Lumf_p1&2(2010)

4.1.3 Пространственная задача теплопроводности

Будем рассматривать неравномерно нагретое тело, температура которого в каждой точке (x; y; z) в момент времени t определяется функцией u(x; y; z; t). В любой момент времени t функция u определяет скалярное поле – поле температуры, которое, очевидно, является нестационарным. В фиксированный момент времени t совокупность точек, в которых

u(x; y; z; t) = const

образует изотермическую поверхность. Форма и расположение изотермических поверхностей будет со временем меняться.

Направление наибольшей скорости изменения температуры u совпадает с направлением градиента функции u(x; y; z; t) при фиксированном значении t:

grad u = @u@xi + @u@yj + @u@zk

81

Во всех точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений u и модуль градиента равен производной по этому направлению

jgrad uj = @n@u:

Величина теплового потока через малый участок изотермической поверхности за время t равна

Q = k@n@u t

Здесь k – коэффициент теплопроводности.

Последняя формула справедлива для любых поверхностей. Производная по любому направлению, заданному единичным вектором нормали к произвольной поверхности n может быть записана

как

@n@u = grad u n

82

Тогда поток тепла через участок любой поверхности за время t будет равен

Q = k(grad u n) t

Если ввести вектор теплового потока

A = k grad u

то

Q = An t

Если рассмотреть поток через замкнутую поверхность, то

I

Q = t And

S

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

83

где V – часть тела, ограниченная поверхностью S. divA = kdiv grad u = k u

где

– оператор Лапласа. Тогда

и количество тепла Q1, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, равно

Z

Q1 = Q = t k u dv

V

Если в теле имеются тепловые источники, плотность которых F (x; y; z; t), то в выделенной части тела за время t выделится

84

тепло

Z

Q2 = t F (x; y; z; t) dv

V

Таким образом, количество тепла, сообщенное выделенному объему,

V

85

где

s

a =

k

c

В результате мы получили основное уравнение теплопроводности.

86

4.1.4 Начальные и краевые условия

Начальное условие – задание распределения температур во всех точках тела в начальный момент времени

Краевое условие задается на поверхности G, ограничивающей тело. Поток тепла изнутри тела через любую часть поверхности тела G пропорционален перепаду температур на этой части гра-

где u~ – температура окружающей среды в граничащих с телом точках (G), h – коэффициент теплообмена. С учетом выражения

87

В частных случаях краевое условие упрощается. Например, h = 0, что соответствует теплоизолированной границе

@u

= 0

@n G

Другой частный случай h ! 1, т.е. коэффициент внешней теплопроводности очень большой. Получаем

u G = u~ (176)

что означает, что на границе тело имеет температуру внешней среды.

88

4.1.5 Задачи диффузии

В задачах диффузии находится неизвестная функция – концентрация диффундирующего вещества, обозначаемая

c = c(x; y; z; t)

Процесс диффузии аналогичен теплопроводности, поэтому урав-

89

соответствует тому, что граница G непроницаема для диффундирующего вещества,

c G = 0

– концентрация на границе.

90