Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей

.pdf

Скачиваний:

166

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

864 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

борочные дисперсии S)12 = 9,6 (для первого станка) и S)22 = 5,7 . Проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о том, что

станки обладают одинаковой точностью, или гипотезу										H0: дис-
персии равны.					S)2
								9,6
Решение. Вычислим значение Fp =					1		=		≈1,68 . Затем по
					)
уровню	значимости	α = 0,05			S	22		5,7
			и				степеням			свободы
k1 = n1 −1 =10 −1 = 9;k2 = n2 −1 =15			−1 =14			по		таблице		(см. при-
ложение табл. 6) находим число F (9;14				;0,05)= 2,65 . Итак имеем

1,68<2,65, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям, иными словами, нет оснований считать, что станки обладают разной точностью.

54. Проверка гипотез о законе распределения

Критерий согласия 2 (Пирсона)

До сих пор мы рассматривали гипотезы, относящиеся к отдельным параметрам распределения случайной величины, причём закон распределения предполагался известным. Однако во многих практических задачах закон распределения случайной величины неизвестен, т. е. является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что случайная ве-

личина подчиняется закону распределения F (x). Для проверки

гипотезы произведём выборку, состоящую из п независимых наблюдений над случайной величиной X . По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой слу-

чайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретиче-

ского распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия. Существует не-

сколько критериев согласия: 2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Критерий согласия Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.

Рассмотрим этот критерий. Разобьём всю область изменения X на l интервалов ∆1 ,∆2 ,L,∆l и подсчитаем количество элемен-

тов mi , попавших в каждый из интервалов ∆i . Предполагая известным теоретический закон распределения F (x), всегда можно определить pi (вероятность попадания случайной величины X в интервал ∆i ), тогда теоретические частоты можно рассчитать по формуле n pi . Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу H0 следует отвергнуть,

в противном случае - принять.

Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается,

2	(mi −n pi )2	имеет распределение	2	с
что статистика = ∑	n pi	имеет распределение		с
	n pi

k = l −r −1 степенями свободы. Здесь r - число параметров рас-

пределения F (x). Правило применения критерия 2сводится к следующему. Рассчитав теоретические частоты n pi и вычислив

значение 2p , затем выбрав уровень значимости критерия α , по таблице находим 2 (k ;α). Если 2p > 2 (k ;α), то гипотезу H0

отвергают, если 2p ≤ 2 (k ;α), то гипотезу принимают или, дру-

гими словами нет оснований отвергнуть гипотезу о том, что генеральная совокупность подчинена закону распределения F (x). В

заключение отметим, что необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений мало, то нужно объединить интервалы, содержащие частоты менее 5.

Пример 48. На телефонной станции производились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Опре-

делить выборочную среднюю и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для

распределения Пуассона[M (x)=σ 2 ]. Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретическо-

го и эмпирического распределений по критерию 2 Пирсона при уровне значимости α = 0,05 .

Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в таблицу:

xi	0	1	2	3	4	5	6	7
mi	8	17	16	10	6	2	0	1

Найдём

x = n1 ∑xi mi = 601 (0 8 +1 17 +2 16+3 10+4 6 +5 2 +6 0 +7 1)=2.

Вычислим выборочную дисперсию по формуле S2 = x2 −(x)2, где x2 =n1 ∑xi2 mi =601 (0 8+1 17+4 16+9 10+16 6+25 2+36 0+49 1)=6,1,

тогда S 2 (x)= 6,1−4 = 2,1. Необходимое условие для распределе-

ния Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон распределения Пуассона, используя вместо математическо-

го ожидания его оценку x : P(m)=2mm!e−2. Найдём теоретические частоты:

′

=n P(0)=60

−2

′

=n P(1)=60

−2

≈8,1; m1

≈16,24;

′

−2

′

−2

= n P(2)= 60

≈16,24; m3 = n P(3)= 60

≈10,62

;

′

−2

′

−2

= n P(4)= 60

≈ 5,41; m5 = n P(5)=

≈ 2,17 ;

m6′ = n P(6)= 60

−2 ≈ 0,72; m7′ = n P(7)=

e−2

≈ 0,2 .

