Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

(Для эрмитовых полей jn эта величина действительна, посколь-

ку в этом случае в силу (19.2.1) требуется, чтобы tnm были мнимыми.) Итак, до тех пор, пока симметрия нарушена, rn(m2) íå

может обращаться в нуль, а является величиной, пропорциональной d(m2). Такое выражение, очевидно, может возникнуть толь-

ко в теории, включающей безмассовые частицы, поскольку в противном случае спектр квадратов энергий в системе центра масс –pN2 не может простираться до нуля. Кроме того, дельтафункция d(m2) может возникнуть только от одночастичных состо-

яний нулевой массыЖ многочастичные состояния будут давать вклад в непрерывный спектр, простирающийся до m2 = 0. Состояние jn(0)|VACñ инвариантно относительно вращений, так что áN|jn(0)|Nñ должно обращаться в нуль для любого состояния N ненулевой спиральности. Кроме того, áVAC|J0|Nñ обращается в

нуль для любого состояния N, имеющего отличные от J0 внутреннюю четность или (ненарушенные) внутренние квантовые числа. Мы приходим к выводу, что нарушенная симметрия с tnmáj- n(0)ñVAC ¹ 0 требует существования безмассовой частицы спина

нуль и теми же четностью и внутренними квантовыми числами, что и J0. Это и есть наши голдстоуновские бозоны.

Приведенные рассуждения становятся неверными, когда спонтанно нарушенная симметрия является не глобальной, а локальной. Мы можем выбрать лоренц-инвариантную калибровку типа калибровки Ландау с ¶μΑμ = 0, но в ней, как показано в разделе 15.7,

нарушаются предположения о положительности в квантовой механике. Если же мы предпочтем калибровку типа аксиальной с A3μ = 0, в ней применимы обычные правила квантовой механики,

но теряется явная лоренц-инвариантность. Как мы увидим в гл. 21, это исключение является не просто технической деталью: спонтанно нарушенные локальные симметрии не приводят к существованию голдстоуновских бозонов.

Полезно более детально рассмотреть вопрос о том, каким образом коэффициент при дельта-функции в rn(m2) связан со свойства-

ми голдстоуновского бозона. Для бозона В спина нуль с 4-импульсом qμ из лоренц-инвариантности вытекает, что матричный элемент тока

между вакуумным и одночастичным состояниями имеет вид

ãäå ð — импульс В, рÂ0 = |pB|, а F – постоянный коэффициент с размерностью энергии. (Это согласуется с сохранением тока, по-

скольку p λpλ = 0.) Кроме того, матричный элемент скалярного поля

B B

jn(y) между одночастичным состоянием и вакуумом имеет вид:

ãäå Zn — безразмерная константа. Тогда из соотношений (19.2.34) и (19.2.35) имеем

(2p)−3 irn (-p2 )pλq(p0 ) º z d3pB áVAC| Jλ (0)| BñáB| jn (0)|0ñd4 (p - pB )

=d(p0 -| p| )(2p)−3 (2p0 )−1pλFZn

=q(p0 )d(-p2 )(2p)−3 iFZn ,

В более общем случае, у нас может быть несколько нарушенных симметрий с генераторами ta и токами Jaμ, которые можно счи-

тать независимыми в том смысле, что ни одна из линейных комбинаций ta не является ненарушенной. Для каждой из таких симметрий имеется голдстоуновский бозон |Bañ, так что можно

определить Zan è Fab формулами:

236 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

Соотношение (19.2.37) применимо для каждого a, так что

Например, в обсуждавшемся выше случае O(N) можно так подобрать базис, чтобы вакуумное среднее было направлено вдоль первой оси:

Тогда N – 1 генераторов нарушенной симметрии ta (a = 2, ..., N) могут быть определены как бесконечно малые вращения в плоскости 1–a. При удобном выборе нормировки ненулевые элементы этих генераторов равны

(нет суммирования по a). Из ненарушенной O(N – 1) симметрии, относительно которой N – 1 голдстоуновских бозонов преобразуются по векторному представлению, вытекает, что

Тогда из (19.2.40) следует, что

Согласно общепринятому рецепту перенормировки поля Z = 1, так что F = v. Следовательно F есть мера величины нарушения симметрии. Как мы сейчас увидим, величина 1/F определяет силу взаимодействия голдстоуновских бозонов друг с другом и с другими частицами.

Нарушенная симметрия говорит нам о голдстоуновских бозонах значительно больше того, что у них нулевая масса. Эта симметрия сильно ограничивает взаимодействия таких бозонов при низкой энергии. Чтобы увидеть это в простейшем случае, рассмотрим матричный элемент тока Jμ(x), связанного с нарушенной симметрией, между произвольными состояниями α è β:

Мы знаем, что Jμ(x) имеет ненулевой матричный элемент между вакуумом и состоянием одного голдстоуновского бозона |B,qñ, îïðå-

деляющийся выражением (19.2.34). Из обычных правил полологии (см. гл. 10) следует, что матричный элемент (19.2.45) имеет полюс при q2 ® 0, причем *

ãäå i(2p)4 d4 (pα - pβ - q)Mαβ / (2p)3/2 (2q0 )1/2 – матричный элемент S-

матрицы для испускания голдстоуновского бозона 4-импульсом q в переходе a ® b. Запишем поэтому

Рис. 19.1. Фейнмановские диаграммы для полюсных слагаемых в матричном элементе тока симметрии Jμ(x) между произвольными состояниями α è β, обязанные внутренней линии голдстоуновского бозона, обозначенной π.

