DIF_calc_2013

Пример 19.12. При каком соотношении между радиусом R основания и высотой h цилиндр данного объ¨ема V будет иметь наименьшую полную поверхность S?

Решение. Объ¨ем цилиндра определяется произведением V = πR2h. Площадь его полной поверхности является суммой площади боковой поверхности и площади двух оснований: S = 2πRh + 2πR2. Это выражение содержит две неизвестные величины: R и h. Исключим одну из них с помощью формулы для объ¨ема цилиндра: h = V/2πR, следовательно, S = 2πR2 + 2V/R. Таким образом, мы получили выражение площади поверхности цилиндра как функцию радиуса, которую можно исследовать на экстремум. Из равенства нулю производной этой функции мы определим, какой радиус соответствует экстремальному значению площади

или h = 2R, т.е. наименьшей поверхность цилиндра заданного объ¨ема V будет при равенстве его высоты h и диаметра основания D = 2R (когда осевым сечением будет квадрат).

19.4.Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

В курсе аналитической геометрии [11] было введено понятие плоской кривой.

Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в некоторой плоскости.

Пусть кривая задана уравнением y = f(x), где f(x) — однозначная и дифференцируемая функция.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для любой точки x1 из этой окрестности дуга графика, идущая из точки M0(x0, f(x0)) в точку M1(x1, f(x1)) лежит не ниже (не выше) хорды M0M1 (рис. 72).

♦ Иногда вместо терминов «выпуклая» кривая и «вогнутая» используют выражения «выпуклая вверх» («вогнутая вверх») и «вогнутая вниз» («выпуклая

вниз»).

♦ Из определения касательной к кривой y = f(x) в точке M0 как предельного положения секущей M0M1 при стремлении точки M1 к M0 вдоль кривой y = f(x)

следует, что для выпуклой (вогнутой) в точке M0 кривой y = f(x) все точки кривой лежат не выше (не ниже) касательной в этой точке. Так, на рис. 73 кривая y = f(x) является выпуклой в точках M, M1 и вогнутой в точке N.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале ]a, b[, если она является выпуклой (вогнутой) в каждой точке этого интервала.

Понятие выпуклости и вогнутости кривой тесно связано с аналогичным понятием, характеризующим свойства функций.

Функция y = f(x), определенная на некотором интервале ]a, b[, называется выпуклой, если для любых двух x0, x1 ]a, b[ и любого числа t ]0, 1[ выполняется условие

Соотношение (19.15) называется неравенством Йенсена. Если неравенство (19.15) имеет противоположный знак, то функция y = f(x) называется вогнутой.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 19.7. Для того чтобы кривая y = f(x) была выпуклой (вогнутой) в точке y0 = (x0, f(x0)), необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была выпуклой (вогнутой).

Доказательство. Будем для определ¨енности считать кривую y = f(x) выпуклой в точке x0 (доказательство для вогнутой кривой аналогично). Тогда существует окрестность ]x0 − δ, x0 + δ[ точки x0, такая что для всех x1 ]x0 − δ, x0 + δ[ хорда

лежит не ниже кривой M0M1. Здесь M0(x0, f(x0)), M1(x1, f(x1)). Хорда M0M1 описывается уравнением x = x0 + t(x1 − x0), y = f(x0) + t[f(x1) − f(x0)], t [0, 1]. Условие того, что хорда лежит не выше кривой, есть

f(x) f(x0) + t[f(x1) − f(x0)]

или

f x0(1 − t) + tx1! (1 − t)f(x0) + tf(x1).

Обозначив τ = (1 − t), получим

f τx0 + (1 − τ)x1! τf(x0) + (1 − τ)f(x1), τ ]0, 1[.

Следовательно, функция f(x) выпуклая. Доказательство обратного утверждения аналогично.

Выпуклость и вогнутость функции являются важной характеристикой кривой. Признаки выпуклости и вогнутости функции даются следующими теоремами.

Теорема 19.8 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции).

Если функция f(x) во всех точках интервала ]a, b[ имеет отрицательную вторую производную, т.е. f (x) < 0, то график функции на этом интервале является выпуклым. Если же для всех x ]a, b[ вторая производная f (x) > 0, то график функции является вогнутым.

Доказательство. Пусть для всех x ]a, b[ вторая производная f (x) < 0. Возьмем на графике функции произвольную точку M с абсциссой x1 ]a, b[ и провед¨ем через точку M касательную (рис. 73). Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке x ординату y графика функции y = f(x) с ординатой yк касательной, провед¨енной через точку M. Уравнение касательной, как известно, есть

Согласно теореме Лагранжа,

f(x) − f(x1) = f (c1)(x − x1),

где x1 < c1 < x. Тогда из (19.16) имеем

y(x) − yк(x) = f (c1)(x − x1) − f (x1)(x − x1) = [f (c1) − f (x1)](x − x1).

