Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

52 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

261

;Hr

+1 dz

= 2 i res z4+1

+ res z4+1

z=z1

z=z2

2 i

= 2 i

z=z2

+1)0

z=z1

1+i

, z

1+i

| TE IZ KORNEJ

z z

URAWNENIQ

;p2

z4 +1=0,1 KOTORYE LEVAT WNUTRI KONTURA ;r RIS. 94, A)

;Hr0

= 2 i res

= 2 i

)

;

1)0

z=i

oSTAETSQ WYDELITX INTeGRALY PO OTREZKAM DEJSTWITELX-

NOJ OSI (POLAGAQ NA NIH z = x)

r I r1 K +1,

I USTREMITX

A r2 I r3 K 0, PRIMENQQ K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM

PERWU@, A PO POLUOKRUVNOSTQM C;

I C; WTORU@

IZ LEMM OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{248):

x4+1 dx

z4+1 dz

;

z4+1 dz

;

! 1

R;1;r2

1;r3

)

;

1+r2 1+r3

;Hr0

CRr1

;

1 dz

z4 1 dz

2 +

;

Cr;

! 1

0+0

+ i res

!0+0

+ res

z=;i

;

z=i

;

sLEDOWATELXNO,

+1 dx = p

v.p.

;

1 dx = 2 .

wOT E]E PRIMERY WY^ISLENIQ NESOBSTWENNYH INTEGRA-

LOW SWEDENIEM IH K KONTURNYM I PRIMENENIEM LEMM OB IN-

TEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{249).

1 qWLQ@]IHSQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII.

262

a cos bx

dx,

x sin bx

(a I

| POLOVITELXNYE

x2 +a2

x2+a2

^ISLA

pOSKOLXKU WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ

).R

a cos bx

dx =

aeibx

2 dx,

x +a

2 x

+R1

x sin bx

+R1

x sin bx

+R1

xeibx

2 dx =

2 dx,

x +a

2 x

aeR ibx

xeibx

DOSTATO^NO WY^ISLITX INTEGRALY

2 dx

2 dx.

x +a

Raeibz

s \TOJ CELX@ WWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY ;Hr

z2+a2 dz

zeibz

;Hr z2

+a2 dz, GDE W OBOIH SLU^AQH ZAMKNUTYJ KONTUR

;r SO-

STOIT IZ OTREZKA [;r r] DEJSTWITELXNOJ OSI I \WERHNEJ"

POLUOKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM 0 (OBHODIMOJ \PRO-

TIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" | KAK NA RIS. 94, A).

tAK KAK PRI L@BOM (DOSTATO^NO BOLX[OM) r WNUTRX KON-

TURA ;r

POPADAET LI[X OSOBAQ TO^KA z =ia PODYNTEGRALX-

NYH FUNKCIJ, IZ TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) SLEDUET,

^TO

aeibz

;Hr

= 2 i

= e;

2 dz = 2 i res

z=ia z

z=ia

zeibz

iaeibz

;Hr

= 2 i

= i e;

2 dz = 2 i res

z=ia z

z=ia

(S. 248{249) |

A POTOMU | S U^ETOM VE LEMMY vORDANA

aeibx

= lim

aeibz

2 dx = lim

2 dx

2 dz = e;

;1x

r!+1;r x +a

r!+1 ;r;Cr

+R1

xeibx

= lim

zeibz

2 dx = lim

2 dx

;

2 dz= i e;

r!+1

;

r x +a

r!+1

263

KAK SLEDSTWIE

a cos bx

dx =

x sin bx

dx =

2. pO TAKOJ VE SHEME WY^ISLQ@TSQ GLAWNYE ZNA^ENIQ

RASHODQ]IHSQ (IZ-ZA \OSOBENNOSTI" W TO^KE a) INTEGRALOW

a cos bx

x sin bx

dx. wWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY

0 x

Hr0

aeibz

Hr0

zeibz

2 dz I

2 dz, GDE ;0

| ZAMKNUTYJ KONTUR, IZOB-

z ;a

;

RAVENNYJ NA RIS. 94, B, S TEM LI[X OTLI^IEM, ^TO CENTRAMI

POLUOKRUVNOSTEJ Cr2 I Cr3 SLUVAT TO^KI

;a I a | POL@SY

(1-GO PORQDKA) PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ,

OKAZYWA@]IESQ

WNE KONTURA ;r0 . s U^ETOM LEMM 2 I 3 (S. 248{249)

ibx

v.p. 1 ae

lim

; ;

;

dx =

def

;

!+1

;

a+r2 a+r3

;

r3!0

aeibz

lim

Hr0

;

0 +

2 dz = 0

;

r3!0

ibz

aeibz

ae;iab

aeiab

+ i res

= i

+ i

;

sin ab,

2 2

z=;a z ;a

z=a z ;a

;2a

ibx

v.p. 1 xe

lim

; ;

