Lek. 7. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
.pdf•Две основных радиационных области (в форме пончиков) окружают нашу планету – это пояса Ван Аллена, находящиеся на высотах от 3 до 6 тысяч километров и от 20 до 25 тысяч километров.
•Они наполнены высокоэнергичными электронами, заманенными в ловушку магнитным полем Земли.
•Орбиты многих телекоммуникационных и навигационных спутников вынужденно пролегают в этих областях, из-за чего в конструкцию аппаратов приходится вводить защитные оболочки из алюминия, делать электронику более стойкой к радиации.
•Это увеличивает цену спутников, делает их более массивными, что, в свою очередь, отражается на стоимости запуска.
4. Закон Био-Савара-Лапласа
|
|
• Закон |
Био-Савара- |
|
I |
dB |
Лапласа |
|
позволяет |
|
находить |
|
индукцию |
|
|
|
|
||
|
P |
магнитного |
поля |
|
α
r
постоянного тока.
• Пусть по проводнику
течет постоянный
dl |
Рис. 15 |
ток силой I (рис. 15). |
|
||
|
|
• В пространстве, окружающем проводник, возникает
магнитное поле.
• Био и Савар экспериментально, а Лаплас
теоретически получили формулу для индукции магнитного поля в произвольной его точке P , создаваемо-
го элементом длины проводника dl .
• Эта формула имеет вид (векторная форма):
|
|
|
μ0 |
|
|
I dl,r |
|
||
|
|
|
|
|
(1) |
||||
|
dB = 4π |
|
r 3 |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
||||||||
• В этой формуле |
dB |
– |
индукция магнитного тока, |
||||||
создаваемого элементом длины проводника с |
током |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|||
, |
– |
радиусI |
r- |
вектор, проведенный от эле-мента |
в |
|||
точку |
магнитного поля . |
|
|
|||||
P |
|
|
||||||
|
|
|
dl |
|
|
|
||
• Вектор dB перпендикулярен к плоскости, в которой
лежат векторы dl и r , и направлен таким образом,
чтобы из его конца кратчайший поворот вектора dl до
совмещения с вектором r казался происходящим против часовой стрелки.
• Такое же направление вектора dB следует из
правила буравчика.
• Кроме того направление вектора |
|
dB |
|
совпадает с |
|
направлением касательной к |
линии |
индукции |
|||
(пунктир), «созданной» элементом |
dl |
. |
|
||
• В скалярном виде формула (1) запишется в виде: |
|||||
|
|
|
dB = |
μ0 |
|
Idlsinα |
, |
|
(2) |
||
|
|
|
4π |
|
r 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
где угол |
|
угол между векторами |
dl |
и |
r |
. |
|||||
α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Сформулируем этот закон.
•Индукция магнитного поля, создаваемого элементом провдника
с током |
dl |
I |
|
|
|
прямо пропорциональна силе тока в проводнике, длине |
|||||
элемента проводника, |
синусу угла |
между направлениямиα |
|||
векторов |
и |
и |
dl |
обратноr |
пропорциональна квадрату |
|
|
|
|
|
|
расстояния от этого элемента до точки – точки наблюденияP магнитного поля.
• Чтбы найти полную индукцию B магнитного поля в
|
|
|
|
|
|
||||
точке |
P |
, как и в любой другой его точке, |
создаваемого |
||||||
всем |
проводником |
с током |
|
необходимо |
|||||
I |
, |
||||||||
воспользоваться принципом суперпозиции. |
|
|
|
||||||
• Для |
этого |
весь |
проводник с |
|
током |
необходимо |
|||
разделить на |
бесконечно малые |
элементы |
dl |
и для |
|||||
каждого из них в соответствии с формулой (2) найти бесконечно малую индукцию dB в заданной точке P , а затем просуммировать (проинтегрировать) эти элементарные индукции с учетом направлений элементарных векторов dB :
|
|
|
B = dB |
. |
(3) |
l |
|
|
5. Применение закона Био-Савара-Лапласа
а). Индукция магнитного поля в центре кругового
|
dl |
|
• Для |
|
|
|
|
тока |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R |
|
|
определения |
|
индукции в центре |
|||||||||||||
B |
|
кругового тока применяем формулу Био- |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
I Савара –Лапласа и принцип суперпозиции: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 16 |
|
|
|
|
|
|
dB = |
μ0 |
|
Idlsinα |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
r 2 |
|
|
|
|||||||
• В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
α = (π / 2) = const, r = R = const |
|
||||||||||||||||
• Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
μ |
|
I |
2πR |
μ |
|
I |
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
dl = |
|
0 |
|
|
2πR |
||||||
|
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4π |
R2 |
|
4π |
R2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Таким образом, индукция магнитного поля в центре
кругового тока определяется формулой:
|
|
|
|
μ0 I |
|
(4) |
|
B = |
2R |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|||||
• Направление вектора |
B |
определяется в соответст- |
||||
вии с правилом правого буравчика и зависит от направления тока в контуре (рис. 17 и 18)
B |
|
B |
|
|
|
I |
|
I |
Рис. 17 |
Рис. 18 |
b). Индукция магнитного поля прямого тока
r0 |
α2 |
|
|
|
|
|
dB |
P |
|
|
|
|
r |
|
I |
h |
|
dl |
|
d |
|
α |
|
|
|
α1 |
Рис. 19
• Индукцию магнитного поля
прямого тока определим, используя закон Био-Савара- Лапласа и принцип суперпозиции:
|
|
|
|
|
|
|
B = |
μ0 I |
|
dl sinα |
(5) |
|
4π |
r 2 |
|||
|
|
|
|||
• Под знаком |
интеграла в (5) |
||||
содержится |
функция нескольких |
||||
переменных.
• Используя рис.19 и показанные
на нем обозначения, представим подынтегральную функцию в (5) как функцию одного переменного.
• Из рис. 19 следует, что:
dl = |
h |
; h = rdα; |
r = |
r0 |
; |
sinα |
sinα |
• Подставляя r в выражение для h , а h в выражение
для dl , получим, что
dl = r0dα sin2α
• Подставив найденные dl и r в формулу (5) и
выполнив необходимые преобразования, найдем что
|
|
α |
|
|
|
|
|
B = |
μ0 I |
2 |
sinαdα |
μ0 I |
( cosα) |αα12 |
||
4πr |
4πr |
||||||
|
α1 |
|
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
• После подстановки пределов получаем:
B |
μ0 I |
(cosα1 |
- cosα2 ) |
(6) |
|
4πr0 |
|||||
|
|
|
|
• В случае бесконечно длинного проводника, т.е.
когда |
r0 << l |
|
, где |
|
|
|||||||
|
l |
– полная длина проводника и |
||||||||||
|
||||||||||||
кроме того, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
α1 = 0, |
|
|
α2 = π |
|
индукция поля |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
μ0 I |
|
. |
(7) |
||
|
|
|
|
|
|
2πr0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• Таким |
образом, |
|
|
индукция |
магнитного поля |
|||||||
прямого |
тока, создаваемого |
бесконечно длинным |
||||||||||
проводником, определяется формулой (7), а проводником конечной длины – формулой (6).