Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1331 вуз, 5514 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf
Скачиваний:
219
Добавлен:
02.06.2015
Размер:
4 Мб
Скачать
☆

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

 

 

 

1

 

5

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

xi ni

 

 

(0,1 1 3 3 4) 1,11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 i 1

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M[X]=

2а

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг3: Составляем уравнение : X M[ X ]→ 1,11=

a

→ a 1,2321→ a* 0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

F (x)

 

 

-x 2

 

 

 

P{x<1}=F(1)=

1

 

1,6

0,46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, x 0

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

 

 

 

0,1

 

 

0,12

 

 

 

 

0,5

0,52

2

 

 

 

1

 

 

1

 

3

 

 

1,5

 

 

 

1,52

2

 

 

2

 

 

22

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

49

 

 

 

 

 

 

 

e

49

 

 

 

 

 

e

 

49

 

 

 

 

 

 

e

49

 

 

 

 

e

 

49

 

 

L(a)=

 

2a

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0,12 2 0,52 3 1 2 1,52 2 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1 0,5

2

1 1,5

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

10

e

4a

 

 

 

16,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

210

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A=const

lnL(a)= ln A 10 ln a 41a 16,01 [ищем max]

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

 

10

 

16,01

 

16,01

 

 

ln L(a) a 0

 

0

10

a* 0,4 Результаты оценок совпадают.

 

 

 

 

 

 

 

a

 

4a2

 

4a

Стр. 81

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 25 (Распределение Кэптейна)

 

 

 

 

 

 

( g ( x) a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (x)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)=

2 e

 

 

 

, x ( ; ), g (x) 0, (σ известна)

Проверьте самостоятельно, что по методу максимального правдоподобия по

случайной выборке оценка параметра a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

5 x a)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

x

 

 

 

x

2

5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

e

 

 

 

 

Пример : f(x)= 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

1

x3

5x

 

 

 

Заметим, что

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (x) x 2 5

 

 

 

 

 

Используя метод

 

максимального

параметра a (n=10)

n

g(xi ) ~ i 1

вычисляется по формуле: a

n

, x ( ; )

правдоподобия, найти точечную оценку

 

xi

 

 

-2

 

-1

 

 

0

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

2

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( xi )

 

 

-

 

 

-

 

 

0

 

 

16/3

38/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38/3

 

16/3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сначала найдем оценку по известной формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

5

 

 

 

 

1

 

76

 

 

 

32

 

38

 

38

 

 

 

 

a*

 

 

g(xi ) ni

 

 

 

 

 

 

16

0

 

 

 

 

 

 

1,8

 

 

 

 

 

 

3

3

3

3

 

 

 

 

 

10 i 1

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

a* 1,8

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия по данной выборке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(

38

a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(

16

a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2)

2

5

 

2

 

 

 

 

3

 

 

3

2

5

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

2

 

 

2

( a)2

 

 

1

5

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

L(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

38

a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16,3 a)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

2

2

5

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(a

2

3(a

2

 

 

2

2(a 16,3)

2

(a

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

)

 

3

)

 

 

2a

 

3

)

 

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

2

 

 

 

L(a)

Ae 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln L( A)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

2

 

 

3(a

16

 

2

2a

2

2(a 16,3)

2

(a

 

38

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(a

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

)

 

Ищем max.

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

 

2

 

38

 

16

 

 

 

 

 

 

 

38

 

ln L(a) a =0

(2(a

) 3(a

) +2a+

2(a 16,3) + (a

) )=0 10a 18

 

 

 

 

 

2 2

3

 

3

3

a* 1,8

 

 

 

 

 

 

Задача 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр. 82

f(x)=

 

a xk , x (0,1)

 

0, x (0,1)

 

 

По методу максимального правдоподобия найти точечные оценки параметров a и b по случайной выборке.

Замечание: Используем основное свойство функции плотности и покажем связь

 

1

x

k 1

 

1

1

 

 

 

 

 

между параметрами: axk dx 1; axk dx 1 a

 

 

1 a

 

1 a k 1

k 1

k 1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Пусть имеем случайную выборку (X1 , X 2 ,..., X n ) . Составляем функцию

правдоподобия:

L(k) (k 1) x1k (k 1) x2k ... (k 1) xnk (k 1)n (x1 x2 ... xn )k

n

ln L(k) n ln(k 1) k ln xi

i 1

Ищем max

ШАГ 2. Необходимое условие extr

 

 

n

n

ln L(k) k

0;

ln xi

 

 

k 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

n

n

 

 

0;

ln xi

; k 1

 

 

 

k 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

n

n

ln xi

i 1

~

 

 

 

1

a

 

 

 

 

1

n

 

 

 

ln xi

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

~

~

 

 

 

1

 

; k

a

1

 

 

 

1

 

1

n

 

 

 

 

ln xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i 1

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дана выборка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

0,1

 

0,3

 

 

0,5

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

 

1

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln xi

 

-2,3

 

-1,2

 

 

-0,69

 

-0,22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a*

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,765

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln xi ni

 

 

 

( 2,3 2,4 2,07

0,88)

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a* 1,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k* a * 1 0,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

1,3 x0,3 , x (0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, x (0,1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x)

 

f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр. 83

 

0, x 0

 

F (x)

1,3

x1,3

 

x1,3 ,0 x 1

 

 

1,3

 

 

 

 

 

1, x 1

 

 

 

Найти: P{0,2<x<0,5} - ?

