Tema_2

11

Из теории выборки известно, что Используя в качестве оценки σ2

формулурасчетаошибкисреднегозначенияпеременнойу:

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано, определяется формулой: Считая, что прогнозное значение фактора xp=xk, получим

следующуюформулурасчетастандартнойошибкипредсказываемого по линии регрессии значения:

Соответственноmyp имеетвыражение:

Интервальная оценкапрогнозного значения (у*): - y* +

Рассмотренная формула стандартной ошибки предсказываемого среднего значения у при заданном значении xk характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает

минимума при xk = и возрастает по мере того, как удаляется от в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между xk и , тем больше ошибка , с которой предсказывается среднее значение у для заданного значения

xk. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор х находится в центре области наблюдений х и нельзя ожидать хороших результатов прогноза при удалении xk от . Если же значение xk оказывается за пределами наблюдаемых значений х, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в зависимости от того, насколько xk отклоняется от области наблюдаемых значений факторах.

Для прогнозируемого значения 95% -ные доверительные интервалы при заданном xk определяются выражением:

tα*,

На графике доверительные границы для представляют собой гиперболы, расположенныепо обестороны от линии регрессии (рис.)

11

12

Рис. показывает, как изменяются пределы в зависимости от изменения xk: a – верхняя доверительная граница; б – линия регрессии; в – доверительный интервал

для при xк; г – нижняя доверительная граница.

Рис. Доверительный интервал линии регрессии.

Две гиперболы по обе стороны от линии регрессии определяют 95%-ные доверительныеинтервалы для среднего значения у при заданном значении х.

Однако фактические значения у варьируют около среднего значения .

Индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайной

ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы Dост. Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку , но и случайную

ошибку .

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у составит:

=

При прогнозировании на оcнове уравнения регрессии следует помнить, что величина прогноза зависит не только от стандартной ошибки индивидуального значения у, но и от точности прогноза значения фактора х. Его величина может задаваться на основе анализа других моделей исходя из конкретной ситуации, а такжеиз анализадинамики данного фактора.

Рассмотренная формула средней ошибки индивидуального значения

может быть использована также для оценки существенности различия предсказываемого значения исходя из регрессионной модели и выдвинутой гипотезе развития событий.

12

13

3. СРЕДНЯЯОШИБКААППРОКСИМАЦИИ

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии, т. е. y и . Чем меньше это

отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений

результативного признака (у-) по каждому наблюдению представляет собой

ошибку аппроксимации. Их число соответствует обьему совокупности. В отдельных случаях ошибка аппроксимации может оказаться равной нулю. Отклонения (у-х)

несравнимы между собой, исключая величину, равную нулю. Так, если для одного наблюдения у-=5, а для другого она равна 10, то это не означает, что во втором

случае модель дает вдвое худший результат. Для сравнения используются величины отклонений. Выраженные в процентах к фактическим значениям. Так, если для первого наблюдения у = 20, а для второго у = 50, ошибка аппроксимации составит 25% для первого наблюдения и 20% - для второго.

Поскольку (у-) может быть величиной как положительной, так и

отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю.

Отклонение (у- ) можно рассматривать как абсолютную ошибку

аппроксимации, а *100 - как относительную ошибку аппроксимации. Чтобы

иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую:

А = **100.

Возможно и иноеопределениесредней ошибки аппроксимации:

А = *

В стандартных программах чаще используется первая формула для расчета средней ошибки аппроксимации.

13

14

4.1. Нелинейнаярегрессия: классыивиды.

Между экономическими явлениями существуют также и нелинейные соотношения, которыевыражаютсяспомощьюсоответствующихнелинейныхфункций.

Различаютдваклассанелинейныхрегрессий:

I. регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, нолинейныепооцениваемымпараметрам;

II. регрессии, нелинейныепооцениваемымпараметрам.

Рассмотрим, какоцениваютпараметрынелинейныхрегрессий.

I. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющихпеременных, нолинейныепооцениваемымпараметрам.

Примероммогутслужитьследующиефункции:

1)полиномыразныхстепеней—y=a+bx+cx2+E, y=a+bx+cx2+dx3+E, ит.д.;

2)равносторонняягипербола—y=a+b/x+E;

3)полулогарифмическаякривая—y=a+b lnx+E;

4)кривые, задающиесяуравнениямисквадратнымикорнями—y=a+b√x+E;

идругиефункции.