;

dx =

def

;

!+1

;

a+r2 a+r3

;

zeibz

r3!0

ibz

i ;ae;iab + i

aeiab

+ i res

= cos ab

2 2

z=;a z ;a

z=a z ;a

;2a

KAK SLEDSTWIE

a cos bx

x sin bx

v.p.

x2;a2 dx =; 2 sin ab,

v.p.

x2;a2

dx = 2 cos ab

1 sPOSOB WY^ISLENIQ \TIH INTEGRALOW S POMO[X@ WY^ETOW (E]E DO POQWLENIQ TERMINA \WY^ET") BYL UKAZAN kO[I W [27] (p. 63).

(IV, c. 68).

264

	R
3.	+1p		x+i	eix	dx, GDE POD KWADRATNYM KORNEM W ^ISLITELE
	;1	x2+1
PODRAZUMEWA@TSQ ZNA^ENIQ NA DEJSTWITELXNOJ OSI TOJ ODNO-
ZNA^NOJ WETWI w =pz+i,1						DLQ KOTOROJ p0+i= e	i	.
							4

rIS. 95

wZQW W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C PLOSKOSTX

C c \RAZREZOM" PO L@BOMU (NO NE PERESEKA@]EMU DEJSTWITELXNOJ OSI) LU^U L OT TO^KI ;i DO 1 I PRIMENQQ TEOREMU O WY^ETAH K INTEGRALU PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r D, SO-

STOQ]EMU IZ POLUOKRUVNOSTI Cr RADIUSA r > 1 I OTREZKA

[;r r] (OBHODIMYH KAK UKAZANO NA RIS. 95, a), MOVNO ZAKL@-

^ITX:p

eiz

z+i

= p2e 4

e;1 = (1+i)e;1.

dz = 2 ires

z=i

;Hrs DRUGOJ STORONY,

eiz

r p

eix

eiz

z+i

x+i

z+i

z2+1 dz =

x2+1 dx +

z2+1 dz,

1 eE MOVNO WYDELITX W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U OT TO^KI ;i DO 1

265

PRI^EM KO WTOROMU INTEGRALU W PRAWOJ ^ASTI PRIMENIMA

LEMMA vORDANA (S. 248{249):

pz+i eiz

wMESTE

z2+1

! 1

\TI SOOTNO[ENIQ DA@T:

+1p

eix

r p

eix

eiz

(1+i)

x+i

dx = lim

x+i

= lim

z+i

dz =

x2+1

z2+1

r!+1;r

;r2

r1 ei x

+1ei x

def

nAJTI v.p.

lim

PRI L@-

;1R

0+0

BOM > 0

MOVNO ISHODQ IZ TOGO,

^TO DLQ ZAMKNUTOGO KON-

TURA ;r, SOSTOQ]EGO IZ OTREZKOW [;r1 ;r2]

I [r2 r1]

I PO-

LUOKRUVNOSTEJ Cr1 I

Cr2

(OBHODIMYH KAK NA RIS. 95, B),

i z

= 0 1. oSTAETSQ PEREJTI K PREDELU PRI r1 ! +1 I

I PRIMENITX K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM

0 + 0

I C; SOOTWETSTWENNO LEMMU 3 I LEMMU 2 (S. 248{249):

+1ei x

ei z

v.p.

lim

;

dz = i res

= i .

Cr;

z=0

0+0 ;r Cr1

tAK KAK

+1 i x

v.p.

= v.p.

cos x+i sin x

sin x

= v.p.

cos x

dx + i

dx,2

sin x

+1Rcos x

SLEDUET WYWOD:

dx = ,

v.p.

= 0.

1 pO TEOREME kO[I (XV, S. 151), PRIMENENNOJ K ODNOSWQZNOJ OBLAS-

TI | PLOSKOSTI C

S \RAZREZOM" OT 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI (NE IZOB-

RAVENNOM NA RIS. 95, B).

2 pOSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ, I POTOMU SIMWOL

v.p.

PERED NIM

MOVET BYTX OPU]EN.

266

5. wY^ISLITX

+i1

ept

def

lim

+ir

ept

v.p.

n+1 dp =

n+1 dp,

2 i

;Ri1 p

2 i r!+1 ;Rir p

t>0, n = 0 1 2 : : : , POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ z =

;

I WWEDENIE ZAMKNUTOGO KONTURA ;r, SOSTOQ]EGO IZ OTREZ-

[;r r] I POLUOKRUVNOSTI

(OBHODIMYH KAK UKAZANO

NA RIS. 96, B), S PRIMENENIEM TEOREMY O WY^ETAH, LEM-

MY vORDANA (S. 248{249) I FORMULY WY^ETA W POL@SE (XV,

S. 231):

+i1 ept

dp =

lim

e teitzi

dz =

v.p.

