Алгебра лекции 2 семестр

X1

[

]Б

=

Так как вектор A неизвестен, то возьмем A

X2

.

α11

α1n

λ 0 … 0

Xn

…

MБ (ϕ ) − λ E = − =

α11 − λ

αn1

… αnn

0 0 … λ

α12

… α1N

α21

α22 − λ

… α2N

=

.

αN1

… … αNN − λ

Подставляя эту матрицу и столбец в равенство выше,

получаем систему

α12 X2 + …+

α1N XN = 0,

(

α11 − λ

)

X1 +

α2N XN = 0,

α21 X1 + (α22 − λ ) X2 + …+

αN1 X1 +

αN 2 X2 + …+

(αNN − λ) XN = 0.

Ненулевые решения у этой однородной системы имеются

тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы

равен 0, т.е.

MБ (ϕ ) − λ E

= 0 .

(ϕ ) − λE

Заметим, что

определитель

MБ

после вычисления

будет многочленом степени

n от λ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен

MБ

(ϕ ) − λ E

называется

характеристическим многочленом оператора ϕ, а уравнение

=

TБ−11Б2 MБ1 (ϕ ) TБ1Б2 − TБ−11Б2 (λE ) TБ1Б2

=

=

TБ−11Б2 (MБ1 (ϕ ) − λ E ) TБ1Б2

=

=

TБ−11Б2

MБ1 (ϕ ) − λ E

TБ1Б2

=

1

TБ1Б2

MБ1 (ϕ ) − λ E

MБ1 (ϕ ) − λ E

.

=

TБ Б

2

=

1

Таким образом

MБ2 (ϕ ) − λ E

=

MБ1 (ϕ ) − λ E

.

Значит, характеристический многочлен линейного оператора

ϕ не зависит от выбора базиса, а потому и

характеристическое уравнение

MБ (ϕ ) − λ E

= 0 не зависит от

выбора базиса пространства V.

▲

Решив уравнение

MБ (ϕ ) − λ E

= 0 , можно найти все

собственные значения оператора ϕ, а затем для каждого

собственного значения

λ0

найти решения однородного

уравнения

(

MБ

(

ϕ

)

− λ0

E

)

X =

θ

Б . Тем самым будут найдены

[

]

все собственные векторы, соответствующие λ0 .

Для этого нужно найти ФСР данной системы, чтобы получить

базис подпространства собственных векторов оператора ϕ,

соответствующих собственному значению λ0 .

Линейные операторы с простым спектром

В данном пункте рассматривается случай линейного

оператора n-мерного векторного пространства, имеющего n

попарно различных собственных значений.

ТЕОРЕМА

32 (о линейной независимости собственных векторов,

принадлежащих разным собственным значениям). Если

собственные векторы A1,A2,…,AM линейного оператора

имеют попарно различные собственные значения, то

последовательность

A1,A2,…,AM – линейно независима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ϕ – линейный оператор векторного

пространства V,

A1,A2,…,AM – собственные векторы ϕ,

принадлежащие различным собственным значениям, т.е.

выполняются условия:

ϕ

(A1) = λ1 A1,…,ϕ (AM) = λM AM

(1)

λI

≠ λK при I ≠ K .

(2)

Далее доказательство проводится индукцией по m.

Если M = 1 , то A1 ≠ θ

как собственный вектор и теорема

верна. Пусть теорема верна для M−1

векторов. Докажем, что

она верна для m

векторов.

Пусть

.

(3)

α1

A1 + …+ αM AM = θ

Тогда

AM

= ϕ θ

,

ϕ

(

α1 A1 + …+ αM

)

( )

α1 ϕ (A1) + …+ αM ϕ (AM ) = θ

или

(4)

α1 λ1 A1 + …+ αM λM AM = θ .