Производная f (x) функции f(x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Тогда для разности f (c1) − f (x1) запишем

f (c1) − f (x1) = f (c2)(c1 − x1),

где c2 — некоторое число, x1 < c2 < c1. Таким образом, имеем

y(x) − yк(x) = f (c2)(c1 − x1)(x − x1).

Исследуем знак правой части этого равенства:

1)если x > x1, то x−x1 > 0, c1 −x1 > 0 и f (c2) < 0; следовательно, y(x)−yк(x) <

0;

2)если x < x1, то x−x1 < 0, c1 −x1 < 0 и f (c2) < 0; следовательно, y(x)−yк(x) <

0.

Таким образом, во всех точках интервала ]a, b[ ордината касательной к кривой y = f(x) в точке M больше ординаты кривой, т.е. график функции на этом интервале выпуклый.

Аналогично доказывается, что при f (x) > 0 график функции на этом интервале вогнутый.

Точка P , отделяющая выпуклый участок кривой от его вогнутого участка (или вогнутый участок от выпуклого), называется точкой перегиба.

Таким образом, левее точки перегиба P находится выпуклый участок кривой, где f (x) < 0, а правее точки P — вогнутый участок, где f (x) > 0. Совершенно очевидно, что в точке перегиба f (x) = 0 (либо вторая производная не существует). Такие точки кривой y = f(x), в которых f (x) обращается в нуль или не существует, будем называть критическими на перегиб.

В результате можно сформулировать следующую теорему о достаточных условиях существования точек перегиба.

Теорема 19.9 (достаточное условие существования точек перегиба).

Если вторая производная f (x) при переходе через критическую на перегиб точку x0 меняет знак, то точка P (x0, f(x0)) есть точка перегиба.

Теоремы 19.8, 19.9 позволяют сформулировать правило для исследования функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба:

1)найти вторую производную y = f (x) данной функции y = f(x);

2)найти корни второй производной f (x) = 0. Область существования функции y = f(x) разбить корнями второй производной на интервалы, и для каждого интервала исследовать знак второй производной f (x). При этом на участках, где f (x) > 0, кривая вогнутая, а на участках, где f (x) < 0, кривая выпуклая;

3)среди корней второй производной выделить те критические значения, для которых f (x) меняет знак, чем определяются точки перегиба.

Пример 19.13. Найти выпуклые, вогнутые участки и точки перегиба кривой y = x3.

Решение. 1. Найд¨ем первую производную y = (x3) = 3x2 и вторую производную y = 6x.

2.Вторую производную приравняем к нулю: y = 6x = 0 и найд¨ем е¨ корень

x1 = 0. Область существования функции y = x3 разбивается корнем x1 = 0 второй производной на два интервала: ] − ∞, 0[ и ]0, ∞[.

3.Исследуем знак y = 6x на каждом из полученных интервалов. В интервале ] − ∞, 0[, где x < 0, вторая производная y = 6x < 0, следовательно, в этом интервале кривая выпукла. В интервале ]0, ∞[, где x > 0, вторая производная y > 0, т.е. в этом интервале кривая вогнута.

4.В точке x1 = 0 вторая производная меняет знак. Следовательно, x1 = 0 — абсцисса точки перегиба. Ордината определяется соотношением y = x3: y(0) =

x3 = 0. Итак, P (0, 0) — точка перегиба.

x=0

19.5.Асимптоты плоских кривых

Прямая x = c называется (вертикальной) асимптотой кривой y = f(x), если либо

lim |f(x)| = ∞,

x→c

либо

lim |f(x)| = ∞,

x→c−0

Рис. 74.

либо

lim |f(x)| = ∞.

x→c+0

Это означает, что с приближением x к c соответствующая точка M кривой y = f(x) удаляется в бесконечность вверх (или вниз) и эта точка кривой неограниченно при этом приближается к вертикальной прямой x = c, которая и называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x) (рис. 74).

Так, если кривая определяется уравнением y = 3/(x − 2), то при x → 2 имеем

3

y = x − 2 → ∞.

Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

Таким образом, вопрос о нахождении вертикальных асимптот, параллельных оси Oy, сводится к вопросу о нахождении тех значений x = c, в при приближении к которым y = f(x) → ∞.

Например, кривая y = tg x имеет бесконечно много вертикальных асимптот: x = ±π/2, x = ±3π/2, x = ±5π/2 и т.д., так как y → ∞ при x → π/2 и y → −∞ при x → −π/2.

Пусть кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту

(рис. 75).

Прямая y = kx + b называется правой наклонной асимптотой кривой y = f(x), если при x → +∞

lim [f(x) − kx − b] = 0,

x→+∞

и левой наклонной асимптотой, если при x → −∞

Рис. 75.

lim [f(x) − kx − b] = 0.

x→−∞

Иными словами, при стремлении x к бесконечности разность ординат точки на кривой y = f(x) и точки на прямой y = kx+ b стремится к нулю и, следовательно, точки кривой неограниченно приближаются к этой прямой.