Оценка ее параметров нелинейной регрессии по включенным переменным определяется, какивлинейнойрегрессии, методомнаименьшихквадратов(МНК), таккак этифункциилинейныпопараметрам.

1) Дляполиномавторогопорядка:

y=a0+a1x+a2x2+E заменим x=x1, x2=x1, получим y=a0+a1x1+a2x2+E – двухфакторное уравнениелинейнойрегрессии.

Дляполиноматретьегопорядка:

y=a0+a1x+a2x2+a3x3+E заменим x=x1, x2=x1, x3=x3, получим y=a0+a1x1+a2x2+a3x3+E –

трёхфакторноеуравнениелинейнойрегрессии. Дляполиномаk-гопорядка:

y=a0+a1x+a2x2+…+akxk+E заменим x=x1, x2=x1,…, xk=xk, получим y=a0+a1x1+a2x2+…+akxk+E – уравнение множественной линейной регрессии с k объясняющимипеременными.

Итак, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оцениванияпараметровипроверкигипотез.

Среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. (Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемойсовокупности: чемвышепорядокполинома, тембольшеизгибовимееткривая исоответственноменееоднороднасовокупностьпорезультативномупризнаку.)

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервалазначенийфактораменяетсяхарактерсвязирассматриваемыхпризнаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

yхT=a+bх+сх2, y’=b+2сх=0 их= - b/2c.

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то

14

15

параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связичастозаменяетсядругиминелинейнымимоделями.

Рассмотрим метод оценивания параметров параболы второй степени - МНК, которыйприводиткследующейсистеменормальныхуравнений:

Решитьеёможно, например, методомопределителей:

где – определитель системы; a, b, c – частные

определителидлякаждогоизпараметоров.

При b>0 и c<0 кривая симметрична относительно высшей точки, т.е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигаетсямаксимум.

При b<0 и с>0 парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки, чтопозволяетопределятьминимумфункциивточке, меняющейнаправлениесвязи, т. е. снижениенарост.

Ввидусимметричностикривойпараболавторойстепенидалеконевсегдапригодна в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболическойсвязиневсегдамогутбытьлогическиистолкованы. Поэтому если график зависимости не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, напримерстепенной.

2) Рассмотримравностороннююгиперболу: у=a+b/x+E.

Её параметры также оцениваются методом наименьших квадратов. Заменив 1/x=z, получим линейное уравнение регрессии у=а+bz+E, оценка параметров которого можетбытьданаМНК. Системанормальныхуравненийсоставит:

При b>0 имеем обратную зависимость, которая при x→∞, характеризуется нижней асимптотой, т. е. минимальным предельным значением у, оценкой которого служит параметрa.

При Ь < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при x→∞, т. е. с максимальным предельным уровнем у, оценку которого в уравнении даёт параметрa.

3) Рассмотримполулогарифмическуюкривую: y=a+b lnx+E.

Заменивlnx=z опятьполучимлинейноеуравнениеy=a+b z+E. Данная функция, как и предыдущая, линейнапопараметрам инелинейнапообъясняющейпеременнойх. Оценка параметров a и b быть найдена МНК. Система нормальных уравненийпри этомокажетсяследующей:

15

16

4) Для уравнений с квадратными корнями у = а+b√х+Е система нормальных уравненийдляоценкипараметровсоставит:

Уравнения с квадратными корнями использовались в исследованиях урожайности, трудоемкостисельскохозяйственногопроизводства

II. Регрессии, нелинейныепооцениваемымпараметрам.

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа:

II.а) нелинейные модели внутренне нелинейные (нелинейная модель внутренне нелинейна если она не может быть сведена к линейной функции).

Ктаким моделям можно отнести:

, так как эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения линейные по коэффициентам.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используютсяитеративныепроцедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемогоитеративногоподхода . Моделивнутренненелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях., но мы будем рассматривать лишь внутреннелинейныемодели.

II.б) нелинейныемоделивнутреннелинейные (нелинейная модель внутренне линейна если она может быть сведена к линейной функции);

Этимоделиполучилигораздобольшеераспространение, книмможноотнести:

1)степенная—y=a xb E;

2)показательная—y=a bx E;

3)экспоненциальная—y=ea+bx E;

4)обратная —

Такие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могутбытьприведеныклинейномувиду, относятсякклассулинейныхмоделей.

Рассмотримнапримереэкспоненциальноймоделиy=ea+bxE процессеёлинеаризации: логарифмируяеепонатуральному основанию, получим линейную форму модели: Lny=a+b x+lnE.

