ТК-теор2012

41

оси вращения (рис. 91). Эти окружности на одной из проекций вырождаются в прямые линии, а на другой могут изображаться в натуральную величину (рис. 92).

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения конуса вращения и цилиндра вращения методом сфер (рис. 97).

1.Анализ: две поверхности вращения, их оси пересекаются и ‖П2 . Используем метод сфер.

2.Опорные точки A,B,C,D определяем на пересечении главных меридианов.

3.Центр концентрических сфер располагаем в точке пересечения осей.

4.Строим наименьшую сферу, вписывая её в наибольшую из поверхностей (цилиндр).

5.Изображаем прямыми линиями проекции окружностей, по которым сфера касается цилиндра (рис. 93) и

пересекается с конусом (рис. 94) и отмечаем кружками Рис. 91 Рис. 92- двойные точки пересечения окружностей, принадлежащие линии пересечения объектов 1,1', 2, 2’ (рис. 95,96).

6.Увеличиваем радиус сферы и, выполняя действия по пункту 4, строим промежуточные точки. Наибольшая сфера имеет радиус равный расстоянию от центра сфер до наиболее удалённой опорной точки С.

7.Плавно соединяя полученные точки, имеем двойную линию пересечения объектов, проекция которой на чертеже представляет гиперболу.

Частный случай пересечения поверхностей вращения

Форма линии пересечения и её расположение зависят от соотношения размеров поверхностей. Для сравнения: если наибольшей поверхностью, в которую вписывается минимальная сфера, будет конус, то линия

пересечения, расположится иначе Рис. 97

(рис. 98).

Частный случай: Если обе поверхности вращения описаны вокруг общей для них сферы, то пространственная линия пересечения распадается на две плоские кривые – эллипсы (рис. 99).

41

43

Окружности, расположенные в координатных и им параллельных плоскостях, изображаются в прямоугольной аксонометрии в виде эллипсов, большие оси которых располагаются перпендикулярно оси, отсутствующей в плоскости окружности.

Размеры эллипсов и расположение осей: в изометрии (рис. 102), в диметрии (рис. 103). Эллипс в изометрии можно приближенно заменить четырёхцентровым овалом.

Косоугольная аксонометрия

Направление проецирования не перпендикулярно аксонометрической плоскости, которая располагается параллельно одной из основных плоскостей проекций, определяющее её название. Элементы объекта, расположенные параллельно этой плоскости проекций, не искажаются. Если аксонометрическая плоскость параллельна фронтальной плоскости проекций, то имеет место косоугольная фронтальная изометрия или диметрия, если параллельна горизонтальной плоскости проекций то — горизонтальная изометрия.

Фронтальная изометрическая проекция (рис. 104): kx=ky=kz=1. Горизонтальная изометрическая проекция (рис. 105): kx=ky=kz=1.

Фронтальная диметрическая проекция (рис.106): kx=kz=1; ky=0,5kx=0,5 (строит. чертежи).

Фронтальную изометрию и диметрию используют для построения тел вращения (коротких и удлинённых), так как окружность и другие элементы,

расположенные в плоскости X O Z или ей параллельных, изображаются в косоугольной аксонометрии без искажений. Изображения окружностей в косо-

угольной диметрии, расположенных в координатных плоскостях, представлены на рис. 107.

Горизонтальную изометрию применяют для планировок строительных объектов.

Рис. 107

43

44

Алгоритм построения аксонометрической проекции

Исходными данными для аксонометрического чертежа является комплексный чертёж.

1.На комплексном чертеже вводят оси локальной системы координат, совмещая их с ребрами, гранями объекта или осями, плоскостями симметрии;

2.Выбирают вид аксонометрии. Изображают аксонометрические оси – проекции локальных осей на картинную плоскость.

3.Определяют координаты опорных и промежуточных точек.

4.Строят, с учетом коэффициентов искажений, вторичную (плоскую) аксонометрическую проекцию объекта (в тонких линиях) по одной из его ортогональных проекций и в дальнейшем сохраняют ее.

5.Строят аксонометрическую проекцию объекта по его вторичной, добавляя третье измерение (координаты Z). Определяют видимость его элементов.