пространства V над полем P с простым спектром λ1,λ2,…,λN

и A1,A2,…,AN – собственные векторы ϕ, принадлежащие

соответственно собственным значениям λ1,λ2,…,λN . Тогда

1) Б = a1; a2;…; aN

– базис пространства V;

λ1

0

…

0

λ2

0

0

…

2) MБ (ϕ ) =

– диагональная матрица, по

0

0

… λn

диагонали которой стоят собственные значения;

3) для любого вектора

C V , C = X1 A1 + …+ XN AN верно

равенство ϕ (C ) = λ1 X1

A1 + …+ λN XN AN .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) По определению λI ≠ λK при I ≠ K . Тогда

по теореме 32 последовательность Б – линейно независима. А

так как DIMP V = N

, то

Б – базис пространства V.

2) Так как

ϕ (A1) = λ1 A1 =

λ1 A1 + 0 A2 + …+ 0 AN ,

ϕ (A2 ) = λ2 A2 = 0 A1 + λ2 A2 + …+ 0 AN ,

,

ϕ (AN ) = λN AN = 0 A1 + 0 A2 + …+ λN AN

λ1

0

…

0

λ2

0

…

0

то MБ (ϕ ) =

.

0

0

λn

3) Пусть C V ,

C = X1 A1 + …+ XN AN . Тогда

ТЕМА 9. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§1. Основные определения, свойства и задачи

Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической

геометрии, а именно, в теории кривых второго порядка. В данном

параграфе разбирается общий случай n переменных (или

неизвестных) (в геометрии рассматриваются случаи N = 2 и N = 3 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Квадратичной формой F ( X1; X2;

…; XN ) от n

переменных X1, X2,…, XN называется сумма, каждое слагаемое

которой является или квадратом одной из переменных, или

произведением разных переменных с коэффициентом.

Квадратичная форма называется действительной или комплексной

в зависимости от того, являются ли её коэффициенты

действительными или комплексными числами.

Считая, что в квадратичной форме f уже сделано приведение

подобных, введём для её коэффициентов следующие обозначения:

коэффициент при XI

2 обозначим через αI I , а коэффициент при Xi Xj

для i ≠ j

– через 2αi j

, т.е. предполагаем, что αi

j = α j i

для всех

1 ≤ I, J ≤ N . Ввиду этого сумма αi j Xi X j + α j i X j Xi

(I ≠ J )

запишется в

виде

X j + α j i X j Xi = 2αi j Xi X j (I ≠ J ) ,

αi j Xi

а вся квадратичная форма f – в виде суммы всевозможных

слагаемых αi j

Xi Xj , где

i, j

независимо друг от друга пробегают

значения от 1 до n:

N

N

F = F (X1; X2; …; XN ) =

∑∑αI J XI X J .

I =1 J =1

Матрицей квадратичной формы f называется квадратная матрица

A = (αI J )N ×N , составленная из коэффициентов квадратичной формы:

α11 α12 … α1N

α21 α22

… α2N

A =

…

…

…

…

.

αN1

αN2

… αNN

Ранг r матрицы A называется рангом квадратичной формы f.

Если

R = N , т.е. если матрица невырожденная, то и квадратичная

форма f

называется невырожденной, в противном случае –

вырожденной.

= α j i

матрица A является симметрической т.к.

Ввиду равенства αi j

её элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны

между собой.

Заметим, что любая симметрическая матрица определяет, причём

единственным образом, квадратичную форму, имеющую

коэффициентами элементы этой матрицы. Известно, что квадратная

матрица A тогда и только тогда будет симметрической, когда AT = A ,

где AT – транспонированная к матрице A.

X1

X2

столбец переменных квадратичной формы f,

Обозначив X =

получим XT =

XN

… ; XN ) , и тогда квадратичную форму f можно

(X1;

X2;

записать в виде

F = XT A X ;

ПРИМЕР. Пусть

F

(X1; X2; X3 )

= 2X12 − X22 + 3X32 − 2X1X2

+ 3X2X3 .

