Задача 3.

Даны вершины треугольника +ABC .

1.Составить уравнения медианы, высоты, биссектрисы угла A ,а также прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.

2.Определить длины сторон, угол A и площадь треугольника +ABC :

A(3, 0), B(−2,3),C(2, 4).

Задача 4.

Даны две вершины A и B треугольника и точка пересечения медиан M . Написать уравнение средних линий треугольника.

A(3, −2), B(1,3), M (4, −1).

Задача 5.

Дано уравнение плоскости P . 3. Написать:

•нормальное уравнение плоскости;

•уравнение плоскости в отрезках на осях. 2. Построить плоскость.

3. Определить расстояние от точки М до этой плоскости.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M и параллельной данной.

P : 3Χ − 7Υ + Ζ + 2 = 0 , M (−1,0, −1).

Задача 6.

1.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскости l и перпендикулярной плоскости P .

2.Определить угол между полученной плоскостью и плоскостьюP1 .

X + Y + 3Z = 0

l : X − Y − Z = 0 , P : Χ − Υ − Ζ + 1 = 0 , P1 : Χ − 2Υ + 5Ζ − 6 = 0 .

Задача 7.

Дана прямая A. 3. Написать:

•каноническое уравнения прямой;

•параметрические уравнения прямой.

2.Составить уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно данной прямой.

3.Вычислить расстояние между этими прямыми.

Заданы полуоси α , β .

1.Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с вещественной полуосью

Χи построить эти кривые.

2.Найти эксцентриситет, директрисы эллипса и гиперболы.

3.Определить угол между асимптотами гиперболы.

121

Χ = β ,α = 2 , β = 4 .

Задача 9.

Найти координаты фокуса F и уравнение директрисы параболы: Y 2 = −12X .

Задача 10.

Определить траекторию точки М, движущейся так, что сумма квадратов её расстояний от точек A , B , и C равна K : A(1,0), B(0,1),C(1,0), K = 3.

Задача 11.

Построить:

1. параболу Υ = 3Χ2 − Χ + 7 ;

2. гиперболу Υ = 3Χ − 2 .

4Χ + 3

Задача 12.

Найти центр и радиус сферы и построить её.

Х 2 + У2 + Z 2 − Z + Y = 0.

Задача 13.

Построить поверхности:

•X 2 + Z 2 = 2X ,

•1+ X 2 − Y 2 − Z 2 = 0, 16 12 4

•X 2 + Y 2 = 1, 16 12

•X 2 + Y 2 + Z 2 = 1, 16 12 4

•X 2 − Z 2 = 1, 16 4

•X 2 − 4Y 2 + Z 2 + 16 = 0,

•X 2 − 3Z 2 = 4Y 2 ,

•7Z = 2 − X 2 − Y 2 ,

• X 2 + Y 2 + Z 2 = 5Z,

•Z = 2Y,

•9Z 2 + X 2 + Y = 0.

122

Модуль №4. Введение в анализ

Вариант 1

1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 + 10x + 21) + 64 − x 2 .

2.Исследовать на четность или нечетность функции:

•у = x sin 4x + e x ;

•у = x sin2 x − 3 x .

3. Найти периоды функций:

•у = 2 sin( 2x + π3 ) + 1;

•у = sin2 2x ;

•у = 2 sin 2x + cos 3x .

4. Построить графики функций:

•у = −2х2 + 5х− 2 ;

•у = х+ 2 ;

х− 1

•у = ln( x − 2 ) ;

•у = е− х + 1;

•у = cos 2x + 2 ;

•у = x x − 1 .

5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:

•х = 1; у = 2;

•х2 + у2 = 5 у.

6. Построить кривые:

•r = 1 + cos 2ϕ ;

•r = 2 − 2sinϕ ;

7. Вычислить пределы:

•lim xx +− 11 ;x→0

•lim xx +− 11 ;x→1

•lim xx +− 11 ;x→−1

•lim 2 x ;

x→±∞

•lim x3 + 3x 2 + x − 5 ;

x2 − 3x + 2x→1

123

•lim cos x − cos 2x ;

xsin 2xx→0

•lim x(ln(x + 2)− ln x).

x→∞

8.Доказать, что функция у = − х3 + 2х2 − х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.

9.Исследовать на непрерывность функции:

•у = хх+− 52 ;

•у = х2 − 3х+ 2 ;

х− 2

1

•у = 2 х+1 ;

x2 , если −∞ < x ≤ −2;

•− x + 2, если −2 < x ≤ 0;3x, если 0 < x < ∞.

Вариант 2

1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 6x + 8 ) + 36 − x 2 .

2.Исследовать на четность или нечетность функции:

•у = сosx sin 2 5x + e x ;

•у = x sin x − 3 x .

