LabTAU1-3

При размыкании обратной связи перед сумматором получаем последовательное соединение, передаточная функция которого равна

11

Wp (s) = Wn (s) W(s). Эта передаточная функция называется передаточной функцией разомкнутой цепи.

Передаточную функцию Wк (s) = Wn (s) W(s)W (s), в которой учитывается передаточная функция сумматора по входу обратной связи, будем называть передаточной функцией контура. Здесь W (s)

– передаточная функция сумматора по входу обратной связи, она равна – 1 (минус единице) при отрицательной обратной связи (перед соответствующим входом стоит знак минус) и 1 (плюс единице) при положительной обратной связи.

Передаточная функция при обратном соединении равна Wк (s) = Wn (s) =(1 W к(s)) и при преобразовании обратное соединение заменяется одним звеном с указанной передаточной функцией сумматора. При переносе сумматора по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор.

Перенос сумматора. При переносе сумматора по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор.

Таким образом, первый способ преобразования структурных схем заключается в непосредственном использовании правил. Неудобство использования этого подхода заключается в том, что порядок применения формул здесь достаточно произволен, возможны ошибочные шаги, усложняющие поиск решения.

Пример.

Необходимо определить передаточные функции системы управления, представленной на рис. 2.1, а.

Для решения данной задачи сначала освободимся от перекрестных связей. Для этого перенесем сумматор 3 против хода сигнала через звено W2 и сумматор 2 (рис. 2.1, б).

Далее, заменив параллельное соединение звеном с передаточной

функцией

W 0 = W1 + W5 1 = W1W2 + W5 W2 W2

и обратное соединение звеном с передаточной функцией

12

Рис. 2.1. Структурное преобразование многоконтурных схем

В результате получим одноконтурную систему, приведенную на рис. 2.1, в. Из этой схемы находим искомые передаточные функции:

При вычислении передаточных функций многоконтурных систем с перекрестными связями целесообразно предварительно упростить

13

схему, используя правила преобразования параллельных и обратных соединений, а затем освободиться от перекрестных связей.

В случае громоздких систем с большим числом звеньев и перекрестных связей наиболее эффективным является использование для получения эквивалентных передаточных функций правила Мейсона. В связи с этим введем необходимые дополнительные определения.

Прямой путь между двумя заданными вершинами графа – это непрерывная последовательность ветвей одного направления, в которой каждая из вершин встречается не более одного раза.

Контур – замкнутая цепь, при однократном обходе которой в направлении, указанном стрелками, каждая из вершин встречается не более одного раза.

Сигнальный граф позволяет графически описать линейные связи между переменными, он состоит из узлов (вершин) и соединяющих их направленных ветвей.

Ветвь соответствует блоку структурной схемы, она отражает зависимость между входной и выходной переменными. Сумма всех сигналов, входящих в узел, образует соответствующую этому узлу переменную.

Коэффициент передачи контура – это произведение всех входящих в него дуг.

Контуры называются некасающимися, если они не имеют общих узлов.

Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме. Пусть X(s) и Y (s) – входная и выходная переменные системы.

Тогда для вычисления ПФ системы управления по ее графу можно воспользоваться формулой Мейсона:

где Pi – i-й путь от входа к выходу; N – количество путей; – определитель графа; i – дополнительный множитель для пути.

Определитель графа получается по формуле

14

контуров.

Дополнительный множитель для i-го пути равен определителю графа, в котором приравнены нулю коэффициенты передачи контуров, касающихся этого пути.

Пример.

Определим ПФ Wyg многоконтурной системы с использованием формулы Мейсона для структуры рис. 2.2, а.

Рис. 2.2. Преобразования многоконтурных схем с использованием сигнальных графов

Граф системы управления представлен на рис. 2.2, б. От вершины g до вершины y имеются четыре прямых пути. Передаточные функции этих путей соответственно равны:

15

Wп1 = W0W3W6; Wп2 = W0W4W6;

Wп3 = W1W3W6; Wп4 = W1W4W6:

Подграф 1-го пути состоит из вершин e и d. Подграф 2-го пути состоит из вершин e,d и z. Подграф 3-го пути есть пустой граф, а 4-го состоит из вершины z.

Поскольку каждый из них не имеет контуров, их определители равны единице, т.е. i = 1; (i = 1; 2; 3; 4).

Граф системы управления имеет четыре простых контура, передаточные функции которых соответственно равны:

W01 = W1W2; W02 = W1W5;

W03 = W1W3W6; W04 = W1W4W6:

Несоприкасающихся пар контуров нет, поэтому определитель графа равен:

= 1 (W01 + W02 + W03 + W04):

Тогда для искомой передаточной функции получим:

Wyg = Wn1 + Wn2 + Wn3 + Wn4 =

= W0W3W6 + W0W4W6 + W1W3W6 + W1W4W6 : 1 + W1W2 W3W5 + W1W3W6 + W1W4W6

Таким образом, использование сигнальных графов и применение формулы Мейсона позволяет алгоритмизировать процесс упрощения структурной схемы.

2.2. Использование пакета MatLab

В пакете MatLab имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования:

1)series(w1,w2) – последовательное соединение динамических зве-

ньев;

2)parallel(w1,w2) – параллельное соединение динамических зве-

ньев;

16

3)feedback(w1,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи к w1;

4)feedback(w1 ,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи звена w1;

5)feedback(w1,w2,sign) – включение звена w2 в контур обратной связи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1,w2)=feedback(w1,w2,-1));

Пример.

>> w=tf([1 2],[1 2 2]) Transfer function:

s + 2

s^2 + 2 s + 2

>> w1=tf([1 2 3],[1 2 2]) Transfer function:

s^2 + 2 s + 3 s^2 + 2 s + 2

>> w2=series(w,w1) Transfer function: s^3 + 4 s^2 + 7 s + 6

s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4 >> w3=parallel(w,w1) Transfer function:

s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 16 s + 10 s^4 + 4 s^3 + 8 s^2 + 8 s + 4 >> w4=feedback(w,w1)

Transfer function: s^3 + 4 s^2 + 6 s + 4

s^4 + 5 s^3 + 12 s^2 + 15 s + 10

Для проверки правильности проведенных преобразований необходимо собрать схему исходной САУ и соответствующую ей эквивалентную схему в MatLab Simulink. Задача считается решенной, если при подаче на вход обоих схем одинаковых тестовых воздействий наблюдаются одинаковые выходные сигналы.

17

2.3. Задание к лабораторной работе

Выполнить преобразование заданного варианта структурной схемы САУ в эквивалентную ПФ двумя способами:

–непосредственно используя правила табл. 2.1;

–используя представление в виде сигнального графа и формулу Мейсона.

Варианты заданий приведены в табл. 2.2.

В качестве звеньев W 1 W 6 использовать типовые динамические звенья с параметрами, выбранными в лабораторной работе №1.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) Описание всех этапов преобразования исходной схемы и получающихся промежуточных результатов, включающее моделирование реакции схемы на типовое воздействие (скачок) до и после преобразования.

2) Сигнальный граф системы, описание путей, контуров и расчет ПФ по формуле Мейсона.

3) Схемы экспериментов в Simulink MatLab и протокол команд MatLab.

4) Графики переходных процессов при подаче на вход исходной и эквивалентной схемы типовых тестирующих воздействий (импульс, скачок, синусоида).

Контрольные вопросы

1.Перечислите типичные схемы соединения звеньев САУ.

2.Как преобразовать цепь последовательного (параллельного) соединенных звеньев к одному звену?

3.Как преобразовать обратную связь к одному звену?

4.Что называется прямой (разомкнутой) цепью САУ?

5.Как перенести сумматор (узел) через звено по ходу и против движения сигнала?

18

Рис. 2.3. Структурная схема №1

19

Рис. 2.4. Структурная схема №2

Рис. 2.5. Структурная схема №3

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ

3.1. Методические указания

Судить о динамических свойствах звена позволяют его частотные характеристики, получаемые путем подачи на вход звена гармонического сигнала в широком диапазоне частот.

Рассмотрим метод частотных характеристик более подробно. Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту !, т.е. описывается следующим выражением:

x = a sin(!t):

Выходной сигнал будет иметь амплитуду A1 и отличаться от вход-

20