Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UML_1321

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

903 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

6.1.4. Выражения для изображений переходной и импульсной характеристик цепи принимают соответственно вид

g(t)	K21Х	( p)		1012	.	(2)
			( p2
	p			107 p 1012 ) p
h(t) K21Х ( p) 1012				( p2 107 p 1012 ).		(3)

Оригиналы временных характеристик определим с помощью таблиц преобразований Лапласа [3, с. 243, 245]. Для этого преобразуем (2) и (3) к виду следующих табличных операторных функций:

		1				1 e bt (a cosat bsin at)								;		(4)

		p ( p b)2 a2				bt sin at)				a2 b2
		p ( p b)2 a2								a2 b2
	1				e					.						(5)
		( p b)2	a2				a			.						(5)
		( p b)2	a2				a
	Преобразуем изображения (2), (3) к требуемому
	виду:
		g(t)							1012								.
		g(t)						6		2				6	2
								6		2	0,9975 10			6	2
				p p 0,05 10							0,9975 10

																(6)
		h(t)				1012							.
Рис. 5.			p 0,05 106 2									106 2
Рис. 5.			p 0,05 106 2								0,9975	106 2
Полюсно-																(7)
нулевая диаг-		Сравнивая (6) и (7) с (4) и (5), получаем
рамма		Сравнивая (6) и (7) с (4) и (5), получаем
рамма	выражения для переходной и импульсной
	выражения для переходной и импульсной
	характеристик*
	характеристик*

* В работе в качестве оригиналов не следует использовать гиперболические функции, предлагаемые программами компьютерной математики.

g(t)

1012

2 2

e t sin t arctg

2 2

1 1,001 106 e 50 103t sin 0,99875 106 t 1,621 ; 1

h(t) 1012

e t sin( t) 1,001 106 e 0,05106 t sin 0,99875 106 t [с 1 ].

Для

построения

графиков

временных

характеристик

необходимо определить время практического затухания свободной

составляющей

отклика

после

коммутации

tПЗ 5 ,

где

1 Re( p ) 20 [мкс]

–

постоянная

времени

колебательного

контура (см. рис. 6).

1.5

g(t) 1

0.5

t [ мкс]

1 106

5 105

h(t) [с 1] 0

5 105

1 106

t [ мкс]

Рис. 6. Переходная (вверху) и импульсная характеристики цепи

1 Результат вычисления калькулятором arctg ( / ) увеличен на π.

u2 (0 ) uС (0 ) 0 ,

Для качественного объяснения вида переходной характеристики рассмотрим отклик u2 (t) , который численно совпадает с переходной

характеристикой при подаче на вход единичного скачка напряжения при нулевых начальных условиях. В соответствии с законом коммутации то есть g(0 ) 0 . В

установившемся режиме при t → ∞ напряжение на входе можно считать постоянным, в цепи могут протекать только постоянные токи, и поэтому емкость в цепи можно заменить разрывом ветви, а индуктивность – короткозамкнутой перемычкой. В преобразованной таким образом цепи u2 ( ) u1( ) , следовательно g( ) 1. Переход

от начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, так как полюсы операторной характеристики комплексно-сопряженные. Затухание свободных колебаний происходит из-за потерь энергии в сопротивлении R.

Импульсная характеристика цепи численно совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса напряжения (t) . В течение действия импульса все входное

напряжение оказывается приложенным к индуктивности, а поскольку оно бесконечно большое, то ток индуктивности скачком увеличивается, а напряжение на емкости остается равным нулю, т. е. h(0 ) 0 . После коммутации напряжение на входе равно нулю (то

есть входные зажимы можно считать короткозамкнутыми) и в цепи возникает затухающий колебательный свободный процесс обмена энергии между индуктивностью и емкостью. В цепях с потерями

lim h(t) 0	. Корректность расчета импульсной характеристики
t

подтверждается качественно тем, что график h(t) на рис. 6 проходит через ноль в те моменты времени, когда g(t) имеет локальные экстремумы, а максимумы h(t) совпадают по времени с точками перегиба графика g(t), что соответствует h(t) d[g(t)1(t)]dt .