6.Выполняют (при необходимости) разрез объекта, рассекая его двумя или тремя

плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Типовая задача 19 (рис. 108-111): Построить изометрическую проекцию конуса с линией пересечения (рис. 108). Решение (рис. 109 -111):

1.Начало локальной системы координат XOYZ – в центре основания конуса (рис. 109).

2.Изображаем изометрические оси X’O’Y’Z’, указываем в скобках значения коэффициентов искажений, масштаб изображения (рис. 110).

3.Строим эллипс основания конуса одним из способов (например, по 8-и точкам, используя соотношения на рис. 102). Определяем на горизонтальной проекции координаты X,Y опорных и промежуточных точек линии пересечения (см., например, точку 5 на рис. 109) и строим её вторичную (плоскую) проекцию в тонких линиях на пл. X’O’Y’ (рис. 110).

4.Через точки на вторичной (плоской) проекции проводим прямые параллельные оси Z' и откладываем на них высоты точек объекта (см. точку 5), которые берём с фронтальной проекции (рис. 109). Очерковые образующие конуса касаются эллипса основания. Пространственная линия пересечения не должна выходить за очерк конуса; обводим их основной линией. Вспомогательные построения оставляем в тонких линиях (рис. 111).

РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Если рассматривать поверхность как тонкую, гибкую, нерастяжимую плёнку, то, некоторые из поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью развёртки без разрывов и складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называют развёртывающимися (по-

верхности многогранников, цилиндрические, конические и торсовые), а фигуру, полученную в ре-

44

45

зультате совмещения поверхности с плоскостью, - развёрткой. Поверхности, не обладающие этим свойством, называют неразвёртывающимися (сферические, торовые, поверхности с плоскостью параллелизма и др.).

Строить развёртку поверхностей можно графическим, графо-аналитическим и приближённым способами. В общем случае построение развёртки начинают с определения натуральной величины рёбер многогранника или образующих поверхности.

Графические способы построения развёрток гранных поверхностей.

Развёртка призмы способами нормального сечения (рис.112) и раскатки (рис. 113).

Способ нормального сечения (боковые рёбра являются прямыми уровня) основан на том, что задают нормальное сечение призмы (1,2,3), перпендикулярное боковым рёбрам, определяют его натуральная величину, развёртывают его в прямую линию (10 ,20 ,30, ,10 ) и перпендикулярно к ней строят боковые рёбра призмы.

Способ раскатки (рёбра боковые и оснований являются прямыми уровня) состоит в последовательном совмещении граней призмы с плоскостью развёртки, проходящей через одно из боковых рёбер, путём вращения каждой грани вокруг ребра уже совмещённого с плоскостью развёртки.

Развёртка пирамиды (рис. 114) выполняется путём последовательного построения треугольных боковых граней в натуральную величину (способ триангуляции). Для определения натуральной величины боковых рёбер применяют способ вращения вокруг проецирующей прямой.

Рис. 114

45

46

Графоаналитический способ построения разверток цилиндрических, конических поверхностей [4]

Развертка цилиндра вращения диаметра d и высотой h представляет собой прямоугольник длиной d и высотой h (рис. 115).

Для построения на развертке линии пересечения цилиндра с фронтально-проецирующей плоскостью ( 2), на поверхности цилиндра задается каркас образующих линий.

Рис. 115

Для этого окружность основания цилиндра разбивается на равное число частей (12). На столько же частей делится на развертке отрезок L, равный длине окружности основания

цилиндра (L= d). Через точки деления проводятся совмещенные с плоскостью развертки образующие цилиндра, на которых откладываются их натуральные величины. Полученные точки соединяют плавной кривой n.

При определении на развертке положения произвольной точки поверхности К (К2,К1) использован метод аппроксимаций — дуга 4К(41 К1 ) заменена стягивающей ее хордой. Построение развертки поверхности прямого кругового конуса Ф (S,m) показано на рис. 116.

Развертка представляет собой круговой сектор с углом при вершине, определяемым из условия равенства длины окружности основания конуса длине окружности сектора круга развертки:

d 2 SA 180d , 360 L

где d – диаметр основания конуса;

L SA – длина образующей конуса.

.