Тогда матрица этой квадратичной формы будет иметь вид:

2

−1

0

X1

−1

−1

3

,

X

T

= (X1; X2; X3 ) и

A =

2

X = X2

,

0

3

3

2

X3

2

−1

0

X

T

1

X

A X = (X1; X2; X3 )

−1

−1

3

=

2

X2

3

0

2

3

X3

X1

3

3

−X1 − X2 +

X3;

X2

+ 3X3

=

= 2X1 − X2;

2

2

X2

3 X

+ 3 X

X3

=

2X

2 − X

X

− X X

2

− X

2

+

3

X

2

2

X

3

+ 3X

2 =

1

2 1

1

2

2

2

3

= 2X12 − 2X1X2 − X22

+ 3X2X3 + 3X32 .

ТЕОРЕМА

34 (об изменении матрицы квадратичной формы при

линейном преобразовании). Если к квадратичной форме

F = F (X1; X2; …; XN )

с матрицей A применить линейное

преобразование переменных XI

== ∑N

Q I K YK ,

I = 1, 2,…, N , с матрицей

K =1

Q = (QI J )N ×N , то получится квадратичная форма от n переменных

Y1, Y2,…, YN с матрицей QTAQ .

Y1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y =

Y2

. Тогда Y

T

= (Y1; Y2; … ;YN ) и

YN

имеет вид X = QY . Откуда

линейное преобразование переменных XI

N N

невырожденным линейным

F = F (X1; X2; …; XN ) = ∑∑αI J XI X J

I =1 J =1

преобразованием переменных приведена к каноническому виду

f = β1y12 + β2y22 + …+ βNyN2 , то количество ненулевых

коэффициентов в каноническом виде равно её рангу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По замечанию выше ранг формы после применения

к ней невырожденного линейного преобразования переменных не

изменяется. Матрица канонического вида квадратичной формы

f = β1 y12 + β2 y22 + …+ βN yN

2 имеет диагональный вид

β1

0

0

0

0

β2

0

0

B =

, значит, её ранг равен количеству ненулевых

0

0

0

βN

элементов, стоящих на главной диагонали. ▲

ТЕОРЕМА

36 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая

квадратичная форма некоторым невырожденным линейным

преобразованием переменных может быть приведена к

каноническому виду, причём если квадратичная форма имеет

действительные коэффициенты, то и все коэффициенты

соответствующего невырожденного линейного преобразования

можно взять действительными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по количеству переменных n.

При

N = 1

квадратичная форма имеет вид

F = F (X1) = α11X12 .

Требуемое линейное преобразование – это тождественное

преобразование

X1

= Y1 , т.к. f уже имеет канонический вид.

Пусть для всех натуральных чисел 1 ≤ N ≤ K −1 , где K N , теорема

верна. Докажем, что теорема верна и для N = K .

Рассмотрим квадратичную форму

F = F (X1; X2; …;

Xk )

k k

= ∑∑αi j Xi X j .

i =1 j =1

Для доказательства теоремы достаточно построить соответствующее

невырожденное линейное преобразование.

Пусть среди коэффициентов α11, α22,…, αKK , т.е. среди

коэффициентов при XI 2

есть ненулевые. Не теряя общности можно

считать, что

α11 ≠ 0 . Тогда квадратичная форма

H = α11−1 (α11

X1

+ α12 X2 + …+ α1K XK )2

содержит такие же слагаемые с переменным X1 , как и f, а

квадратичная форма

F1

= F − H будет содержать неизвестные

x2, x3,…, xK , но не будет содержать X1 .

Таким образом, невырожденное линейное преобразование

переменных

x2 + …+ α1K xK ,

y1

= α11 x1 + α12

( )

= xI ,

если

i =

2, 3,…,k

yI

даёт равенство f = α11−1 y12 + g , где g – квадратичная форма от

переменных

Y2, Y3,…, YK , которая получена из f невырожденным

линейным преобразованием, обратным к ( )

−1

y1

−

−1

−1

α1K

yK ,

x1

= α11

α11

α12 y2 − …− α11

xI

= yI ,

если

i

=

2, 3,…,k.

