FA Арсеньев Функ.Ан

Далее имеем:

X

< ej ; Aei >< ei ; Bej > :

1 j<1 ; 1 i<1

Выписанное равенство доказывает равенство (4.103).

Для доказательства неравенства (4.104) выберем полную ортонормированную систему так, чтобы она включала в себя систему собственных

функций оператора jAj. Тогда получим:

X

sj(A)j < ej ; Uej > j kA j HSk:

1 j<1

Теорема доказана.

Определенный равенством (4.102) функционал называется следом оператора.

4.5Спектральное разложение ограниченных самосопряженных операторов.

Наша цель состоит в доказательстве теоремы 4.5.2. Эта теорема, вопервых, описывает общий вид самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве и является обобщением ранее доказанной теоремы Гильберта-Шмидта 4.4.1. Во-вторых, она позволяет для любой заданной

на спектре оператора A борелевской функции f определить оператор f(A). Поясним содержание теоремы 4.5.2 на примере.

Пусть A компактный самосопряженный оператор. Тогда

X

8( 2 H ; n 2 Z+) : An = nj < ej ; > ej;

j

ãäå f jg = (A) -спектр оператора A ; ej -его собственные функции. Сле- довательно, для любого полинома справедливо равенство

X

8( 2 H) : p(A) = p( j) < ej ; > ej;

j

309

Откуда следует, что

X

8( 2 H) : kp(A) k2 = jp( j)j2j < ej ; > j2:

j

Поэтому

Мы видим, что алгебра всех полиномов от оператора A, рассматриваемая как подалгебра алгебры L(H 7!H), алгебраически и топологически изоморфна алгебре полиномов на спектре оператора A. Теорема (4.5.2)

утверждает, что это справедливо и в более общей ситуации. Приводимое ниже доказательство теоремы (4.5.2) принадлежит Эбер-

лейну и основано на следующей элементарной лемме.

Лемма 4.5.1. Пусть A -самосопряженный оператор: A = A. Пусть

p( ) = a0 n + a1 n 1 + : : : + an ; aj 2 R1:

Тогда

Доказательство. Фиксируем вектор x 2 H ; kxk = 1. Пусть

Hx = spanfx ; Ax ; : : : ; Anxg:

По построению размерность пространства Hx конечна: dimHx n + 1

Мы будем рассматривать пространство Hx как подпространство про- странства H. ßñíî, ÷òî

H = Hx Hx?:

Пусть P -оператор ортогонального проектирования на пространство Hx:

P 2 = P ; 8(x 2 H) : P x 2 Hx ; 8(x 2 Hx) : x = P x:

По определению оператора проектирования, справедливы равенства:

(x 2 Hx) ) (x = P x);

(Ax 2 Hx) ) (Ax = P Ax = P AP x)

(A2x 2 Hx) ) (A2x = P A2x = P AAx = P AP P AP x = (P AP )2x)

: : :

(Anx 2 Hx) ) (Anx = (P aP )nx):

310

Следовательно,

p(A)x = p(P AP )x:

Оператор P AP действует в конечномерном гильбертовом пространстве Hx, и согласно (4.105)

j < x ; p(A)x > j = j < x ; p(P AP )x > j kp(P AP )k

supfjp( )j j 2 (P AP )g supfjp( )j j j j kA j Hkg: (4.107) Правая часть неравенства (4.107) не зависит от x, следовательно,

supfj < x ; p(A)x > j j jkxk 1g = kp(A)k supfjp( )j j j j kA j Hkg:

Лемма доказана.

Заметим, что доказательство этой леммы опирается только на свойства эрмитовых операторов в конечномерном унитарном пространстве.

Замечание 4.5.1. Из доказываемой ниже теоремы (4.5.2) следует, что для произвольного самомопряженного оператора A справедливо равенство (4.105).

В дальнйешем мы будем опираться только на неравенство (4.106), поэтому читатель может сразу перейти к следствию 4.5.1 на стр. 314.

Ниже мы докажем несколько утверждений, которые по смыслу близки лемме 4.5.1 и которые полезно знать.

Лемма 4.5.2. Если A -ограниченный самосопряженный оператор и p( ) -полином с действительными коэффициентами, то

kp(A)k = supfjp( )j j 2 (p(A))g = supfjp( )j j 2 (A)g: (4.108)

Доказательство. Если коэффициенты полинома p( ) действительны, то оператор p(A) самосопряжен, поэтому в силу следствия 4.3.2 (см. стр. 289) справедливо равенство

kp(A)k = supfj j j 2 (p(A))g = supfj j j 2 p( (A))g =

supfjp( )j j 2 (A)g:

Лемма доказана.

Заметим, что при доказательстве этой леммы мы существенно использовали теорему об отображении спектра и свойства спектрального радиуса. Если читатель усвоил эти понятия, то в последующих рассуждениях он может использовать лемму (4.5.2) вместо леммы (4.5.1) и тогда можно последующие расуждения сделать более точными: во всех оцен-

ках отрезки [ kAk ; kAk] можно заменить на компакт (A).

