Сандаков Приведение кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду Учебно-методическое пособие 2009

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 17

Рис. 16

21

Под приведением уравнения поверхности 2-го порядка (2.1) к каноническому виду будем понимать решение такой задачи: для указан-

ного уравнения найти каноническую систему координат O x y z (т.е.

получить формулы преобразования прямоугольной декартовой системы координат в пространстве, соответствующие переходу от исходной системы координат Oxyz к канонической системе координат

O x y z ) и тот вид канонического уравнения, к которому приводится

исходное уравнение в найденной системе координат O x y z . Группа слагаемых 2-го порядка в уравнении (2.1)

образует квадратичную функцию (или, согласно терминологии, принятой в курсе линейной алгебры, квадратичную форму) от переменных x, y, z .

Для приведения уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду необходимо решить следующую задачу: найти такую сис-

(т.е. приведена к виду «суммы квадратов» всех координат с числовыми коэффициентами при них).

Вкурсе линейной алгебры доказывается, что такая система координат существует для произвольной квадратичной формы и рассматриваются общие методы еѐ нахождения.

Внекоторых несложных частных случаях удается найти такую

систему координат Ox y z , в которой квадратичная форма (2.2) урав-

нения (2.1) приведена к «сумме квадратов», и без использования общих методов линейной алгебры, а затем найти каноническую систему координат для этого уравнения поверхности. Рассмотрим такие примеры.

Пример 2.1. Привести к каноническому виду уравнение и построить эскиз поверхности

Решение. Заметим, что для данного уравнения группа слагаемых 2-го порядка в исходной системе координат уже имеет вид «суммы

22

квадратов» (2.3). Далее следует выделить полные квадраты по каждой координате, для которой aii 0 (i 1, 2, 3) . В данном случае полные квадраты могут быть выделены по каждой координате:

4(x2 4x 4) 4 4 ( y2 6 y 9) 9 9z2 8 0 ; 4(x 2)2 ( y 3)2 9z2 1 0 .

Перейдем к системе координат O x y z с помощью преобразования, определяемого формулами:

(это преобразование соответствует переходу к системе координат O x y z , полученной из исходной параллельным переносом, а коор-

Заметим, что квадратичная форма этого уравнения может быть приведена к виду квадратичной формы канонических уравнений 4, 5 или 6.

Для этого достаточно перейти к такой системе координат O x y z , в которой коэффициенты квадратичной формы a11 и a22 будут иметь

одинаковый знак (это может быть достигнуто, если в (2.5) «поменять местами», например, вторую и третью координаты). С этой целью используем преобразование координат, соответствующее переходу от системы координат O x y z к системе координат O x y z , полученной

из системы O x y z поворотом плоскости O y z на угол 2 (ось вращения O x при этом остается неподвижной):

xx ;

yz ;

zy .

Вэтой системе координат преобразуемое уравнение

4x2 9y2 z2 1 0

23

что соответствует каноническому уравнению двуполостного гиперболоида (каноническое уравнение 5, эскиз поверхности см. на рис. 12).

Таким образом, система координат O x y z является канонической

для рассмотренного уравнения (2.4). Формулы преобразования координат, соответствующего переходу от исходной системы координат

Oxyz к канонической O x y z имеют вид: x x 2;

yz;

zy 3.

Пример 2.2. Привести к каноническому виду уравнение и построить эскиз поверхности

Решение. В этом уравнении группа слагаемых 2-го порядка не приведена к «сумме квадратов», так как a13 1 0 .

В случае, когда только один из коэффициентов a12 , a13 , a23 не равен нулю, можно предложить следующий способ приведения квадра-

использовать для этого преобразование координат, которое соответствует переходу от системы координат Oxz на плоскости к системе ко-

ординат Ox z , повернутой относительно исходной (см. способ приве-

такого преобразования координат имеют вид (ось вращения Oy остается неподвижной):

24

Подстановка формул этого преобразования координат в уравнение

(2.6)

порядка приведена к «сумме квадратов». Далее, выделим полные квадраты по переменным x , y и z :

Перейдем к системе координат O x y z с помощью преобразования,

определяемого формулами (параллельный перенос системы координат):

x x 2; y y 1;

zz .

Вэтой системе координат преобразуемое уравнение приводится к виду

что соответствует каноническому уравнению однополостного гиперболоида (каноническое уравнение 4, эскиз поверхности см. на рис. 11).

Следовательно, система координат O x y z является канонической для

рассмотренного уравнения (2.6). Формулы преобразования координат, соответствующего переходу от исходной системы координат Oxyz к

z x z .

2

Пример 2.3. Привести к каноническому виду уравнение и построить эскиз поверхности

Решение. В этом уравнении группа слагаемых 2-го порядка не

данном случае не удается привести квадратичную форму уравнения к «сумме квадратов» с помощью поворота системы координат только в одной из координатных плоскостей. Переходу к канонической системе координат соответствует более сложный поворот системы координат в пространстве, когда ось вращения не параллельна ни одной из осей исходной системы координат.

Тем не менее, и для этого уравнения удается найти каноническую систему координат элементарными методами. Группа слагаемых 2-го

26

порядка в этом уравнении может быть представлена следующим образом:

которое соответствует переходу к системе Ox y z, полученной из исходной поворотом в плоскости O y z (ось вращения Ox остается не-

Вид уравнения (2.9) после перехода к системе координат O x y z такой:

(x )2 22x y 2( y )2 1 0 .

Группу слагаемых 2-го порядка этого уравнения можно привести к «сумме квадратов» с помощью преобразования координат, соответст-

27

вующего переходу к системе O x y z, повернутой на угол относительно O x y z в плоскости O x y (ось вращения O z остается неподвижной). Значение tg ψ для угла поворота системы координат можно

гично тому, как это сделано в примере 2.2). Однако в данном случае, когда вся группа слагаемых 2-го порядка приводится к полному квадрату от линейной функции двух координат x y , для определения

формул поворота можно воспользоваться и другим приемом, подобным тому, который применялся в этом примере при переходе от системы координат Oxyz к Ox y z . Действительно, поскольку рассматриваемое уравнение приводится к виду

(x 2 y )2 1 0 ,

то, преобразуя линейную функцию координат по аналогии с (2.10):

zz .

Всистеме координат O x y z преобразуемое уравнение приводится к

виду

что соответствует каноническому уравнению пары параллельных плоскостей (каноническое уравнение 15, эскиз поверхности см. на

рис. 20). Следовательно, система координат O x y z является канониче-

ской для рассмотренного уравнения (2.9). Формулы преобразования координат, которое соответствует переходу от исходной системы ко-

ординат Oxyz к канонической O x y z , имеют вид:

Заметим, что формулы этого преобразования координат соответствуют повороту исходной системы координат относительно оси вращения, которая не параллельна ни одной из осей исходной системы координат.

29