Интегральное исчисление_эл_учебник

y

M 2

M1

B

A

M n 1

0

a

b

x

Рисунок 5.13

По определению, длина l

дуги AB

n

l

lim lk .

max lk 0 k 1

Теорема 5.1. Пусть кривая AB задана уравнением y f (x) , причем

f (x)

имеет непрерывную производную на интервале [a,b] ,

тогда длина l дуги

AB

вычисляется по формуле

b

l

2

(5.7)

1 [ f (x)] dx .

a

Доказательство. Разделим интервал [a,b] произвольным образом на n

частей точками (рис. 3.14)

a x0 x1 x2 ... xn 1 xn b .

y f (x)

y

M k

M k 1

yk

xk

0

x a x1

x

x

x

x

x b x

0

2

k 1

k

n 1

n

lk (xk xk 1)

2

2

xk 1)

2

2

xk .

[ f (ξk )] (xk

1 [ f (ξk )]

Таким образом,

n

n

b

l

lim lk

lim

2

xk

1 [ f

2

1 [ f (ξk )]

(x)] dx .

max lk 0 k 1

max xk 0 k 1

a

Мы предполагаем, что значениям t

из промежутка [α,β]

взаимно однозначно

соответствуют точки кривой.

Теорема 5.2. Пусть функции

x x(t) и

y y(t) имеют на промежутке

[α,β] непрерывные производные, тогда длина l

дуги AB вычисляется по фор-

муле

β

l

[xt ]2 [ yt ]2 dt .

(5.8)

α

Доказательство проведем в предположении, что xt 0 . Выполним в ин-

теграле (4.19) замену переменной, положив x x(t) , тогда dx xt dt . По правилу

дифференцирования функции, заданной параметрически

yt

.

yx

2

β

yt

2

2

2

b

β

l 1 [ yx ] dx

1

xt dt

[xt ] [ yt ] dt.

a

α

xt

α

роль параметра здесь играет φ . Предположим, что r(φ) и

непрерывны на

r (φ)

интервале [α,β] . Вычислим производные

и

:

xφ

yφ

xφ

rφ cosφ r sin φ ,

yφ

rφ sin φ r cosφ,

откуда

2

2

r

2

2

[xφ

]

[ yφ ]

[rφ

] .

Таким образом,

β

l

r

2

2

dφ .

(5.9)

[rφ

]

α

Пример 5.6. Найти длину дуги кривой y ln x от x

3 до x

8 (рис. 5.15).

Решение. Применяя формулу (5.7), получаем:

b

8

8

x2

1

1

2

l

1 [ f (x)]

dx

1

dx

dx .

x

2

x

a

3

3

tdt

.

Полагаем x2 1 t2 , откуда x

t2 1,

dx

t2 1

Имеем t 2 при x

3 , t 3

при x

8 .

Применяя формулу замены переменной, получаем:

8

3

3

3

x2

1

t

t dt

t 2 dt

1

l

dx

1

dt

x

t

2

1

t

2

t

2

t

2

3

2

1

1

2

2

1

1

t 1

3

1

1

1

1

3

t

ln

1

ln

ln

1

ln

.

t 1

2

2

2

2

3

2 2

0

1 3

8

x

a

a

0

x

a

Рисунок 5.16

Применим формулу (5.8):

β

l [xt ]2 [ yt ]2 dt .

α

Вычислим

x 3a cos2 t sin t,

t

y 3a sin2 t cos t.

t

Откуда

π

π

2

2

l 4

9a2 cos4 t sin2 t 9a2 sin4 t cos2 t dt

12a sin t cos t dt

0

0

π

2

π

12a sin t d sin t 6a sin

2

t

0 6a.

2

0

π

l 2

a2 1 cos φ 2 a2 sin2

φ dφ

0

π

π

φ

dφ 8a sin

φ

π

2a

1 2cos φ cos2

φ sin2 φ dφ 2a 2cos

8a.

2

2

0

0

0

0 x a x1

x

x

x

x

x b

x

0

2

k 1

k

n 1

n

b

V S (x) dx .

(5.10)

a x0 x1 x2

xn 1 xn b ,

и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси OX . Эти

плоскости рассекут тело нa n слоев с объемами V1, V2 ,

, Vn.

n

b

S(x)dx .

V

lim S(ξk ) xk

max xk 0 k 1

a

x2

y2

z2

1.

a2

b2

c2

z

c

b

b

0

y

c

В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости

XOY

и отстоящей на расстоянии z от

нее, получим эллипс

x2

y2

1

z2

,

a2

b2

c2

или в каноническом виде

x2

y2

1.

2

z2

2

z2

a

1

b

1

c

2

c

2

Его полуоси a a

1

z2

,

b b

1

z2

.

c2

1

1

c2

Вычислим площадь S(z)

полученного эллипса:

S z πa1b1

z2