* Если голдстоуновский бозон соответствует элементарному полю, соотношение (19.2.47) можно получить рассмотрением класса диаграмм, приведенных на рис. 19.1. Множитель i(2p)4 в матричном элементе S-матрицы для процесса α → β + B сокращается с множителем –i(2π)4 в пропагаторе В.

Из общих правил полологии следует, что то же верно и в случае, когда голдстоуновский бозон — составная частица.

ãäå Nβαμ включает неполюсные вклады в матричный элемент тока. Из (19.2.45) видно, что закон сохранения ∂μJμ = 0 òîêà Jμ требует, чтобы (19.2.48) обратилось в нуль после свертки с qμ, поэтому

Отсюда немедленно вытекает, что если Nβαμ не имеет полюса при q → 0, матричный элемент Mβα испускания голдстоуновского бозона в переходе α → β обращается в нуль при q → 0. Это явление

называется «адлеровским нулем»6.

На самом деле Nβαμ довольно часто имеет полюс при q = 0. Это происходит потому, что вершина для тока Jμ(x) может быть прикреплена к внешней линии в процессе α → β (см. рис. 19.2). Например, если 4-импульс qμ уносится током ϑm, подключенным к линии

выходящей или входящей частицы 4-импульсом р и массой m, тогда внутренняя линия, соединяющая эту вершину с остальной частью диаграммы, импеет 4-импульс pμ + qμ èëè pμ – qμ, соответ-

ственно, и отвечающий ей пропагатор будет давать поэтому вклад в Nβαμ âèäà

Рис. 19.2. Фейнмановские диаграммы для полюсных слагаемых в матрич- ном элементе тока симметрии Jμ(x) между произвольными состояниями α è β, обязанные внутренним линиям, находящимся вблизи массовой поверх-

ности. Сплошные линии отвечают «жестким» внешним частицам, волнистые линии отмечают включения тока Jμ(x), заштрихованная область отве-

чает сумме диаграмм с указанными внешними линиями

240 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ãäå

В точке ϕ =`ϕ из выражения (19.2.4) следует, что сумма всех

диаграмм–«головастиков» для одной линии голдстоуновского бозона, переходящей в вакуум, обращается в нуль, а из выражения (19.2.6) следует, что в нуль обращаются и амплитуды перехода голдстоуновских бозонов при нулевом импульсе в любые другие скаляры. Чтобы выйти за рамки этих результатов, можно продолжать дифференцировать по скалярным полям. Например, производная (19.2.5) для любого генератора симметрии t дает

Выбирая t как один из генераторов нарушенной симметрии ta, полагая ϕ =`ϕ, сворачивая с (tbϕ)m (tcϕ)l и используя (19.2.6), получаем:

так что сумма всех диаграмм с тремя внешними линиями голдстоуновских бозонов с нулевым импульсом обращается в нуль. В частности, это означает, что в произвольных процессах в ведущем порядке по малым энергиям голдстоуновских бозонов эти низкоэнергетические бозоны не испускаются с внешних линий таких же бозонов с малой энергией.

19.3. Спонтанно нарушенные приближенные симметрии

В предыдущем разделе мы рассматривали точные симметрии действия, которые не оставляют инвариантным вакуум, и потому носят название спонтанно нарушенных симметрий. Рассмотрим теперь, что произойдет в результате добавления к действию такой

242 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

В этом случае выполняется и соотношение (19.2.6), если заменить V на инвариантное слагаемое V0, à`ϕ — íà ϕ0:

Вспоминая интерпретацию V(ϕ) как производящей функции одно-

частично неприводимых диаграмм и замечая, что в отсутствии возмущения V1 голдстоуновскими компонентами ϕn являются те, которые направлены по tαϕ0 (см. (19.2.33)), видим, что левая часть (19.3.6)

пропорциональна сумме всех диаграмм–«головастиков», в которых псевдоголдстоуновские бозоны переходят в вакуум. Таким образом, можно перефразировать содержание формулы (19.3.6) как условие, что в первом порядке по V1 у псевдоголдстоуновских бозонов отсутствуют головастики.

Мораль этих вычислений заключается в том, что если мы не стартуем со средних по вакууму нулевого порядка, удовлетворяющих (19.3.6), то даже малое возмущение приводит к большому изменению`ϕ, что обесценивает разложение`ϕ в окрестности ϕ0. К счастью, для компактных групп Ли всегда возможно выбрать ϕ0 так, чтобы удовлетворялось соотношение (19.3.6). Чтобы увидеть это, заметим, что из инвариантности потенциала V0(ϕ)

относительно группы действительных линейных преобразований ϕ → Lϕ вытекает, что если ϕ* — один минимум потенциала, то им является и Lϕ*. В случае непрерывных групп преобразований всегда можно параметризовать их как L(θ), òàê ÷òî