помощь по matcad

Свойства определителей

1. При транспонировании величина определителя не изменится, то есть:

2.Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна его умножению на −1.

3.Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен

нулю.

4.Умножение всех элементов одной строки (столбца) определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k .

5.Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6.Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7.Если каждый элемент i -й строки (или j -го столбца) определителя

представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i -й строке (или соответственно в j -м столбце) имеет первые слагаемые, а другой– вторые; эле-

менты, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,

8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель. Например,

Пример 4 . 4 .

а) Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства:

б) Вычислить определитель матрицы, используя свойства определителей:

30

Решение.

а) Так как 1-й столбец левого определителя можно представить в виде суммы двух столбцов, то по свойству 7 этот определитель можно представить в виде суммы двух определителей:

В правой части элементы 2-го столбца первого и второго определителей имеют общий множитель a , по свойству 4 общий множитель можно вынести за знак определителя. Кроме этого, элементы 1-го столбца второго определителя

имеют общий множитель a2 , поэтому

что и требовалось доказать.

б) Метод эффективного понижения порядка. Используя свойства опре-

делителей, вычисление определителя n -го порядка всегда можно свести к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду (строке или столбце) определителя все элементы, кроме одного, равными нулю.

Получим нули, например, в 3-м столбце данного определителя. Для этого будем последовательно умножать 4-ю строку на 3, 7 и вычитать ее соответственно из 3-й и 1-й строки, после этого будем иметь (меняются последовательно 3-я и 1-я строки, а 4-я остается без изменения):

31

Получим нули во 2-й строке. Для этого сложим 2-й столбец с 1-м, затем, умножив 2-й на 2, вычтем его из 3-го (второй столбец без изменений):

Замечание

1. Если определитель квадратной матрицы An×n не равен нулю, то матри-

ца называется невырожденной, в обратном случае – вырожденной. 2. Определитель вводится только для квадратных матриц.

1 . 2 . Обратная матрица

Определение 4 . 3 . Матрица A−1 , удовлетворяющая соотношениям

A−1 A = A A−1 = E , где E – единичная матрица, называется обратной к матрице A .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обрат-

ной матрицы). Обратная матрица A−1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица An×n невырожденная.

Обратная матрица A−1 вычисляется по формуле

A−1 = 1A A~T ,

~

где An×n – матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы An×n .

32

Решение.

1) Найдем определитель матрицы A : A = −3 ≠ 0 , следовательно, обрат-

33

Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:

Меню View Toolbars Symbolic

кнопка

2 . 2 . Нахождение обратной матрицы

Символьный процессор системы M a t h c a d обеспечивает проведение операции нахождения матрицы, обратной к данной матрице, заданной в символьном и в числовом видах. Эта операция находится в меню Simbolics (Сим-

вольные вычисления): Simbolics Matrix Determinant. Также вычис-

ление определителя можно произвести с помощью панели «Symbolic». Найдем матрицы, обратные к данным матрицам A и B :

упростим полученное выражение:

Меню View Toolbars Symbolic simplify

35

Symbolic кнопка далее щелкаем курсором мышки вне рамки, ограничиваю-

щей выражение:

и упрощаем выражение:

Если элементы матрицы – числа, то соответствующие операции выполняются в числовой форме:

Ответ можно получить в виде десятичных дробей с помощью клавиши

«=»:

Задания для самостоятельной работы

4.1. Вычислить определители соответственно: а) по определению; б) с помощью правила треугольников:

36

4.2. Вычислить определители соответственно: а) разложением по 2-й строке; б) по 3-му столбцу, а также с помощью метода эффективного понижения порядка:

4.3. Найти обратные матрицы к матрицам:

4.4. Проверьте полученные результаты в заданиях 4.1.– 4.3, выполнив данные задания на ПЭВМ.

37

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ФОРМУЛАМ КРАМЕРА

1. Теоретические сведения

Определение 5 . 1 . Системой линейных алгебраических уравнений,

содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij , i =1,..., m , j =1,..., n называются коэффициентами системы, чис-

ла bi – свободными членами, x j – неизвестные системы.

Определение 5 . 2 . Решением системы называется n значений неизвестных x1 = c1 , x2 = c2 , ..., xn = cn , при подстановке которых все уравнения сис-

темы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Обозначим

свободных членов bi .

По определению матричного умножения система (5.1) может быть запи-

сана в виде матричного уравнения

= ~

AX B .

38

Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

Основная матрица A такой системы квадратная. Найдем решение данной системы уравнений в случае, когда определитель матрицы A ≠ 0 . Здесь

система (5.2) также может не иметь решений, но если система (5.2) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

2. Вычисления с помощью системы M a t h C A D

Решение.

Составим основную матрицу системы и найдем ее определитель:

39