Ниже дается доказательство леммы, которая полезна и в многих других приложениях.

311

Лемма 4.5.3. Если A и B -ограниченные коммутирующие:

AB = BA

неотрицательные самосопряженные операторы, то оператор AB самосопряжен и неотрицателен.

Доказательство. Самосопряженность оператора AB вытекает из ра-

венства

(AB) = B A = BA = AB:

Докажем неотрицательность оператора AB. Не ограничивая общности, в дальнешем мы будем считать, что

0 A id:

Построим последовательность операторов

A0 = A ; A(n+1) = An A2n:

Очевидно, что

8n : AnB = BAn:

Доказываем по индукции. Если

0 An id;

òî

A2n(id An) 0 ; An(id An)2 0;

òàê êàê

<f ; A2n(id An)f >=< Anf ; (id An)Anf > 0;

<f ; An(id An)2f >=< (id An)f ; An(id An)f > 0:

Вычисление показывает, что

A(n+1) = A2n(id An) + An(id An)2:

Следовательно,

A(n+1) 0:

Åñëè

id An 0;

312

òî

id A(n+1) = id An + A2n 0:

Неравенство (4.109) доказано. Так как

A2n = An A(n+1);

òî

0 m n

Следовательно,

8f : < f ; A2nf >! 0 ; n ! 1:

Из этого утверждения и поляризационного тождества следует, что

8(f 2 H ; g 2 H) : < f ; Ang >! 0 ; n ! 1:

Но тогда из (4.110) следует, что

X

8n : < f ; ABf >= < f ; A2mBf > + < f ; A(n+1)Bf >=

0 m n

X

< Amf ; BAmf > + < f ; A(n+1)Bf >!

0 m n

X

< Amf ; BAmf > 0; n ! 1:

0 m<1

Лемма доказана.

Из этой леммы лего следует утверждение.

Пусть A -ограниченный самосопряженный оператор. Положим

a = inff< f ; Af >j kfk = 1g ; b = supf< f ; Af >j kfk = 1g: (4.111)

Лемма 4.5.4. Если p( ) -такой многочлен с действительными коэффициентами, что

8( 2 [a ; b]) : p( ) 0;

òî

p(A) 0:

Доказательство. Справедливо равенство

Y

p( ) = ( j)( k )( !l)2(( s)2 + s2);

j;k;l;s

313

ãäå

j a ; k b ; !l 2 [a ; b] ; s 2 R1; s 2 R1:

Отсюда следует, что

Y

p(A) = (A jid)( kid A)(A !lid)2((A sid)2 + s2id): (4.112)

j;k;l;s

Каждый сомножитель в (4.112) -неотрицательный оператор. В силу леммы 4.5.3 их произведение есть неотрицательный оператор. Лемма доказана.

Теперь докажем утверждение, которое уточняет лемму (4.5.1).

Лемма 4.5.5. Справедливо неравенство

Доказательство. Пусть

c = supfjp( )j j 2 [a ; b]g:

Справедливо неравенство

8( 2 [a ; b]) : c p( ) 0:

В силу леммы 4.5.4 отсюда следует неравенство

8( 2 H) : < ; (c p(A)) > 0;

которое эквивалентно неравенству (4.5.5).

На полиномах p( ) с действительными коэффициентами определим отображение

Из леммы 4.5.1 вытекает

Следствие 4.5.1. Отображение OpbA переводит фундаментальные в метрике C([ kAk ; kAk]) поледовательности полиномов в фундаментальные в метрике L(H 7!H) последовательности операторов и по-

этому расширяется до непрерывного отображения пространства C([ kAk ; kAk]) в пространство L(H 7!H): если f 2 C([ kAk ; kAk]) и в метрике пространства C([ kAk ; kAk]):

f( ) = lim pn( );

n!1

314

Фиксируем вектор 2 H и на пространстве C([ kAk ; kAk]) рассмотрим линейный функционал:

Лемма 4.5.6. Отображение (4.116) на пространстве C([ kAk ; kAk])

удовлетворяет условиям элементарного интеграла в схеме Даниэля и неравенствам:

Доказательство. Линейность функционала (4.116) по f очевидна. Ес-

ëè

8( 2 [ kAk ; kAk]) : fn( ) 0 ; fn( ) & 0 ; n ! 1;

то в силу теоремы Дини

supffn( ) j 2 [ kAk ; kAk]g ! 0 ; n ! 1;

поэтому в силу оценки (4.117)

I0( j fn) ! 0 ; n ! 1:

Докажем неотрицательность функционала (4.116).