6.1.5. Рассчитаем определенную точно в предыдущем пункте импульсную характеристику численно с помощью электронного симулятора PSpice. Программа анализа цепи имеет вид

RLC

V1 1 0 PWL (0 0 1E-9 1E9 2E-9 0); единичный импульс

R1 1 2 1E2

L1 2 3 1E-3

C1 3 0 1E-9

E1 4 0 VALUE {1E6/SQRT(0.9975)*SIN(SQRT(0.9975)*1E6*TIME)*EXP(-50*1E3*TIME)}

R2 4 0 1

.TRAN 1E-9 0.1E-3; начальный шаг равен длительности фронта воздействия

.PROBE V(3) V(4)

.END

Результат численного расчета «по умолчанию» имеет относительную погрешность 10 – 3*. Рассмотрим разницу между точным и приближенным расчетами, т. е. разницу между рассчитываемым напряжением V(3) и заданным точно напряжением V(4) (см. рис. 7). Относительная погрешность расчета вблизи t 20 мкс, оцениваемая по текущей амплитуде функции ошибки, намного превышает записанную в опции «стандартные установки» (что характерно для анализа высокодобротных цепей).

400K
0
-400K
0s	20us	40us	60us	80us	100us
	( V(3)- V(4))/1v		Time
			Time
Рис. 7. Изменение во времени разницы между точным и численным
расчетом импульсной характеристики, RELTOL = 10 – 3 (us÷мкс)

Для уменьшения погрешности достаточно ввести программу дополнительное ограничение погрешности. На рис. 8 приведен такой же график относительной погрешности, что и на рис. 7, но при введении в программу дополнительной строки

.OPTION RELTOL = 0.2E-4.

* Отметим, что импульсная характеристика, определенная численно как производная переходной, будет в некоторой, очень малой, степени отличаться от определенной по отклику на единичный импульс.

			15
Уменьшение допустимой погрешности в 50 раз позволило во столько
же раз уменьшить погрешность расчета симулятором импульсной
характеристики, но, как видно из результатов, опция RELTOL не
гарантирует выполнение задаваемой ею величины погрешности.
20K
0
-20K
0s	20us	40us	60us	80us	100us
	( V(3)- V(4))/1v		Time
			Time
Рис. 8. Повторение расчета погрешности численного решения с новой
	установкой допустимой погрешности

6.1.6. Рассмотрим		расчет отклика в заданной цепи при
напряжении на	входе	u (t) 1(t) sin(0,5 106 t) [B].	Операторный
		1
отклик U 2 ( p)	равен	произведению операторного	коэффициента

передачи цепи и изображения синусоиды по Лапласу:

	U2 ( p)			1012			2 106
	U2 ( p)		p2	107	p 1012	p2	(2 106 )2
			p2	107	p 1012	p2	(2 106 )2
или, с учетом (7),
U 2 ( p)				1012					2 106			.

		p 0,05 106 2			0,9975 106 2			p2	(2	106 )2
		p 0,05 106 2			0,9975 106 2			p2	(2	106 )2
Сопоставим U 2 ( p) с табличным							выражением			[3,	с. 245,
формула (2.12)]:
D [( p ) 2 2 ]( p 2 2 ) DAe t sin( t ) DB sin(											t ) ,
				2						2
				2

в котором, чтобы не вводить лишние новые переменные, произведена замена обозначений констант a = 0,05 106 [с- 1 ] ,