Это преобразование имеет своим определителем число α11−1 , а

потому является невырожденым.

Форма g может быть приведена к каноническому виду

невырожденным линейным преобразованием по предположению

индукции, что и завершает доказательство.

Если же α11 = α22 = … = αKK = 0 , но есть αi j ≠ 0, i ≠ j , то можно

сделать вспомогательное невырожденное линейное преобразование,

приводящее к появлению в форме f квадратов переменных. Не теряя

общности, можно считать, что α12 ≠ 0 , т.е. f содержит слагаемое

2α12X1X2 .

Применим линейное преобразование

X1

=

Z1

− Z2,

X2

=

Z1

+ Z2,

= ZI ,

если I = 3,…,K.

XI

Это преобразование невырождено, т.к. его определитель

1

−1 0 0

1

1

0 0

= 2 ≠ 0 .

=

0 0 1 0

0

0

0 1

После преобразования в квадратичной форме появятся квадраты с

ненулевыми коэффициентами:

2α12X1X2 = 2α12 (Z1 − Z2 ) (Z1 + Z2 ) = 2α12Z12 − 2α12Z22 ,

которые не могут сократиться ни с одним из остальных слагаемых,

т.к. в каждое из них входит одна из переменных Z3,…,ZK .

После этого доказательство сводится к рассмотренному выше случаю.

▲

ЗАМЕЧАНИЕ. Алгоритм приведения квадратичной формы к

каноническому виду следует из доказательства теоремы.

ПРИМЕР. Привести к каноническому виду квадратичную форму

F (X1;

X2;

X3 ) = 2X1X2 − 4X1X3 + 6X2X3 .

Так как в этой форме нет квадратов неизвестных, то вначале

применим невырожденное линейное преобразование

X1 = Y1

− Y2, X2 = Y1 + Y2, X3 = Y3 с матрицей

1

−1

0

A =

1

1

0 .

0

0

1

Тогда

f =

2

(y1 − y2 ) (y1 + y2 ) − 4 (y1 − y2 ) y3 + 6 (y1 + y2 ) y3 =

Коэффициент при Y12 отличен от нуля, поэтому можно выделить

квадрат одного переменного. Для этого положим

Z1 = 2Y1 + Y3,

Z2 = Y2,

Z3 = Y3 .

Тогда

Y1 = 1 Z1

− 1 Y3 = 1 Z1 −

1 Z3,

Y2 = Z2, Y3 = Z3 –

2

2

2

2

1

2

0

−

1

2

линейное преобразование с матрицей B =

0

1

0

, причём

0

0

1

1

невырожденное, так как

B

= 2 ≠ 0 .

Делаем замену

f = 2y12

− 2y22

+ 2y1y3 +10y2y3 =

=

2

1 Z

−

1 Z

3

2

− 2Z

2 + 2

1 Z

−

1 Z

3

Z

3

+ 10Z Z

=

1

2 2

2

1

2 3

1

22

1

2

2

2

=

2 Z1 −

2Z2

− 2 Z3 +10Z2Z3 .

1

2

0

0

Получилась форма с матрицей

−2

5

0

.

0

5

− 1

2

. После этого

В ней выделился полный квадрат переменного

Z1

подвергаем оставшуюся квадратичную форму от переменных Z2, Z3

аналогичным преобразованиям.

Положим

или

T1 = Z1, T2 = −2Z2 + 5Z3, T3 = Z3

Z1 = T1, Z2

= −

1 T2 + 5 T3, Z3 = T3 .

2

2

1

0

0

Это преобразование с матрицей

С =

0

− 12

52

.

0

0

1

Тогда

2

F

=

1

2

−

−

1

T2 +

5

1

2

+ 10

1

T2

+

5

2

T1

2

2

2

T3

−

2

T3

−

2

2

T3 T3 =

= 12 T12 − 12 T22 +12T32 .

Невырожденное линейное преобразование, сразу переводящее к

полученному виду, имеет своей матрицей произведение A B C =

1 −1 0

12 0

− 12

1 0

0