2x−1 + 4;

б)

y = 3 −

2

.

x

−1

y = 31−x + 2;

38.

а)

б)

y = 4 + log2 (x + 2) .

39.

а)

y = 3 −(x + 2)

3

;

б)

π

+1.

y = 2 cos

− x

3

40.

а)

y = 3 −3x+2

б)

y = 4 − 2

x −0.5 .

41-50.

Найти области определения для функций

41.

а)

y =

− x2 + 2x +3 + ln(x − 2) ;

б)

y =

1

.

x2

− 4

42.

а)

y =

x2 −5x −6 +

x ;

б)

y =

2

.

5 − x

43.

а)

y = lg(x2 − 4) +

x +3 ;

б)

y =

1

.

x2

−5x + 6

ln(x − 2)

1

44.

а)

y =

;

б)

y =

9 − x2

+

.

x −1

x − 4

1

1

2 .

45.

а)

y =

+ lg(1 − x) ;

б)

y = 3

x −2

+

x2 +10x +9

1

x

1

46.

а)

y =

x2 +3x − 40 +

;

б)

y = ln(x −1)+

.

x

2 − x

47.

а)

y = lg(4x2 −3x − 22) ;

б)

y =

2

+

1

.

x2 −

4

x + 4

1

1

2

48.

а)

y =

+

7 − x ;

б)

y = 2

x

+

.

x2 −9

1

x2 −6x +8

49.

а)

y = lg(−x2 +8x) +

;

б)

y = ln(x + 2) −ln(4 − x) .

x − 2

1

1

50.

а)

y = ln(x2 −1) +

;

б)

y =

−

10 − x .

x −

5

x

2

+ 4x

51-60. Решить графически уравнение

51.

2x + x −5 = 0 .

56.

log2 (x + 2) + x −3 = 0 .

52.

2 −ex + x = 0 .

57.

2−x −3x +1 = 0 .

53.

x −1 + 4 − x = 0 .

58.

2x −1 − x = −3 .

54.

sin 2x − x +1 = 0.

59.

x − x2 +3 = 0 .

55.

1

+ x2 = 0 .

60.

cos x − x + 2 = 0 .

x −1

так

lim f (x) = b .

(5.1)

x→a

Если lim f (x) = 0 , то

f (x) называется бесконечно малой при x → a .

x→a

Например, функция

f (x) = x3 −1 – бесконечно малая, при x →1. Воз-

абсолютной величине, при x → a . В этой ситуации функцию f (x)

называют

бесконечно

большой и записывают lim f (x) = ∞. Например,

функция

1

x→a

f (x) =

будет бесконечно большой при x →1.

x −1

1)

lim( f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x)

x→a

x→a

x→a

2)

lim( f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x)

x→a

x→a

x→a

аргумента при x → 0 называется производной функции

y = f (x) в точке

x0 и записывается

f ′(x0 ) = lim

f (x0 +

x) − f (x0 )

.

(5.2)

x→0

x

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке x0

имеет вид

y = f ′(x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) ,

(5.3)

1. C

′

= 0

2. x

′

=1

3. (x

n

′

= nx

n−1

)

′

=1/(2 x)

1

′

1

(e

x ′

= e

x

5.

= −

6.

4. ( x)

x2

)

x

7. (a

x

′

= a

x

ln a

′

=

1

′

=

1

)

8. (ln x)

x

9. (loga x)

x ln a

1

10.

(sin x)′ = cos x

11.

(cos x)′ = −sin x

12. (tg x)′ =

cos2 x

1

1

13.

(ctg x)′ = −

14.

(arcsin x)′ =

sin2 x

1− x2

15.

(arccos x)′ = −

1

16.

(arctg x)′ =

1

1− x2

1+ x2

′

= C

′

2. ( f (x) ± g

′

′

′

1. (Cf (x))

f (x)

(x)) = f

(x) ± g (x)

′

=

′

′

3. ( f (x) g(x))

f (x) g(x) + g (x) f (x)

′

′

′

′

′

′

f (x)

f (x) g(x) − f (x) g (x)

4.

=

5. ( f (g(x))

= f (g(x))

g (x)

(g(x))2

g(x)

Последнее правило называется дифференцированием сложной функции и

занимает наиболее

важное место

в дифференциальном

исчислении. Если

y = f (u) – некоторая функция аргумента u , а

u = g(x) – другая функция аргу-

мента x , то говорят, что y = f (g(x)) сложная функция от x .

Пример1. Найти производную функции y = cos(x5 ) .

Здесь

f (u) = cos u , u = g(x) = x5 , тогда,

используя правило 5

диффе-

ренцирования

и

основные

формулы

дифференцирования,

получим

y

′

=

′

′

= −sin(u) (x

5

′

5

) 5x

4

= −5x

4

sin(x

5

) .

(cos u)u ux

) = −sin(x

Пример2. Найти производную функции y = x ln

x .

Используем

сначала

правило

дифференцирования

3).

В нашей

задаче

f (x) = x,

g(x) = ln

x . Получим y

′

= (x ln

′

′

ln

x + (ln

′

x =

x) = x

x)

1

′

1

1

1

=1 ln x +

x

(

x)

x = ln

x +

x 2

x x = ln

x + 2

. Здесь

учитывали,

a < x1 < x2 < b выполняется условие f (x1) > f (x2 ) .

Если производная f

′

(a;b) положительна,

то функция на этом

(x) на

интервале возрастающая.

Если f

′

y = f (x) убывает на

(x) < 0, то функция

(a;b).

f (x0 ) функции y = f (x) называется максимальным, если во

Значение

всех точках x ,

близких к

x0 , выполняется неравенство

f (x0 ) > f (x) . В этом

случае точка x0 называется точкой максимума функции.

Значение

f (x0 ) функции y = f (x) называется минимальным, если во

всех точках x ,

близких к x0 , выполняется неравенство

f (x0 ) < f (x) . В этом

если при переходе через критическую точку x0

производная не меняет

знак, то x0 не является точкой экстремума функции.

Производная от производной для функции y = f (x) называется произ-

водной

второго порядка (или

второй производной) и обозначается

′ ′

= y

′′

′′

( y )

= f (x).

′′

По знаку второй производной

можно определить на-

функции f (x)