Так как последних три интервала содержат частоты менее пяти, то объединим их с предыдущим. Получим

m i	8	17	16	10	9
m'i	8,1	16,2	16,2	10,6	8,5

Вычислим значение

(mi −mi′ )2

(8,1−8)2

(17 −16

,2)2

(16

−16,2)2

p = ∑

mi′

8,1

16,2

(10 −10,6)2

(9 −8,5)2 ≈ 0,11

10,6

8,5

Примем уровень значимости α = 0,05. Количество интервалов после объединения l = 5. По выборке вычислен один параметр, которым определяется закон Пирсона - математическое ожидание, следовательно: r =1. Поэтому число степеней свободы k = l −r −1 = 5 −1−1 = 3. По таблице (см. приложение табл.4) на-

ходим 2 (3;0,05)= 7,8. Имеем 7,8>0,11, следовательно, нет осно-

ваний отвергнуть нулевую гипотезу или, другими словами, при уровне значимости α = 0,05 можно считать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

Пример 49. Проверить гипотезу о нормальном распределении для следующего интервального ряда:

xi	12	16	20	24	28	32
mi	10	14	22	24	16	14

Решение. Найдём выборочное среднее по формуле

x= n1 ∑xi mi =

=1001 (12 10 +16 14 +20 22 +24 24 +28 16 +32 14)= 22,56

и исправленную дисперсию по формуле S)2 =	n		−(		)2
		x2				, где
				x

	n −1

x2 = n1 ∑xi mi =

=1001 (122 10 +162 14 +202 22 +242 24 +282 16 +322 14)=

=545,28 S) =10099 (545,28 −22,562 )≈ 36,693 S) ≈ 6,0575.

Найдём теоретические частоты по формулам:

n h

−

12−22,56

m′

≈

)

≈ 66

= 66 ϕ(1,74)≈ 66

0,0878

≈5,8,

6,0575

′

16−22,56

≈ 66 ϕ(1,08)≈ 66 0,2227≈14,7,

≈ 66 ϕ

6,0575

m3′

20 −22,56

≈ 66 ϕ(0,42)≈ 66 0,3652 ≈ 24,1,

≈ 66 ϕ

6,0575

m4′ ≈ 66 ϕ 24 −22,56 ≈ 66 ϕ(0,24)≈ 66 0,3876 ≈ 25,6,

6,0575

m5′		28 −22,56	≈ 66 ϕ(0,90)≈ 66 0,2661 ≈17,6,
	≈ 66 ϕ
	≈ 66 ϕ	6,0575
		6,0575
m6′		32 −22,56	≈ 66 ϕ(1,56)≈ 66 0,1182 ≈ 7,8.
	≈ 66 ϕ
	≈ 66 ϕ	6,0575
		6,0575

Найдём 2p по формуле

(mi − mi′ )2

(10 −

5,8)2

(14 −14,7)2

(22

− 24

,1)2

p = ∑

mi′

5,8

24,1

(24 − 25,6)2

+ (16 −17,6)2

+ (14 −7,8)2

≈ 8,43

25,6

17,6

7,8

Число степеней свободы равно 6-3=3, следовательно, при уровне значимости α = 0,05 имеем по таблице 2кр(3;0,05)= 7,8 , а при

уровне значимости α = 0,01 имеем по таблице 2кр(3;0,01)=11,3. Таким образом, при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу отвергаем, а при уровне значимости α = 0,01 у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

55. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства В реальном мире многие явления природы происходят в об-

становке действия многочисленных факторов, влияние каждого из них ничтожно, а число их велико. В этом случае связь теряет свою однозначность, и изучаемая физическая система переходит не в определенное состояние, а в одно из возможных для неё состояний. Здесь речь может идти лишь о статистической связи. Знание статистической зависимости между случайными переменными

имеет большое практическое значение: с её помощью можно прогнозировать значение случайной переменной в предположении, что независимая переменная примет определённое значение.

Статистические связи между переменными можно изучать методом корреляционного и регрессионного анализа. Основная задача корреляционного анализа - выявление связи между случайными переменными путём точечной и интервальной оценки парных коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости коэффициентов корреляции. Корреляционный анализ позволяет оценить функцию регрессии одной случайной величины на другую. Предпосылки корреляционного анализа следующие: 1) переменные величины должны быть случайными; 2) случайные величины должны иметь нормальное распределение.