2 i

n+1

2 i

( +iz)

n+1

r!+1

;

itz

lim

2 i res

;

( +iz)

n+1

2 r!+1

z=i ( +iz)

itz

(n)

= e t i

lim

(z;in+1)

= e t

eitz

z!i

( +iz)

n!i

; z=i

rIS. 96

1 gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA PO PRQMOJ p 2 C : Rep = > 0 (RIS. 96, A) p | OBOZNA^ENIE KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, PRINQTOE W OPE-

RACIONNOM IS^ISLENII (XIX, S. 309).

267

wY^ISLITX

x2 ln x

MOVNO PEREHODOM K INTEG-

2 dx

(x +1)

z2 ln z

POR ZAMKNUTOMU KONTURU

RALU

;Hr (z2+1)2 dz

;r,

IZOBRAVEN-

NOMU NA RIS. 95, B, PONIMAQ POD LOGARIFMOM EGO ODNOZNA^-

NU@ WETWX, OPREDELENNU@ W PLOSKOSTI C

c \RAZREZOM" OT

WNIZ PO MNIMOJ OSI KAK

ln z =ln jzj+i arg z ;

<arg z <

pO TEOREME O WY^ETAH

z2 ln z

z2 lnz

z2 ln z

dz = 2 ires

= 2 i

+ i

;Hr

+1)

z=i

+1)

(z+i)

z=i

pRIMENENIE VE SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA,

ZA-

MENY x NA

;x W INTEGRALE PO OTREZKU [;r1

;r2] (S U^ETOM

TOGO, ^TO ln x = ln

x +i DLQ x < 0) I,

NAKONEC, LEMMY 1

(S. 247{248) DAET:

;Hr

z2 ln z

2 2

(z +1)

;r2 x2 ln x

r1 x2 ln x

z2 ln z

=;rRr1

(x2 +1)2 dx +rR2 (rx2+1)2 dx +CHr2

(z2+1)2 dz

+CHr1

(z2+1)2 dz

1x2(ln x+i )

dx +

x ln x

dx +

z ln z

dz +

z ln z

+1)

2 2

(x +1)

(z +1)

CHr1

CHr2

! 1

x2 ln x

2 dx + i

2 dx .

(x +1)

+1)

! 1

Rz2 ln z

sRAWNENIE S NAJDENNYM WY[E ZNA^ENIEM

2 dz

+1)

x2 ln x

POZWOLQET ZAKL@^ITX:

(W KA^ESTWE \BES-

+1)

2 dx =

PLATNOGO PRILOVENIQ"

POLU^ENO ZNA^ENIE

2 dx =

(x +1)

A IH RADIUSY

268


		R
	7. pRI WY^ISLENII +1		x ;1	dx	(0< <1 1, b=0) KONTUR
		0 x+b			6
INTEGRIROWANIQ WSPOMOGATELXNOGO KONTURNOGO INTEGRALA
;Hr	z ;1	dz WYBIRAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA ^ISLA b.
		dz WYBIRAETSQ W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA ^ISLA b.
	z+b
	eSLI b>0, TO \TOT INTEGRAL BERETSQ PO ZAMKNUTOMU KON-

TURU ;r, IZOBRAVENNOMU NA RIS. 97, A,2 ODNAKO ^TOBY ARGUMENTIROWANNO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH, NEOBHODIMO WNA^ALE PRIDATX SMYSL \TOMU INTEGRALU, T. E. RAZOBRATXSQ

S ODNOZNA^NYMI WETWQMI STEPENI. dLQ \TOGO INTEGRAL LU^-
[E PREDSTAWITX W WIDE		Hr0	z ;1	dz +	Hr00	z ;1	dz, GDE ZAMKNUTYE
[E PREDSTAWITX W WIDE				dz +		z+b	dz, GDE ZAMKNUTYE
			z+b			z+b
		;			;
KONTURY ;0	;00 IZOBRAVENY NA RIS. 97, B.3
r	r

rIS. 97

1 iNTEGRAL SHODITSQ TOLXKO DLQ \TIH ZNA^ENIJ .

2 nAPRAWLENIQ OBHODA OKRUVNOSTEJ Cr1 I Cr2 UKAZANY STRELKAMI, UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM r2 <b<r1 .

3 zDESX L | L@BOJ SOEDINQ@]IJ OKRUVNOSTI Cr1 I Cr2 OTREZOK, NE PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU ;b (DLQ OPREDELENNOSTI LEVA]IJ WO WTOROJ KOORDINATNOJ ^ETWERTI.)