Рис. 116

46

47

Произвольная точка M , принадлежащая поверхности конуса построена на развертке в следующей последовательности:

A1 A111 ;

4) Определено положения точки M на образующей S1 развертки — SM S2M2

Приближённый способ построения разверток неразвёртывающихся поверхностей

Развёртки кривых неразвёртывающихся поверхностей выполняют приближённо. Сущность способа заключается в том, что в неразвёртываюемую поверхность вписывают подходящую развёртываемую поверхность (гранную, цилиндрическую, коническую или их комбинацию) и строят её развёртку. Далее через концы рёбер или образующих развёртки проводят плавную кривую, – получают контур приближённой развёртки неразвёртываемой поверхности.

Типовая задача 20 (рис. 117 слева): Построить развёртку боковой поверхности наклонного эллиптического конуса. Решение (рис. 117 справа и внизу):

1.В конус вписываем пирамиду SABC.

2.Строим развёртку пирамиды (см. рис. 114).

2.1.Методом вращения вокруг проецирующей оси i определяем натуральные величины рёбер SB,

SC – отрезки S’2 B’2 и S2 C’2. Рёбра SA, SD являются фронталями. S2A2, S2D2 – их натуральные величины.

2.2.Задаём линию разрезки поверхности по ребру SD. Ось симметрии развёртки – ребро SA.

2.3.Построение развёртки начинаем с оси симметрии, на которой откладываем натуральную ве-

личину ребра SA – S0A0 . Далее тонкими линиями последовательно строим треугольники A0S0B0, S0B0C0, S0C0D0 (методом засечек по трём сторонам). Боковые рёбра пирамиды есть образующие конуса. Левую часть развёртки строим, используя её симметричность.

3.Строим развёртку конуса, соединяя концы боковых ребер D0, C0, B0, A0 и т.д. плавной кривой.

4.Перенос произвольной точки М с поверхности конуса на развёртку производим с помощью дополнительной образующей конуса SN и аналогичных действий (пункты 2.1, 2.3).

47

48

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……3

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………3

ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…4

ПОЛУЧЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5

МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………5

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…….……..7 КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ТОЧКИ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………….….7

ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ ПО КООРДИНАТАМ…………………………………………….………………………………………………………………………..8

КОНКУРИРУЮЩИЕ ТОЧКИ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………9

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………9

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ПРЯМОЙ ЛИНИИ…………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………….…10

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения…………………………………………………………………………………………………..……11

ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………..…..…12

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……12

ПРЯМЫЕ УРОВНЯ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……12

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………….…..…13

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ПЛОСКОСТИ…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………13

БАЗОВЫЕ ПЛОСКОСТИ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………17

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ……………………………………………………………………………………………………………17

Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей..………………………………………………………………………………………………………………………………17 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18

Призма…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………19

Пирамида……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………20

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ (элементарные) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………21

ЦИЛИНДР…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………21

КОНУС………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………22

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………23

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ…………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………….23

СПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ…………………………………………………………………………………….…………………………………………………………….…25

ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПРЯМОЙ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………26

СТАНДАРТЫ ЕСКД (КУРС ЧЕРЧЕНИЯ) …………………………………………………………………………………………….……………………………………….…………………………………….…27

Вид ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……27

Основные виды ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…27

Дополнительный вид ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………….……29

Разрез ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………….……29

Сечение …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…31

Линии конических сечений………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………32

ПОВЕРХНОСТИ (НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………33

Способы задания поверхностей на чертеже……………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………33

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ…………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………….37

Проецирующие объекты………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….37

Решение ГПЗ-1, когда оба пересекающихся объекта занимают проецирующее положение……..…………………………………………………………………38 Решение ГПЗ-2, когда один из 2-х пересекающихся объектов занимает проецирующее положение.…………..…………………………………………38 Решение ГПЗ-3, когда оба пересекающихся объекта не занимают проецирующее положение

(общий случай решения позиционных задач) …………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………39

Метод вспомогательных секущих плоскостей……………………………………………………………………………………………………………………………………………………39

Метод вспомогательных секущих сфер………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………….…40

Частный случай пересечения поверхностей вращения……………………………………………………………………………………………………………………………….……41

АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………….……………42

РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………….………………44

ПРИЛОЖЕНИЕ. Модель плоскостей проекций…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..49

48

50

НЕ УДАЛЯТЬ! ОБОРОТНАЯ СТОРОНА ЛИСТА МОДЕЛИ

50