								16
	1			0,9975 106 [рад/с],					2		2 106 [рад/с], D = 2 1018.
	1								2
		В рассматриваемом случае
		DA 11 (a2 21 22 )2											1/ 2		0,666 [В];
		DA 11 (a2 21 22 )2								4a2 22					0,666 [В];
		arctg 2 a				1	a2			2		2	0,03322 [рад];
						1				1		2
		DB 1 (a2			2 2 )			2 4a2					1/ 2	0,33259 [В];
		DB 1 (a2			2 2 )			2 4a2					2	0,33259 [В];
				2	1		2					2
				arctg	2a 2		a2	21 22 3,208 [рад]2.
		Найденный таким образом отклик имеет вид суммы
принужденной гармонической составляющей и квазигармонической
свободной составляющей.
u2 (t)
0,666 e-0,05 106 t sin(0,9987 106 t 0,0332) 0.3326 sin(2 106 t 3,208) [B].
На графике отклика (рис. 9) видно, что в начале переходного процесса
частота колебаний определяется, в основном, свободной
составляющей, а в конце его – принужденной составляющей.
				1
			0.5
	u 2 ( t) [B]			0
			0.5
			1		2 10 5		4 10 5					6 10 5			8 10 5	1 10 4
				0	2 10 5		4 10 5					6 10 5			8 10 5	1 10 4
											t		[с]
		Рис. 9. Напряжение на выходе цепи при подаче на вход

2 Результат вычисления калькулятором β увеличен на π.

синусоидального напряжения в момент времени t = 0

6.2. Рассмотрим определение, перечисленных в п. 2.2 характеристик четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 10. Параметры элементов цепи: R1 = R2 = R3 = 1 кОм, С1 = 1 нФ,

С2 = 1,2 нФ.

6.2.1. Для определения комплексного коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода составим систему уравнений цепи методом контурных токов

		1
R
R
	2		j C2
			j C2



		1

		j C2
		j C2

	I
	I
	11

				1			I
	R
	R			j C
		1		j C				22
					1
I				1	I
								R
								R
	11		j C1			22			3
			j C1

Здесь 1-й контур образован ветвями R2 контура), 2-й – R1, C1, E, 3-й – R3, C1, C2.

	1
		j C2		I	33	E,
		j C2
		1
		j C1		I	33	E,
		j C1
1	1			I
						0.
j C	j C					0.
j C	j C				33
			2		33
1			2

C2, E (в порядке обхода Исключая контурные токи

I11	и I 22 ,			получаем выражение															для комплексного коэффициента
передачи в режиме холостого хода в виде																												,
																										2	A2
	K21Х ( j ) U 2										U1 R3 I					33 E j B A0 j A1											A2
где	B R (R C R C											2	) = –2∙10 – 4					[Ом∙с],
		3		1	1				2			2
A0 = R1 + R2+ R3 = 3∙10 3[Ом],
A R R C R R C										2	R R C				2		R R C 4,4 10 3								[Ом∙с],
1	1	2	1		1			2		2			2	3	2			1	3		1
A R R R C C						2		1,2 10 9						[Ом∙с2] .
2	1	2	3	1		2
	АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению имеют
вид:

										( ) B							A	2 A				2		A
					K		21Х			( ) B							A	2 A						A	2 ,
							21Х									0					2			1

					( ) 2 arctg													A		1		A	0	A	2	2 .
			21X																	1			0		2

Графики зависимости модуля КЧХ от частоты K21Х ( ) в

				18
логарифмическом		масштабе	и	аргумента	21Х ( )	в полулогариф-
мическом приведены на рис 11.*
	10 1
	10 2
U 2
U 1	10 3
	10 4
	103	104		105	106	107	108
				f [Гц]

-0d

-100d

(f)

-200d

-270d

1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHz 100MHz

Vp(2,3)

Frequency

Рис. 11 АЧХ (вверху) и ФЧХ комплексного коэффициента передачи по напряжению цепи (рис. 10)

Следует отметить, что различные симуляторы и программы компьютерной математики могут построить график ФЧХ по-разному. Поскольку главное значение комплексной величины лежит в пределах от – π до π, на графиках ФЧХ, которая является аналитической функцией, нередко появляются разрывы (см. рис. 12).