269 k PERWOMU INTEGRALU TEOREMA O WY^ETAH PRIMENQETSQ W

ODNOSWQZNOJ OBLASTI

C r

| LU^,

IDU]IJ IZ TO^-

1L0, GDE

KI 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI

. wNUTRI KONTURA ;0

NET OSOBYH

TO^EK PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, A POTOMU ;Hr0

rz ;1

z+b dz = 0.

k INTEGRALU PO KONTURU ;00

TEOREMA O WY^ETAH PRIMENQ-

L00 | LU^, IDU]IJ

ETSQ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI

C r

2L00, GDE

IZ TO^KI 0 WWERH PO MNIMOJ OSI

z ;1

= 2

res

z ;1

i b

ib 1 ei ( 1)

;Hr00 z+b

z=;b z+b

;

sLOVENIE REZULXTATOW I PRIMENENIE K INTEGRALAM PO DU-

GAM C0

C00

OKRUVNOSTEJ C

LEMMY 1 (S. 247{

248) DA@T:

z 1

2 ib ;1 e( ;1)i =;Hr

z+;b dz

= ;Hr0 +;Hr00 z+;b dz =

= r1

x ;1

dx + r2

x ;1ei2 ( ;1)

dx +

z ;1

dz +

z ;1

z+b

x+b

z+b

CHr1

CHr2

! 1

r2 !0

+ (1

ei2 ( ;1))

x+;b dx

;

! 1

KAK SLEDSTWIE +1

x ;1

dx =

2 ib ;1ei( ;1)

b ;1

x+b

;

z ;1

w SLU^AE b<0

ZA OSNOWU BERETSQ INTEGRAL ;Hr z+b dz, WZQ-

TYJ PO KONTURU ;r, IZOBRAVENNOMU NA RIS. 98, a. zAPISAW

B \TOJ OBLASTI

1 def

( 1)(ln

+iarg z)

GDE

< arg z <

z ;

= e

;

j j

2 .

def

(

1)(ln

+iarg z)

;

B \TOJ OBLASTI

;

j j

GDE 2

< arg z <

2 NA

OTREZKE L ZNA^ENIQ z ;1 W OBEIH OBLASTQH SOWPADA@T, TOGDA KAK NA

OTREZKE [r2 r1] ONI RAZLI^A@TSQ MNOVITELEM e( ;1)2i.

270

		z ;1			z ;1
EGO KAK	;Hr0 z+b dz+			;Hr00 z+b		dz	(RIS. 98, B), OSTAETSQ PRIMENITX

K OBOIM SLAGAEMYM TEOREMU kO[I W ODNOSWQZNYH OBLASTQH

C rL0 I C rL00, GDE L0 I L00 | LU^I, IDU]IE IZ TO^KI 0 SOOT- WETSTWENNO WNIZ I WWERH PO MNIMOJ OSI, I WOSPOLXZOWATXSQ

LEMMAMI OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{248)1:

z ;1

;b;r3

x ;1

z ;1

x ;1

z+b dz = r2

x+b

dx ;Cr0 ; z+b dz +;b+r3 x+b dx +

r2 x ;1ei2 ( ;1)

z ;1

;b+r3x ;1ei2 ( ;1)

dx ;Cr00 ;

dz +

dx +

;b;r3

x+b

z+b

x+b

z ;1

dz +

z ;1

v.p.+1x ;1(1;ei2 ( ;1)) dx

;

z+b

CHr2

z+b

x+b

CHr1

r3!0

z ;1

;

res

+ res

z=;b

z+b

z=;b

z+b

		rIS. 98

1 pRIMENQQ LEMMU 1	K INTEGRALAM PO DUGAM C			r01	C00	C0	C00 , A
LEMMU 2 \| K INTEGRALAM PO DUGAM C0 ; C00 ;.				r01	r1	r2	r2
LEMMU 2 \| K INTEGRALAM PO DUGAM C0 ; C00 ;.
		r3	r3

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3627 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.201320 Мб285Харитонов Енергетика.pdf
#
16.08.20137 Мб277Хлопкин Морская атомная енергетика 2007.pdf
#
16.08.20132 Мб99Цывкунова Интернатионал Лаw Учебно-методическое пособие 2010.pdf
#
16.08.2013674 Кб83Цыганова Современная нормативная документация 2008.pdf
#
16.08.201316 Мб179Чернов Влияние легирования 2007.pdf
#
16.08.201352 Мб133Шведенко Начала анализа функций комплексной переменной 2008.pdf
#
16.08.201311 Мб1912Шелегов Насосное оборудование АЕС 2011.pdf
#
16.08.20133 Мб1284Шелегов Физические особенности и конструкция Реактора РБМК-1000 2007.pdf
#
16.08.20138 Мб386Шишкин Основы проектирования станочных приспособлений 2010.pdf
#
16.08.201311 Мб385Шмаков Основы металловедения 2007.pdf
#
16.08.20132 Мб126Шмелев Физические основы обезвреживания 2008.pdf