Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Funkts_ryady

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

275 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

ϕn (x)	<	ε	,	γn (x)	<	ε .
ϕn (x)	<	ε	,	γn (x)	<	ε .
		3				3

Кроме того, из известного свойства пределов конечных сумм следует, что

lim	fn (x) = lim	∑n uk (x)=∑n ck =Cn .
x→x	x→x		k=1
0	0 k=1

Поэтому найдется такое число δ > 0, что для всех точек х, одновременно принадлежащих множеству D и δ - окрестности точки х0, будет выполняться неравенство

	fn (x) −Cn	<	ε .

			3
Тогда, при указанных значениях х, будет выполняться неравенство

f (x) −C

fn (x) +ϕn (x) −Cn −γn

≤

fn (x) −Cn

ϕn (x)

γn

=ε .

Теорема доказана.

Теорема (о почленном переходе к пределу для функциональной последовательности). Пусть выполнены следующие условия.

1) fn (x) → f (x), x D;
	→
2) n =	1,2,3, lim	fn (x) = Cn R.
	x→x0
Тогда существуют оба конечных				предела	lim f (x), lim Cn ,		которые
				x→x		n→∞
					0
равны между собой, то есть справедливо равенство
		lim lim	fn (x) = lim lim		fn (x).
		x→x n→∞		n→∞ x→x
		0		0
Следствие.		Пусть		каждая		из	функций
un (x),	n =1,2,3, , определена		на множестве		D и	непрерывна	в	точке
				∞
x0 D ,	а функциональный		ряд	∑un (x) (последовательность				{fn(x)}

n=1

сходится равномерно на множестве D. Тогда его сумма (предельная функция последовательности) является непрерывной в точке х0 функцией.

Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей

Теорема. Пусть функции un (x),	n =1,2,3, , интегрируемы по Риману на
	∞
отрезке [a;b] и составленный	из них функциональный ряд ∑un (x)
	n=1

(функциональная последовательность {fn(x)}) сходится равномерно на отрезке [a;b]. Тогда сумма f(x) этого ряда (предельная функция последовательности) также будет интегрируемой по Риману на отрезке [a;b] и при этом справедливо равенство

b	b	∞
∫ f (x)dx = ∫		∑un (x)dx
a	a	n=1

b	b
∫ f (x)dx = ∫		lim	fn (x)dx
a	a n→∞

∞b

=∑ ∫un (x)dx

n=1 a

	b
=	lim ∫	fn (x)dx
=	lim ∫	fn (x)dx	.
	n→∞a

Доказательство. Докажем сначала интегрируемость функции

f(x).

Зафиксируем

произвольно

малое число

ε > 0 .

Поскольку функции

un(x)

интегрируемы

на отрезке

[a;b]

вместе

со

всеми

частичными суммами

fn (x) = ∑uk (x) , найдется такое разбиение τ ={xi}ip=1 ,

при котором будут

k =q

справедливы неравенства

ε ,

Sτ ( fn ) − sτ ( fn ) = ∑(Mi(n) −mi(n) )∆xi

i=1

где

M (n) = sup

(x), m(n) =

inf

(x) ,

]

i−1

	p				p
Sτ ( fn ) = ∑Mi(n)∆xi ,				sτ ( fn ) = ∑mi(n)∆xi .
	i=1				i=1
Пусть далее
Mi =	sup		f (x),	mi =	inf	f (x),
	[x	,x	]		[xi−1,xi	]
	i−1	i
		p			p
Sτ ( f	) = ∑Mi ∆xi ,			sτ ( f	) = ∑mi ∆xi
	i=1				i=1

В силу равномерной сходимости ряда найдется такой номер N0, что для всех номеров n>N0 во всех точках отрезка [a;b] будут выполняться неравенства fn (x) − f (x) < 4(bε−a) ,

или, что то же самое,

fn (x) − 4(bε−a) < f (x) < fn (x) + 4(bε−a) .

Переходя в этих неравенствах к точным граням на каждом отрезке разбиения, получим

m(n) −

< f (x) < M (n)

, x [a;b],

4(b −a)

m(n) −

≤ M

≤ M (n) +

m(n) −

≤ m

≤ M (n) +

4(b −a)

Последние два неравенства равносильны системе неравенств

m(n) −

≤ M

≤ M (n) +

4(b −a)

≤ −m(n) +

−M (n) −

≤ −m

4(b −a)

Складывая эти неравенства, получим

−m

≤ M (n)

−m(n) +

, i =1,2, , p.

2(b −a)

Умножая каждое из этих неравенств на ∆xi					и суммируя по i, получим
p		p					ε
Sτ ( f ) − sτ ( f ) = ∑(Mi −mi )∆xi ≤ ∑((Mi(n) −mi(n) ) +							ε	)∆xi =
Sτ ( f ) − sτ ( f ) = ∑(Mi −mi )∆xi ≤ ∑((Mi(n) −mi(n) ) +						2(b −a)		)∆xi =
i=1		i=1				2(b −a)
= S ( f	n	) − s ( f	n	) + ε <ε.
τ	n	τ	n		2
					2
Таким образом, для произвольно малого					ε > 0 можно		подобрать такое

разбиение, что разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для этого разбиения окажется меньше ε. Отсюда следует интегрируемость функции f(x) на отрезке [a;b].

Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f (x) = fn (x) +rn (x) . Проинтегрируем это равенство по отрезку [a;b]. Получим:

b	n b	b
∫ f (x)dx = ∑∫uk (x)dx + ∫rn (x)dx.
a	k=1a	a

Теперь достаточно показать, что

lim ∫rn (x)dx = 0.

n→0 a

Зафиксируем ε > 0 . В силу равномерной сходимости ряда его остатки равномерно сходятся к нулю. Поэтому найдется такой номер N0, что при n>N0 будет выполняться неравенство

rn (x) < b ε−a

для всех x [a;b] . Тогда для таких значений n мы будем иметь:

b	b	ε	b

∫rn (x)dx	≤ ∫\| rn (x) \|dx <		∫ dx =ε.
		b −a
a	a		a

Отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Почленное дифференцирование функциональных последовательностей

		и рядов.
Теорема. Пусть функции un (x)			( fn (x) ),	n =1,2,3, ,		определены
на отрезке [a;b]	и имеют	на этом	отрезке	конечные		производные
un′ (x) ( fn′(x)) .	Пусть,	кроме	того,	функциональный			ряд
∞
∑un (x) (функциональная последовательность { fn (x)}					сходится хотя бы в
n=1
			∞
одной точке x0 [a;b], а функциональный ряд ∑un′					(x) , составленный из

n=1

производных (функциональная последовательность { fn′(x)}, составленная из производных) равномерно сходится на отрезке [a;b]. Тогда справедливы следующие утверждения:

∞
1) функциональный ряд ∑un (x)	(функциональная последовательность
n=1

{ fn (x)} равномерно сходится на отрезке [a;b];

2) его сумма (предельная функция последовательности) f(x) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [a;b], выражаемую равенством

d ∞

∞

f ′(x) =

∑un (x) =

∑un′ (x)

dx n=1

n=1

f ′(x) =

(x)

lim

fn (x)

lim

n→∞

Доказательство. Зафиксировав номера n и m, рассмотрим функцию

n+m

Unm (x) = ∑uk (x).

k =n+1

Зафиксируем теперь произвольно малое число ε > 0 . В силу равномерной сходимости ряда, составленного из производных, найдется такой номер N0, что для всех номеров n>N0, для всех натуральных чисел m и для всех значений x [a;b] будет выполняться неравенство

′

n+m ′

< ε.

Umn (x)

∑uk (x)

k=n+1

Для таких номеров n и m, рассмотрим функцию

(x) −U

(x )

n+m

(x) −u

(x )

= ∑

x − x0

k =n+1

x − x0

По теореме Лагранжа о конечных приращениях между точками x и x0 найдется точка ξ , такая, что будет выполняться равенство

Umn (x) −Umn (x0)	′
x − x0	=Umn (ξ).
x − x0

Но тогда по доказанному выше мы будем иметь:

Umn (x) −Umn (x0) = Umn′ (ξ) <ε.

x− x0

Отсюда, согласно критерию Коши, следует равномерная на отрезке [a;b]

∞ u	n	(x) −u	n	(x	0	)	.
сходимость функционального ряда ∑
n=1		x − x0
Отсюда уже и следуют оба утверждения теоремы.
Прежде всего пусть x0 – та самая точка,					в которой сходится ряд

∞

∑un (x) . В силу доказанной равномерной сходимости функционального

n=1

∞ u		(x) −u	(x	)	,	а	вместе с ним и функционального ряда
ряда ∑	n	x − xn	0		,	а	вместе с ним и функционального ряда
n=1		0
∞							∞
∑[un (x) −un (x0 )]			получаем,				что функциональный ряд ∑un (x)	сходится

n=1	n=1

равномерно на отрезке [a;b]. Пусть f(x) – его сумма. Но тогда по теореме о почленном переходе к пределу для равномерно сходящегося функционального ряда получаем:

f (x) − f (x0)

∞

(x) −u

)

∞

′

) =

lim

∑

′

x − x

n→∞

∑ n→∞

n=1

Теорема доказана.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.03.2016342 Кб59Filosofia.docx
#
21.05.2015266 Кб68fin_pravo_posobie.pdf
#
21.05.2015692 Кб11financial-report-2011-rus (1).pdf
#
19.03.20161 Мб7fmicb-04-00040.pdf
#
21.05.2015330 Кб82focus on business english.pdf
#
21.05.2015275 Кб20Funkts_ryady.pdf
#
18.12.20183 Мб9FYeDYeRAL_NOYe_AGYeNSTVO_OBRAZOVANIYa_(Восстано....docx
#
20.05.2015129 Кб101gak_upravl_ekonom_new.docx
#
01.07.20251 Мб5Garmev.-Pomoschnik-sudii.doc
#
21.05.2015219 Кб20geol_magistri_exam2012.pdf
#
20.05.2015102 Кб115geopolitika1.docx