Из условия

Если k = 0, то асимптота параллельна оси Ox. После того как величина k определена, из условия

Таким образом, асимптота y = kx + b будет найдена.

Итак, для существования наклонной асимптоты кривой y = f(x) необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы (19.17), определяющий k, и (19.18), определяющий b.

Пример 19.14. Найти асимптоты кривой

(x − 3)2 y = 4(x − 1).

Решение. 1. Найд¨ем вертикальные асимптоты: y → ∞ при x → 1; следовательно, прямая x = 1 есть вертикальная асимптота.

2. Найд¨ем наклонные асимптоты y = kx + b. По формуле (19.17) запишем

Получается неопредел¨енность вида ∞/∞. Применим правило Лопиталя:

Снова получилась неопредел¨енность вида ∞/∞. Применим ещ¨ раз правило Лопиталя:

т.е. k = 1/4. По формуле (19.18)

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

1

y = 4(x − 5).

19.6. Исследование функций и построение их графиков

Пусть функция задана уравнением y = f(x). Наглядное представление об изучаемой функции да¨ет е¨ график.

Чтобы построить график функции (кривую) y = f(x), нужно провести исследование, выявляющее существенные качества этой кривой. Привед¨ем примерную схему исследования функции y = f(x) для построения е¨ графика:

1.определить область существования функции y = f(x);

2.определить симметрию функции относительно осей и начала координат (исследовать на ч¨етность, неч¨етность и периодичность);

3.найти точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат;

4.исследовать поведение функции на границе области определения и найти асимптоты кривой;

5.исследовать функцию на экстремум и найти участки возрастания и убывания функции y = f(x);

6.исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и точки перегиба;

7.по полученным данным построить график;

8.иногда для более точного построения кривой полезно найти е¨ значения в дополнительных точках.

Пример 19.15. Исследовать функцию

y= (x − 3)2 4(x − 1)

и построить е¨ график.

в которой стрелками и указано возрастание и убывание функции на соответствующем интервале; дугами и указаны выпуклость и вогнутость графика функции на соответствующем интервале. Из этой таблицы с уч¨етом двух асимптот: x = 1 и y = (x − 5)/4 строим график функции (рис. 76).

Пример 19.16. Построить график функции

Решение. 1. Функция (19.21) определена на всей числовой оси за исключением точки x = −1 (D(x3/(x + 1)2) =] − ∞, −1[ ] − 1, +∞[). 2. Функция принимает отрицательные значения (y < 0) при x < 0 и положительные (y > 0) при x > 0. 3. В точке x = 0 функция обращается в нуль (y(0) = 0).

Это означает, что график функции в левой полуплоскости (x < 0) располагается ниже оси Ox, а в правой полуплоскости (x > 0) выше и, проходя через начало координат (y(0) = 0), пересекает ось Ox снизу вверх в положительном е¨ направлении.

4. Поскольку функция не определена в точке x = −1, а односторонние пределы равны

то прямая x = −1 является вертикальной асимптотой. Чтобы найти наклонную асимптоту y = kx + b, вычислим пределы

Из формулы (19.22) следует, что функция (19.21) имеет две стационарные точки:

x1 = 0 и x2 = −3. Из формулы (19.23) следует, что y (−3) = −9/8 < 0, а y (0) = 0. Это означает, что точка x1 является точкой максимума, а точка x2 — точкой

перегиба.

6. Определим знаки y (x), y (x) в промежутках ] − ∞, −3], [−3, −1[, ] − 1, 0], [0, +∞[ и получим таблицу:

янно возрастает от −∞ до +∞ (y > 0). Ее график пересекает ось Ox в точке x = 0, которая является точкой перегиба (y (0) = 0). График функции является выпуклым на промежутке ] − 1, 0[ и вогнутым на промежутке [0, +∞[. Кривая при x → −1 + 0 и x → +∞ имеет наклонную y = x − 2 и вертикальную x = −1 асимптоты.

Таким образом, получаем график функции (19.21), изображенный на рис. 77. Отметим, что с помощью производных можно исследовать не только однозначные функции, задаваемые явным образом, и строить их графики, но также можно исследовать поведение кривых, представленных неоднозначными функциями, задаваемыми другими аналитическими способами, например параметрически, как

Решение. Из формул (19.24) следует, что функции x(t) и y(t) определены на всей числовой оси Ot за исключением точек t = 0 и t = −2, соответственно, прич¨ем

Методом интервалов определим знаки величин x(t), y(t) на различных промежутках в зависимости от параметра t: .

Таким образом, для

t] − ∞, −2[ x < 0, y 0: III четверть плоскости xOy;

t] − 2, 0[ x < 0, y > 0: II четверть плоскости xOy;

t]0, +∞[ x > 0, y > 0: I четверть плоскости xOy.

Отсюда с уч¨етом (19.25), (19.26) следует, что исходная кривая (19.24) распадается