3. Найти периоды функций:

124

•у = 3 sin( 4x − π5 ) + 2 ;

•у = cos 2 2x ;

•у = 2 sin 3x + 3cos 4x .

4. Построить графики функций:

•у = −3х2 + 10х− 3 ;

•у = хх−+ 12 ;

•у = ln( − x ) + 1;

•у = ех−2 ;

•у = cos 2x − 1;

•у = x 2 + x .

5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:

•х = 2; у = 3;

•х2 + у2 = 5 у .

6. Построить кривые:

•r = 1 − cos 2ϕ ;

•r = 3 + 3 sinϕ ;

7. Вычислить пределы:

•lim xx +− 11 ;x→0

•lim xx +− 11 ;x→1

• lim x + 1 ;

x→−1 x − 1

•lim 3x ;

x→±∞

•lim x3 + 2x 2 − 3x ;

x2 − 3x + 2x→1

125

8.Доказать, что функция у = 2х2 − 4х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.

9.Исследовать на непрерывность функции:

−1

•у = 2 х+6 ;

Вариант 3

1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 7x + 12 ) + 25 − x 2 .

2.Исследовать на четность или нечетность функции:

•у = x3tgx + ln x ;

•у = arctgx − 5 x3 .

3. Найти периоды функций:

•у = 4 sin( 5x + π6 ) + 3 ;

•у = cos 2 3x ;

•у = 4 sin 4x + cos 5x .

4. Построить графики функций:

• у = −4х2 + 17х− 4 ;

126

•у = х− 1 ;

х+ 2

•у = ln( x + 3 ) ;

•у = е3х + 2 ;

•у = sin 2x + 1;

•у = x 2 − x .

5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:

•х = 3; у = 4;

•х2 + у2 = 7 у.

6. Построить кривые:

•r = 1 + sin 2ϕ ;

•r = 2 − 2 cosϕ ;

7. Вычислить пределы:

•lim x + 2 ;

x− 2x→0

•lim x + 2 ;

x− 2x→2

• lim x + 2 ;

x→−2 x − 2

•lim e x ;

x→±∞

127

8.Доказать, что функция у = 3х2 + 2х+ 5 непрерывна на всей числовой оси.

9.Исследовать на непрерывность функции:

•у = хх+− 84 ;

•у = х2 − 4х+ 3 ;

х− 3

х+ 6

•у = х+ 6 ;

Вариант 4

1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 9x + 20 ) + 100 − x 2 .

2.Исследовать на четность или нечетность функции:

•у = x5 arctgx + cos 5x ;

•у = ln 11 +− xx .

3. Найти периоды функций:

•у = 4 sin( 6x − π7 ) + 4 ;

•у = cos 2 4x ;

•у = 5 sin 5x + cos 6x .

4. Построить графики функций:

•у = −5х2 + 26х− 5 ;

•у = хх−+ 12 ;

•у = ln 3х+ 2 ;

•у = е3 х+ 2 ;

•у = sin 2x − 2 ;

128

•у = х x + 1 .

5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:

•х = 4; у = 5;

•х2 + у2 = 8 у .

6. Построить кривые:

•r = 1 − sin 2ϕ ;

•r = 2 cos 2 ϕ2 ;

7. Вычислить пределы:

•lim x − 2 ;

x+ 2x→0

•lim x − 2 ;

x+ 2x→2

•lim x − 2 ;

x+ 2x→−2

•lim ( 3 − 1)x ;

x→±∞

3x + 2 2 x−4

• lim ; x→∞ 3x + 1

•lim x(ln х− ln(x − 3)).

x→∞

129

8.Доказать, что функция у = х3 + 2х2 − x непрерывна на всей числовой оси.

9.Исследовать на непрерывность функции:

у= хх+− 18 ;

у= х2 − 8х+ 12 ;

х− 2

у= х+ 3 ;

х+ 3

−1

у= e х+ 4 ;

Вариант 5

1.Найти область определения функции: у = ln( x 2 − 2x + 3 ) + 16 − x 2 .

2.Исследовать на четность или нечетность функции:

•у = xarctg3x + e x2 ;

•у = x x − 5 x sin2 x .

3. Найти периоды функций:

•у = 6 sin( 7x + π8 ) − 5 ;

•у = cos 2 5x ;

•у = 3 sin x + cos 2x .

4. Построить графики функций:

•у = 2х2 + 3х− 2 ;

•у = 2х+ 4 ;

х− 1

•у = ln( 2x + 2 ) ;

•у = е2 х − 3 ;

•у = − cos 2x ;

•у = x x + 1 .

5. Записать уравнения в полярных координатах и построить кривые:

•х = 5; у = 6;

•х2 + у2 = 9 у.

6. Построить кривые:

130