Аналогичным образом, путем логарифмирования, приводят к линейному виду степеннуюипоказательнуюфункции.

Линеаризация для обратной модели происходит путём обращения обеих частей

16

.

Приводимаклинейномувидуилогистическаяфункция: .

Преобразовываяравенство, получим:

.

Обозначив, , имеем: .

В эконометрике широко используются коэффициенты эластичности. Формула расчетакоэффициентаэластичности: ,

где f’(x) – первая производная, характеризующая соотношение приростов результатаифакторадлясоответствующеймодели.

Из данной формулы видно, что коэффициент эластичности показывает, на

сколькопроцентовизменитсявсреднемрезультат, еслифакторизменитсяна1%.

Приведем формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенныхтиповуравненийрегрессии:

Показательнаяy=a bx E

Степеннаяy=a xb E

Полулогарифмическая y=a+b lnx+E

Логистическая

17

18

Обратная

В силу того, что коэффициент эластичности для степенной функции является величиной постоянной, равной параметру b, а у других форм связи коэффициент эластичности зависит от значений фактора x, то в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция y=axbE (в ней параметр b имеет чёткое экономическоеистолкование).

Так как коэффициент эластичности для линейной функциинеявляетсявеличиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний

показатель эластичности по формуле: .

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменениязначенийвпроцентах.

Оценкапараметровмоделей.

Для оценки параметров в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

но приводимых к линейному виду, применяется МНК к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при

оценке параметров исходят из критерия , то в моделях, нелинейных по

оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативногопризнака, акихпреобразованнымвеличинам, т. е. lny, 1/y.

Например, для оценки параметров степенной функции у=ахbE применяется МНК к линеаризованному уравнению lny=lna+blnx+lnE, т.е. решается система нормальныхуравнений:

(Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а - косвенным путем послепотенцирования величины lna.)

Итак, оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклоненийвлогарифмах:

Соответственно если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным) , товмоделях, нелинейныхпооцениваемымпараметрам,

Вследствие этого оценка параметров для линеаризуемых функций МНК оказываютсянесколькосмещенной.

Проиллюстрируем это на примере экспоненциальной функции y=ea+bx .

.Прологарифмировав, имеем: lny=lna+xlnb. Применяя МНК, минимизируем

18

19

Изпервогоуравнениявидно, что

Предположим, что фактические данные сложились так, что . Тогда , т е параметр а представляет собой среднюю геометрическую из значений переменной у. Между тем в линейной зависимости yxT=a+bx при параметр , т. е. средней арифметической. Поскольку

средняягеометрическаявсегдаменьшесреднейарифметической, доиоценкипараметров, полученныеизминимизации, будутнесколькосмещены (занижены).

Практическое применение экспоненты возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована. Если экспонента строится как функция выравнивания по динамическому ряду для характеристики тенденции с постоянным темпом, тоу = аbt, гдеу — уровнидинамическогоряда; t — хронологические даты, параметрb означаетсреднийзапериодкоэффициентроста. Вуравненииу= еа+bх этот смыслприобретаетвеличинаантилогарифмапараметраb.

4.2. Корреляциядлянелинейнойрегрессии

Уравнение линейной регрессии дополняется показателем корреляции – индексом корреляции.

- общая дисперсия результативного признака y;

- остаточная дисперсия, определяемая из уравнения дисперсии

Величина R находится в границах: 0≤ R ≤ 1, чем ближе к единице, тем связь рассмотренных признаков теснее – тем более надёжно найденное уравнение регрессии.

1)если преобразования уравнения в линейную форму связаны с независимой переменной (х), то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, так как его величинасовпадает синдексом корреляции.

Ryx=ryz, где z может быть z=lg x, ln x, 1/x

19

20

Данное утверждение справедливо для равносторонней гиперболы, полулогарифмической кривой.

2)если преобразования в линейную форму связаны с зависимой переменной (у), то используемый коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

Ryx ≠rxz, где z – преобразованная переменная y

Оценка существенности R проводится аналогично оценке надёжности коэффициентакорреляции (см. предыдущий материал, аименно п.2.2).

Индекс детерминации используется для проверки качества уравнения нелинейной регрессии .

Для оценки статистической значимости уравнения нелинейной регрессии рассчитывают F- критерий Фишера, и сравнивают его стабличным значением.

,

где R2 – коэффициент детерминации, n – число наблюдений, m – число параметров при переменной х.

20