* Полезно сравнить АЧХ на рис. 3 и 11. В первом случае наблюдается амплитудный резонанс, во втором – нет.

		180
		180
	PSI( ) 180
			0

	[deg]
		180
		180
			1 104	1 105		1 106	1 107
					f	[Hz]
а				б
а

Рис. 12. ФЧХ, полученные MULTISIM (а), MATHCAD (б)

Графики, приведенные на рис. 11, можно «исправить» вручную с помощью графического редактора, но полезно записать выражение для ФЧХ в той же форме, что и на стр. 8:

	/ 2 arctg A 1		A 0 A 2				2 ,
	/ 2 arctg A 1		A 0 A 2				2 ,
	,
21X ( )	,
	3 / 2 arctg A		A		A			2
	3 / 2 arctg A	1	A	0	A	2		2	,
		1		0		2

где 0 A0 A2 1,581 106 [рад∙с].

если ; если ;

если ,

Операторный коэффициент передачи в режиме холостого хода получим заменой jω в выражении для КЧХ оператором р:

K21Х
							pR3 (R1C1 R2C2 )																.
	R R	2	R p(R R C R R						C	2	R	2	R C	2	R R C ) p 2 R R				2	R C C		2	.
	R R		R p(R R C R R						C		R		R C		R R C ) p 2 R R					R C C
1			3	1	2	1	1	2					3		1	3	1	1		3	1
	Полученная функция имеет один ноль рο = 0 и два вещественных
полюса		р× 1 = – 905372 [рад/с]						и			р× 2 = – 2761294						[рад/с]. Полюсно-

нулевая диаграмма приведена на рис. 13.

6.2.2. Для определения временных характеристик воспользуемся классическим методом анализа переходных процессов. Определим отклик цепи (рис.9) при воздействии на входе единичного скачка напряжения. Искомое напряжение равно сумме свободной и принужденной составляющих. Поскольку в установившемся после

Рис. 13. Полюсно-нулевая диаграмма коэффициента передачи по напряжению цепи (рис. 9)

коммутации режиме все токи в цепи равны нулю, так как емкости разрывают цепь по постоянному току, то принужденная составляющая отклика равна нулю (рис. 14) и отклик цепи совпадает со свободной составляющей, которую можно записать в виде:

u2 u2СВ А1е р 1 А2е р 2 .

Рис. 14. Схема замещения цепи	Рис. 15. Схема замещения цепи
(рис. 9) для установившегося ре-	(рис. 9) для момента времени
жима после коммутации (t → ∞)	t = 0+

Из схемы замещения цепи для момента времени непосредственно после коммутации (рис. 15), полученной путем замены емкостей идеальными источниками напряжения, величина которых равна напряжению соответствующей емкости до коммутации (здесь нулю), следует первое зависимое начальное условие u2 (0 ) uR3 (0 ) 0 . Второе зависимое начальное условие следует из

уравнений цепи и независимых начальных условий:

uR3 (0 ) uС2 (0 ) uС1(0 ) ;

duR3 dt 0 C2 C2 duC2 dt 0 C1 C1 duC1 dt 0

iС2 (0 ) / С2 iС1(0 ) / С1 E R2C2 E R1C1 1,667 105 В/с,

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20191 Мб36Uchebnoe_posobie_ch1.doc
#
05.09.2019688 Кб23Uchebnoe_posobie_metrologia.docx
#
01.06.20152 Мб21UMK_po_Menedzhmentu_modul_2.pdf
#
01.06.2015359 Кб9umk_treb.pdf
#
01.07.202587 Кб1UML диаграммы в Rational Rose_лаб1.docx
#
01.06.2015903 Кб16UML_1321.pdf
#
01.06.20157 Мб27UML_4256.pdf
#
01.06.2015321 Кб17UML_4497.pdf
#
01.06.20151 Мб10UML_4562.pdf
#
01.06.2015641 Кб11UML_4564.pdf
#
01.06.2015943 Кб11UML_4597.pdf