Если функция f непрерывна и неотрицательна, то функция

7!(f( ))1=2

непрерывна и неотрицательна. Поэтому существует такая последовательность полиномов Qn( ), ÷òî

Qn( ) (f( )1=2 ; Q2n( ) (f( ) ; n ! 1:

Следовательно,

< ; f(A) >= lim < ; Qn(A)2 >=

n!1

< Qn(A) ; Qn(A) > 0:

Рассмотрим пространство C([ kAk ; kAk]) как пространство элементарных функций при построении интеграла Даниэля.

315

Определение 4.5.1. Функционал f 7!I( j f) -это построенное по схеме Даниэля расширение элементарного интеграла I0( j f) è ( j dx) -мера на отрезке [ kAk ; kAk], которая порождена интегралом I( j f):

8(m 2 B([ kAk ; kAk])) : ( j m) := I( j I(m j )):

Из теоремы 1.2.2 (см. стр. 55) следует, что любое борелевское подмножество отрезка [ kAk ; kAk] при любом 2 H измеримо относительно

ìåðû ( j dx) и пространство интегрируемых по мере ( j dx) функций содержит множество Bor([ kAk ; kAk]) всех ограниченных измеримых по Борелю функций на отрезке [ kAk ; kAk].

Можно доказать, что множество [ kAk ; kAk] n (A) есть множество меры нуль относительно меры ( j dx).

Множество Bor([ kAk ; kAk]) есть алгебра относительно операций

поточечного сложения и умножения функций. С помощью интеграла f 7!I( j f) мы построим зависящий от оператора A гомоморфизм

алгебры Bor([ kAk ; kAk]) в некоторую коммутативную подалгебру алгебры L(H 7!H). Гомоморфизм OpbA мы будем строить так. Фиксируем функцию f 2 Bor([ kAk ; kAk]), которая принимает действительные значения. Используя поляризационное тождество, на простанстве H построим билинейную форму

Из оценки (4.117) следует, что для любой действительной ограниченной функции f 2 Bor([a ; b]) билинейная форма (4.120) удовлетворяет нера-

венству

Из этого неравенства и теоремы Лакса-Мильграма-Вишика (см. стр. 282) следует, что билинейная форма (4.120) задается линейным непрерывным оператором.

Расширим область определения отображения OpbA.

Определение 4.5.2. Отображение OpbA каждой действительной функ- öèè f 2 Bor([ kAk ; kAk]) ставит в соответствие оператор OpbA(f) = f(A), который удовлетворяет равенству

316

где билинейная форма B( ; j f) определена равенством (4.120).

На комплексные функции отображение OpbA распространяется по ли- нейности.

Теорема 4.5.1. Отображение OpbA удовлетворяет следующим условиям.

1. Отображение OpbA линейно:

OpbA : Bor([ kAk ; kAk]) 3 ( f + g) 7!( f(A) + g(A)) 2 L(H 7!H):

2. Отображение OpbA произведение функций переводит в композицию операторов:

OpbA : Bor([ kAk ; kAk]) 3 f(x) g(x) 7!f(A)g(A)) 2 L(H 7!H):

3.Отображение OpbA переводит функцию, тождественно равную единице, в единичный оператор:

OpbA : 1 7!id:

4. Отображение OpbA действительные функции переводит в самосопряженные операторы, неотрицательные действительные функции переводит в неотрицательные операторы и удовлетворяет условию

где -функция, комплексно сопряженная функции ; OpbA( ) -оператор, гильбертово сопряженный оператору OpbA( ).

5. Если функция f принимает действительные значения, то справедлива оценка

6. Åñëè

8(x 2 [ kAk ; kAk]) : fn(x) ! 0 ; 8n : jfn(x)j const:;

òî

8( ; 2 H) : < ; fn(A) >! 0 ; n ! 1:

Доказательство. Утверждения теоремы очевидны для полиномов, а для остальных функций получаются предельным переходом.

Отображение OpbA иногда называется борелевским операторным ис- числением. Особую роль в этом исчислении играет рассматриваемый как

317

функция параметра оператор, являющися образом при отображении OpbA характеристической функции отрезка [ kAk ; ] ; 2 [ kAk ; kAk]. Напомним, что харктеристическая функция отрезка [ kAk ; ] задается равенством

8

>1 ; kAk x < kAk;

<

По сображениям технического порядка (так как мы используем лемму 4.5.1вместо точной оценки (4.105)) мы определим спектральную фунцию так.

Определение 4.5.3. Спектральная функция E( ; A) ограниченного (aid A bid) самосопряженного оператора A -это образ функции x 7!I([ kAk ; ] j x)) при отображении OpbA:

E( ; A) = OpbA(I([ kAk ; ] j ))

Можно показать (это будет следовать из дальнешего),что можно быо бы

Теорема 4.5.2. Каждому самосопряженному оператору A 2 L(H 7! H) согласно определению 4.5.3 соответствует спектральная функция E( ; A), которая обладает следующими свойствами.

1. Для любого 2 R1 оператор E( ; A) -самосопряженный проектор:

318