Решение: P{0,2<x<0,5}=F(0,5)-F(0,2)=0,4-0,12=0,28

Стр. 84

§3 .Задачи для самостоятельного решения

 

 

Задача1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем две состоятельные и несмещённые оценки параметра :

̃

и

̃

 

 

 

 

 

 

 

̃

 

 

̃

 

 

 

 

 

Пусть D[

=25; D[

]=40.

 

 

 

 

1)Какая из оценок более эффективная для параметра ?

 

 

 

̃

 

 

̃

, если =1, n=100

 

 

 

2)Найти М[

и М[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

̃

 

 

 

̃

3)Найти относительную эффективность оценки

относительно оценки .

 

 

Задача 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

̃

оценка параметра

 

 

 

Пусть статистика

 

 

 

 

̃

 

 

; пусть =-0,5.

 

 

 

M[ ]=

 

 

 

 

Определить величину смещения, если n=20.

Задача 3.

Пусть Х генеральная совокупность; M[X]=m=2,5; D[X]=16; n=100.

1)Найти точечные оценки для математического ожидания и дисперсии (записать основные статистики)

2)Указать основные свойства этих статистик (состоятельность и несмещённость)

3)Найти математические ожидания всех статистик для данной выборки.

Задача 4

Пусть Х генеральная совокупность. Имеем две выборки: (Х1;X2;…; ) (Y1;Y2;…; ); ̃ ; ̃ исправленные выборочные дисперсии

Рассматривается статистика ̃=( ) ̃ ( )̃

Пусть генеральная дисперсия D[X]= 2

5) Доказать, что статистика ̃ а)состоятельная и б)несмещённая оценка

генеральной дисперсии

6) Найти M[ ̃ , если n1=70; n2=80; 2=25.

Стр. 85

Задача5.

Х генеральная совокупность (имеем биномиальное распределение с параметром р)

Пусть в каждой серии проводилось 50 испытаний по схеме Бернулли.

Всего было проведено 40 серий при этом ∑

=200.

1)Записать закон распределения генеральной совокупности для произвольной выборки

2)Найти оценку параметра «р» по данной выборке. 3)Для найденного значения р найти P{X=4}

Задача6

Х генеральная совокупность распределена по закону Пуассона с неизвестным параметром .

1)Записать закон распределения по произвольной выборке.

2)Проведена выборка объёма n=200, причём ∑

=600.

Найти оценку параметра .

 

3)Для полученного значения найти P{X 3}.

 

Задача7.

 

Х генеральная совокупность имеет геометрическое распределение. 1)Записать закон распределения по произвольной выборке.

2) Проведена выборка объёма n=300, причём ∑

=900.

Найти оценку параметра р.

3)Для найденного значения р найти p{X=4}

Задача 8

Х генеральная совокупность распределена равномерно на отрезке [a;b].

 

1)Записать закон распределения Х

 

 

2) П в

а вы ка ъё а

, причём ∑

=300; ∑

=900.

Найти оценку параметров a; b

3)Найти для найденных параметров P{X [0;4]}

Стр. 86

Задача 9.

Х генеральная совокупность распределена по показательному закону с неизвестным параметром а.

1)Записать закон распределения Х.

2) Проведена выборка объёма n=600, причём ∑

=200.

Найти оценку параметра р.

3)Для найденного значения параметра «а» найти P{X 2}.

Задача10

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону, причём генеральное математическое ожидание известно m= -1, но неизвестен параметр .

1)Записать закон распределения Х

2) ) П в

а вы ка ъё а

, ∑ (

) =200.

По данной выборке найти оценку параметра .

3)Для найденного параметра найти P{ X-m 0,5}

Задача 11

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону, причём генеральная дисперсия известна D[X]=9, но неизвестен параметр m.

1)Записать закон распределения Х

2) Проведена выборка объёма n=300, причём ∑

= -600.

Найти оценку параметра m.

3)Для найденного параметра найти P{ X-m 1,5}

Задача 12.

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону , причём оба параметра неизвестны X N(m; ).

1) Записать закон распределения Х

2) П в

а вы ка ъё а

, причём ∑

= -400; ∑

=1000.

Найти оценку параметров m и

3)Для найденных значений параметров найти P{ X-m 0,4}

Стр. 87

Задача 13:

 

a e а( x 5) , x 5

f (x)

 

 

0, x 5

 

Задайте выборку сами. Найдите: оценку a ; P{x<6} (два способа).

Задача 14

 

a eа( x 6) , x 6

f (x)

 

 

0, x 6

 

Задайте выборку сами. Найдите: оценку a ; P{x≥-8} (два способа)

Задача 15

 

3a x2 , x [0, b]

f (x)

 

 

0, x [0, b]

 

Задайте выборку и найдите по методу моментов: оценки a и b ; P{X ( , ) }, задайте и

Задача 16

 

2

x, x [0, b]

 

 

f (x)

 

a

 

 

0, x [0, b]

Задайте выборку и найдите по методу моментов: оценки a и b ; P{X ( , ) }, задайте и

Задача 17

 

0, x 0

 

f (x)

x

 

x2

 

 

e

8a

, x 0

 

 

 

 

4a

 

 

 

Задайте выборку и найдите: оценку параметра a ; P{x<2} (два способа)

Задача 18

 

 

 

 

 

 

 

(

1

x4

x2 a)2

 

 

x

3

2x

4

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

2 2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите оценку параметра a

Стр. 88

Задача 19

 

 

4x 1

 

 

(2 x2 x a)2

f (x)

 

e

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите оценку параметра a

Задача 20

 

 

2

a x k , x (0,1)

 

 

f (x)

3

 

 

0, x (0,1)

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите: оценки параметров a и b ; P{ X (0,3;0,6) }

Задача 21

 

2

x k , x (0,1)

 

 

f (x)

 

a

 

 

0, x (0,1)

Задайте выборку и по методу максимального правдоподобия найдите: оценки параметров a и b ; P{X≥0,4}

Задача 22

Пеший курьер предположил, что время ожидания трамвая на остановке подчиняется равномерному закону распределения в интервале [a;b]. В течение 30 дней он вел записи появления трамвая и получил статистический ряд. Х – время ожидания трамвая (в минутах).

По данной выборке найдите оценки параметров a и b , P{X<10}

хi

3

5

7

10

15

20

ni

4

5

6

7

5

3

 

 

 

 

 

 

 

Задача 23

Время ожидания своей очереди на подключение к Интернету подчиняется показательному закону с параметром а. В течение нескольких месяцев работники компании, предоставляющей услуги по подключению к интернету, составляли статистику подключений по 30 клиентам. Х – время ожидания очереди на подключение. По данной выборке найти оценку параметра (2 способа), P{X>1}.

хi

0,1

0,3

0,7

1

1,3

1,7

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

18

10

8

6

4

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 24

Стр. 89

По данной выборке

 

хi

 

-1

 

0

 

1

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pi

 

 

1 / 2 2

 

1/4

 

2 1 2

0,75 2,5 1

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

7

 

5

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценить параметры 1

и 2 .

Задача 25

Менеджер по качеству должен был проверить 50 комплектов деталей для новых автомобилей. Х – СВ (распределение Пуассона), число возможных бракованных деталей в комплекте. После проверки была составлена сводная таблица. По данной выборке найти оценку параметра , P{X<1}.).

хi

0

1

2

3

ni

14

16

12

8

Задача 26

Каждый год в мотозаезде участвует различное количество мотоциклистов. Для того, чтобы организаторы могли подготовить номера участников и узнать, уложатся ли они в интервал от 30 до 40, проанализировали заезды за последние 10 лет. Х – нормальная случайная величина – количество мотоциклистов в заезде. По данной выборке оценить параметры и m (2 способа), P{30<X<40

хi 25 27 35 40 50

ni

1

3

3

2

1

Задача 27

Известно, что доход некоторого собственника-предпринимателя, занимающегося довольно рискованным бизнесом подчиняется закону Парето ( ). Min (обязательный доход) составляет 5 у.е. Чтобы определить, попадает ли доход от скорой сделки в пределы [5;13], он обратился к статистической таблице, которую вел в предыдущие последовательные периоды своей деятельности (n=21), Х – доход предпринимателя.

По данной выборке оценить параметр , изобразить схемы графиков функции плотности и распределения, найти P{5<X<13}.

 

хi

 

 

5

 

 

6

 

 

9

 

 

13

 

 

20

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

6

 

5

 

4

 

3

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 28

Известно, что в «сезон» количество посетителей ресторана подчиняется нормальному закону. Чтобы точнее спрогнозировать затраты на предстоящий период и определить будет ли количество посетителей в пределах [90;110], менеджерсобственник ресторана обратился к статистике посещений его ресторана в «сезонное» время за предыдущие 20 последовательных периодов. Х – количество посетителей в «сезон».

По данной выборке оценить параметры и m ; P{90<X<110}..

Стр. 90

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности