Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M3_8_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

603 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Покажем на конкретном примере, как применяется метод введения новых переменных.

					1		9

							3x y

			2x y
Пример 7. Решите систему уравнений					7		18
					7		18
				2x y			3x y


	Введём новые переменные: u		1		, v		1	.

		2x y				3x y
ных u и v получим систему уравнений
	u 9v 2,
			5.
	7u 18v		5.

Для перемен-

Умножим обе части первого уравнения на 2, получим систему

2u 18v 4,7u 18v 5.

Сложим уравнения

системы,

получим

9u 9, u 1 .

Из

первого

уравнения при u 1 следует, что

Из

условия

1 следует, что

2x y 1 , а

из

условия

2x y

следует, что

3x y 9 . Решаем систему уравнений

3x y

2x y 1,

3x y 9.

Сложим уравнения системы:

5x 10,

x 2, из первого уравнения

получаем 4 y 1, y 3.

Ответ: 2;3 . ▲

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Пример 8. Решите систему уравнений

10x 5y 3z 9,

6x 4 y 5z 1,3x 4 y 6z 23.

Уравняем коэффициенты при x в первом и втором уравнениях, для этого умножим обе части первого уравнения на 3, а второго уравнения – на 5, получаем:

30x 15y 9z 27,30x 20 y 25z 5.

Вычитаем из второго уравнения полученной системы первое уравнение, получаем: 35y 16z 22.

Из второго уравнения исходной системы вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, получаем: 4y 8y 5z 12z 1 46,

12y 7z 45.

Теперь решаем новую систему уравнений:

35y 16z 22,12 y 7z 45.

К первому уравнению новой системы, умноженному на 7, прибавляем второе уравнение, умноженное на 16, получаем:

35 7 y 12 16y 22 7 45 16,

245y 192y 154 720, 437 y 874, y 2. Подставляем y 2 в уравнение 12y 7z 45 , получаем: 24 7z 45, 7z 21, z 3.

Теперь подставляем y 2, z 3 в первое уравнение исходной си-

стемы, получаем: 10x 5 2 3 3 9, 10x 10 9 9, 10x 10, x 1.

Ответ: 1;2;3 . ▲

§ 3. Решение систем с параметром и с модулями

ax 4 y 2a,

Рассмотрим систему уравнений

x ay a.

В этой системе, на самом деле, три переменные, а именно: a, x, y . Неизвестными считают x и y , a называют параметром. Требуется найти решения x, y данной системы при каждом значении параметра a.

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Покажем, как решают такие системы. Выразим переменную x из второго уравнения системы: x a ay. Подставляем это значение для x в первое уравнение системы, получаем:

a a ay 4y 2a,

2 a 2 a y a 2 a .

Если a 2, то получаем уравнение 0 y 0 . Этому уравнению удовлетворяет любое число y, и тогда x 2 2y , т. е. при a 2 пара чисел 2 2y; y является решением системы. Так как y может быть любым числом, то система при a 2 имеет бесконечно много решений.

Если a 2 , то получаем уравнение

0 y 8 . Это уравнение не

имеет ни одного решения.

Если теперь a 2 , то y

a 2 a

2 a 2 a

2 a

x a ay a

2 a

Ответ: При a 2 система имеет

бесконечно много

решений

вида

2 2 y; y , где y любое число;

при a 2 система не имеет решений;

при a 2, система имеет единственное решение

;

. ▲

2 a

Мы решили эту систему и установили, при каких значениях параметра a система имеет одно решение, когда имеет бесконечно много решений и при каких значениях параметра a она не имеет решений.

Пример 1. Решите систему уравнений

2 x 3 y 1 3,

3x 2 y 5.

Из второго уравнения системы выражаем x через y . получаем

x 2 y 5 , подставляем это значение для x в первое уравнение систе-

мы, получаем:

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

2	2 y 5	3	y 1	3;	4	y	5	3	y 1	3.

3					3		2


																							5																						1								y
																							-2
			Выражение											y		5			0				при				y			5		.				Если							y						5		, то					y	5	y			5	;
																5														5																			5								5				5

																2														2																			2						2					2
если						y					5	, то			y			5		y						5		.
											5							5								5
																		2								2
									2									2								2
			Выражение											y 1 0, если													y 1. Если													y 1, то											y 1			y 1,						а если
			Выражение											y 1 0, если													y 1. Если													y 1, то											y 1			y 1,						а если
	y 1, то								y 1				1 y.																	y				5			y							5
	y 1, то								y 1				1 y.

			Если						y 1,					то			y 1					y 1 и																								,		получаем уравнение:


	4																																	2									2
	4						5		3 y 1												4					10																			5							10
			y															3,							y				3y			3						3,										y						,		y 2 .				Тогда
			y															3,							y				3y			3						3,										y						,		y 2 .				Тогда
	3						2														3					3																			3							3
	x			1		2 2 5 3 . Число																		2 1 ,					так что пара														3;2								является решением
	x					2 2 5 3 . Число																		2 1 ,					так что пара														3;2								является решением
		3
системы.
			Пусть							теперь								5		y 1,								тогда							y 1						1 y;										y		5			y			5	. Для



																		2													4								5														2			2
																															4								5				3y 3 3,
нахождения y получаем уравнение																																	y
нахождения y получаем уравнение																																	y
																															3								2
																	4		y		10				3y 6,						13				y				8			, y						8		;
																			y						3y 6,										y							, y								;
																3					3									3									3								13
																			x		1		2 y			5				1				16			5								27				.

																					3									3				13											13
																					3									3				13											13
Число								8				больше									5				, но				меньше,										чем 1,										поэтому пара											чисел


							13														2
		27			;	8			является решением системы.


		13				13

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

					5								4			5
	Если			y		,	то		получаем уравнение:					y				3y 3		3,
	Если			y		,	то		получаем уравнение:					y				3y 3		3,
					2								3			2
	4		10				5		28		28									5
		y		3y 6,				y		, y		. Это значение больше,						чем			,
		y		3y 6,				y		, y		. Это значение больше,						чем			,
	3		3				3		3		5									2
поэтому решений нет.
	Таким образом, система имеет два решения 3;2														27			8
														и			;		. ▲
														и			;		. ▲
															13			13

§ 4. Решение задач с помощью систем уравнений

Пример 1. Путь от города до посёлка автомобиль проезжает за 2,5 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/ч, то за 2 часа он проедет путь на 15 км больший, чем расстояние от города до посёлка. Найдите расстояние от города до посёлка.

Обозначим через S расстояние между городом и посёлком и через V скорость автомобиля. Тогда для нахождения S получаем систему из двух уравнений

2,5V S,

V 20 2 S 15.

Из первого уравнения V				S		2	S , подставляем это значение V				во
Из первого уравнения V				2,5	5		S , подставляем это значение V				во
				2,5	5
	2	S 20	2	S	15,			1	S 25,	S 125.
второе уравнение:
второе уравнение:
	5							5

Ответ: 125 км. ▲

Пример 2. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на 27 больше исходного. Найдите эти числа.

Пусть данное число ab , т. е. число десятков равно a , а число единиц равно b . Из первого условия задачи имеем: a b 15 . Если из числа ba вычесть число ab , то получится 27 , отсюда получаем второе уравнение: 10b a 10a b 27.

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Решаем систему уравнений

a b 15,	a b 15,

9a 9b 27,	a b 3.

Сложим уравнения последней системы, получаем: 2a 12, a 6, тогда b 9. Заданное число 69, второе число 96.

Ответ: 69 и 96. ▲

Пример 3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получилось 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Обозначим через x массу стали с 5% содержанием никеля и через y массу стали с 40% содержанием никеля. Тогда x y 140 . В x тон-

нах стали содержится 0,05x никеля,						а в y тоннах стали содержится
0,4 y никеля. Масса никеля равна 0,05x 0,4y							и составляет 30% от
140 т , т. е.		3	140 т 42 т . Получили второе уравнение
140 т , т. е.	10		140 т 42 т . Получили второе уравнение
	10
					0,05x 0,4y 42.
Умножим	обе			части уравнения на		20, получим: x 8y 840 . Для
нахождения x и y получили систему уравнений
					x y 140,
						840.
					x 8y	840.
Вычтем		из		второго	уравнения	первое	уравнение, получим:
7 y 700,		y 100, тогда			x 140 y 40.

Ответ: 40 т, 100 т. ▲

Пример 4. Оператор ЭВМ, работая с учеником, обрабатывает задачу за 2 ч 24 мин. Если оператор будет работать 2 ч, а ученик 1 ч, то будет

выполнено 2 всей работы. Сколько времени потребуется оператору и

ученику в отдельности на обработку задачи?

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Обозначим всю работу за 1, производительность оператора за x и производительность ученика за y . Учитываем, что

2 ч 24мин 2 52 ч 125 ч.

Из первого условия задачи следует, что x+y 125 1. Из второго условия задачи следует, что 2x y 23 . Получили систему уравнений

x+y 12		1,
	5
		2 .
2x y		2 .
		3

Решаем эту систему методом подстановки:

y	2	2x;				2				12					2	12			12		8
	3		x+			3	2x				1;				x			1;		x		1;
			x+				2x			5	1;				x			1;	5	x	5	1;
										5					3	5			5		5
				12	x			3	; x			1	;	y 2			1	1 .
			5				5				4					3	2	6
			5				5				4

Ответ: Для оператора понадобится 4 часа (1: 14 4 ), а ученику – 6 ча-

сов (1: 16 6 ). ▲

Контрольные вопросы

1(4). Постройте графики уравнений:

а) x 2y 1;

б) x y y 1 x 2 0;

в) y x 1 2;

г) x y 2 2y x 1.

2(2). Решите систему уравнений методом подстановки:

2x y 1,x 2 y 1.

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

3(2). Решите систему уравнений методом сложения:

2x 3y 1,

3x 2 y 6.

4(2). Найдите точку пересечения прямых:

y 2 x 2 1 0 и y 2 3 x 1 2 0.

5(3). Сколько решений имеет система уравнений:

3x 2 y 1,

а) 9x 6 y 3;

5x 7 y 4,

б) 2x 3y 1;

4x 3y 5,

в) 8x 6 y 3?

6(2). При каких значениях параметра a система

2x a 1 y 3,

4x 5y 6

имеет бесконечно много решений?

7(2). При каких значениях параметра a система

x 2 y 1,

2x 4 y a 2

не имеет решений?

8(3). Решите систему уравнений:

3x y 1,x y 3.

9(3). Постройте график уравнения:

2x 3y 1.

10(3). Решите в целых числах уравнение: x y x 2 5.

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

Задачи

Решите системы уравнений:

1(3).

2(4).

3(3).

4(4).

	2						3	1,


				1			x y 1
x y				1			x y 1
	1						2
	1						2	3.
								3.
				1			x y 1
x y				1			x y 1
		x y			1,
		x y			1,

		x	y			3.
		x	y			3.

x y z 2,2x y z 1,

x 2 y z 2.

При всех значениях параметра a решите систему уравнений:

x a 1 y 1,

a 2 x 2 4 3a y 2a.

5(4). В двух баках содержится 64 л бензина. Если из первого бака перелить во второй 20% имеющегося в нём бензина, а затем из второго обратно в первый 20% оказавшегося в нём бензина, то в обоих баках будет бензина поровну. Сколько бензина в каждом баке было первоначально?

6(4). Если двузначное число сложить с утроенной суммой его цифр, то получится 127. Если же между цифрами этого двузначного числа вписать цифру 2 и полученное трёхзначное число разделить на искомое двузначное, то в частном получится 9 и в остатке 18. Найти двузначное число.

7(4). Два фрезеровщика, из которых один работал 5 дней, а другой 8 дней, изготовили 280 деталей. Применив новые фрезы, первый повысил производительность своего труда на 62,5%, а второй – на 50%, и уже за 4 дня совместной работы они изготовили 276 деталей. Сколько деталей стал изготавливать каждый фрезеровщик за один день?

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

2014-2015 уч. год, №3, 8 кл. Математика. Системы уравнений

8(4). Из А в В вышел пешеход. Спустя 1 час 24 мин в том же направлении из А выехал велосипедист и через час был на расстоянии 1 км позади пешехода, а ещё через час велосипедисту оставалось до В вдвое меньшее расстояние, чем пешеходу. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что расстояние АВ равно 27 км.

9(4). В два бассейна, один из которых содержал 30 м3 воды, а другой

– 140 м3, поступало равномерно различное количество воды. Через 25 мин в первом бассейне было только на 10 м3 воды меньше, чем во втором, а ещё через 1 час 35 мин в нём было уже в полтора раза больше воды, чем во втором бассейне. Сколько кубометров воды поступало в каждый бассейн за 1 мин?

10(4). Решите в целых числах уравнение:

2xy 3x 2y 1.

2014, ЗФТШ МФТИ, Яковлева Тамара Харитоновна. Лунина Мария Александровна

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.201521 Мб142M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688 Кб89M1_10_14.pdf
#
03.06.2015505 Кб141M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015582 Кб60M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849 Кб80M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603 Кб62M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364 Кб69M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654 Кб62M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653 Кб87M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441 Кб75M4_8_2010.pdf
#
03.06.2015463 Кб94M5_8_2010.pdf

y	2	2x;				2				12					2	12			12		8
	3		x+			3	2x				1;				x			1;		x		1;
			x+				2x			5	1;				x			1;	5	x	5	1;
										5					3	5			5		5
				12	x			3	; x			1	;	y 2			1	1 .
			5				5				4					3	2	6
			5				5				4

y	2	2x;				2				12					2	12			12		8
	3		x+			3	2x				1;				x			1;		x		1;
			x+				2x			5	1;				x			1;	5	x	5	1;
										5					3	5			5		5
				12	x			3	; x			1	;	y 2			1	1 .
			5				5				4					3	2	6
			5				5				4

y	2	2x;				2				12					2	12			12		8
	3		x+			3	2x				1;				x			1;		x		1;
			x+				2x			5	1;				x			1;	5	x	5	1;
										5					3	5			5		5
				12	x			3	; x			1	;	y 2			1	1 .
			5				5				4					3	2	6
			5				5				4