Выборочный коэффициент корреляции находится по форму-

ле

rв = ∑(xi −(x)) (y(i −) y)

n S x S y

Выборочный коэффициент корреляции оценивает тесноту линейной связи.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции принимает значения на интервале

[−1;1].

Доказательство. Докажем справедливость утверждения для дискретных переменных. Запишем явно неотрицательное

n xi − x

yi − y 2

выражение

i∑=1

≥ 0 .

Возведём

выражение

S(x)

S(y)

под

знаком

суммы

квадрат

1 n (xi − x)2

2 n (xi − x)(yi − y)

(yi − y)2

i∑=1 S 2 (x)

i∑=1 S(x)S(y)

i∑=1 S 2 (y) .

Первое и

третье слагаемые равны единице по определению дисперсии. Таким образом: 1±rв +1 ≥ 0, откуда −1 ≤ rв ≤1.

2. Выборочный коэффициент корреляции не зависит от выбора начала точки отсчёта и единицы измерения, то есть для любых a1 ,b1 ,a2 ,b2 выполнено равенство

rв(a1x +b1 ;a2 x +b2 )= rв(x; y).

3. Выборочный коэффициент можно вычислять по формуле

r =

xy − x y

S(x)S(y)

Доказательство. По определению

∑(xi − x)(yi − y)

(∑xi yi − x∑ yi − y∑xi

+n x y)

S(x)S(y)

xy − x y − x y + x y

− x y

S(x)S(y)

Пример 50. Вычислить выборочный ко-

эффициент корреляции по следующим дан-

ным:

Решение. Вычислим x =

∑xi =

(2 +2 +3 +5)= 3;

∑x

2 =

(4 +4 +9 +25)=10,5; y =

(4 +6 +6 +8)= 6;

(16 +36 +36 +64)= 38;

∑xi

yi =

(8 +12 +18 +40)=19,5;

S 2 (x)=

− x2 =10,5 −9 =1,5; S 2 (y)=

− y2 = 38 −36 = 2;

− x y

=19,5 −18 = 1,5

r =

≈ 0,866.

S 2

(x)S 2 (y)

56. Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции строят корреляционную таблицу. Для этого разбиваем каждый вариационный ряд на интервальный. Затем находятся входящие в формулу для вычисления выборочного коэффициента корреляции параметры.

Пример 51. По данным наблюдений над случайными величинами X и Y получена выборка, приведённая в таблице

№	X	Y	№	X	Y	№	X	Y	№	X	Y
1	7,1	10,0	14	14,8	35,3	27	10,9	18,2	40	16,1	30,1
2	9,5	6,7	15	17,2	36,3	28	11,4	18,7	41	18,2	27,2
3	11,0	14,0	16	19,2	37,4	29	12,3	17,6	42	19,1	30,9
4	12,3	15,1	17	22,3	38,0	30	13,2	18,1	43	17,9	35,1
5	11,8	24,2	18	17,2	40,2	31	13,1	24,1	44	18,7	36,1
6	14,1	19,9	19	19,9	42,4	32	13,6	21,3	45	12,4	17,6
7	15,1	24,3	20	20,1	44,5	33	13,7	19,8	46	12,5	18,6
8	14,7	22,2	21	21,7	42,4	34	14,6	24,1	47	12,7	19,2
9	16,1	21,0	22	8,5	12,2	35	14,2	21,3	48	14,1	26,2
10	13,1	30,1	23	9,7	12,4	36	15,2	25,2	49	14,6	27,4
11	13,8	28,1	24	10,2	12,5	37	16,1	21,1	50	14,9	30,1
12	16,9	30,3	25	11,1	12,9	38	17,2	24,6
13	19,1	27,3	26	11,3	16,1	39	18,0	23,3

Найдём оптимальные длины интервалов и количество интервалов, используя формулу Стэрджеса. Для переменной Х наименьшее значение - 7,1 наибольшее - 22,3, тогда оптимальное число интервалов равно 7 с шагом, равным 2,2, при этом получаем такие ин-

тервалы: [7,1;9,3),[9,3;11,5),[11,5;13,7),[13,7;15,9), [15,9;18,1),

[18,1;20,3), [20,3;22,5). Для переменной У минимальное значение -

6,7 наибольшее - 44,5, тогда оптимальное число интервалов 6 с шагом, равным 6,3. Получаем интервалы

[6,7;13,0), [13,0;19,3),[19,3;25,6),[25,6;31,9), [31,9;38,2),[38,2;44,5].

Распределим наблюдения по полученным интервалам получим корреляционную таблицу. В таблицу вместо интервалов запишем их середины

У							Х	ny
У	8,2	10,4	12,6	14,8	17,0	19,2	21,4	ny
9,85	2	4						6
16,15		4	6					10
22,45			3	7	4			14
28,75			1	4	2	3		10
35,05				1	2	2	1	6
41,35					1	1	2	4
nx	2	8	10	12	9	6	3	50

Для упрощения расчётов перейдём к условным вариантам

ui =		xi −C x				=		xi −14,8			и vi =		yi −C y		=	yi −22		,45		. Составим рас-
ui =				hx		=		2	,2		и vi =		hy		=	6,3				. Составим рас-
				hx				2	,2				hy			6,3
чётную таблицу.
V												U							nv		vi nv	nvvi2
V					-3		-2			-1		0	1		2		3		nv		vi nv	nvvi2
-2					2		4												6		-12	24
-1							4			6									10		-10	10
0										3		7	4						14		0	0
1										1		4	2		3				10		10	10
2												1	2		2		1		6		12	24
3													1		1		2		4		12	36
nu					2		8			10		12	9		6		3		50		12	104
nuui					-6		-16			-10		0	9	12			9				-2
nuui2					18		32			10		0	9	24			27				120
v	i				-2		-1,5			-0,5		0,5	1	53			83
nuui		v	i		12		24			5		0	9	20			24				94

Для вычисления выборочного коэффициента корреляции исполь-

зуем формулу

r =

uv −u

где u =

∑n

u =

(−2)=−0,04;

S2(u)S2(v)

120

2,4 −(−0,04)2 ≈1,549;

u2 =

= 2,4; S(u)=

u2 −u2 =

∑n

104

=2,08;

=0,24; v

S(v)=

−(

)2 =

2,08−0,242 ≈1,422;

∑nuui

i =

=1,88;

−u

1,88 +0,04 0,24

≈

≈ 0,854.

S(u)S(v)

1,549 1,422

57. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

На практике коэффициент корреляции r обычно неизвестен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка

– выборочный коэффициент корреляции rв. Равенство нулю вы-

борочного коэффициента корреляции ещё не свидетельствует о равенстве нулю самого коэффициента корреляции, а следовательно, о некоррелированности случайных величин Х и У. Чтобы выяснить, находятся ли случайные величины в корреляционной зависимости, нужно проверить значимость выборочного коэффициента корреляции rв, то есть установить, достаточна ли его вели-

чина для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи. Для этого проверяют нулевую гипотезу H0 : r = 0. Предполагает-

ся наличие двухмерного нормального распределения случайных переменных; объём выборки может быть любым. Вычисляют ста-

тистику t = r	n −2	, которая имеет распределение Стьюдента с
в	1−r 2
	в

k = n −2 степенями свободы. Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости α и числу степеней свободы k находят по таблице распределения Стьюдента критическое значение tα ,k .

Если t ≥ tα ,k , то нулевую гипотезу об отсутствии корреляцион-

ной связи между переменными Х и У следует отвергнуть. Переменные считают зависимыми. При t < tα ,k , нет оснований от-

вергнуть нулевую гипотезу.

В случае значимого выборочного коэффициента корреляции есть смысл построить доверительный интервал для коэффициента корреляции r . Однако для этого нужно знать закон распределения выборочного коэффициента корреляции rв. Плотность вероятно-

сти выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому прибегают к специально подобранным функциям от выборочного коэффициента корреляции, которые сводятся к хорошо изученным распределениям, например к нормальному или Стьюдента. Чаще всего для подбора функции применяют преобразова-

		1	1	+rв
ние Фишера. Вычисляют статистику	z =				, где rв = th z -

			1
		2 ln		−r
				в

гиперболический тангенс от z . Распределение статистики z хорошо аппроксимируется нормальным распределением с парамет-

	M (z)=	1		1	+r
рами			ln			+
		2		1	−r

рительный интервал для

r		σz2	1
	,		=		. В этом случае дове-
2(n −1)				n −3

r имеет вид th z1 < r < th z2 . Величины z1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика