Задачи из программы2013_ответы и подсказки

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(в) Предположим теперь, что фирмы конкурируют путем одновременного выбора уровня выпусков. Укажите, какая модель дуополистической конкуренции имеет место в данном случае, и найдите равновесные выпуски фирм и прибыль обеих фирм.

(г) Сравните равновесные уровни выпусков, найденные в пунктах (б) и (в). Приведите графическую иллюстрацию в пространстве выпусков.

(д) Если бы фирмы, конкурирующие путем одновременного выбора уровня выпуска, сумели объединиться в картель, сколько суммарной прибыли они бы выиграли?

Ответ: Рассмотрим общий случай, когда cj ( y j ) cy j , p a bY , где a c 0 , b 0 .

(а) В случае совершенной конкуренции в равновесии p c и совокупный выпуск составляет Y a b c (выпуск отдельной фирмы однозначно не определен).

(б) Модель Штакельберга. Равновесные выпуски: первой фирмы (лидера) y1 a2bc , второй фирмы (ведомой) y2 a4bc .

(г) Равновесие в модели Курно характеризуется пересечением кривых реакций, в модели Штакельберга – касанием кривой реакции второй фирмы (ведомой) и изпрофиты первой фирмы (лидера)

2 a c 2 .

9b

Следовательно, объединившись в картель фирмы могли бы выиграть в суммарной прибыли:

a c 2 .

36b

10. Рассмотрите рынок Интернет-услуг, на котором действуют две фирмы. Функция совокупного спроса на услуги фирм имеет вид Y 20 p , где p – цена за 1 Мбайт данных в

ден. ед. Будем считать, что фирмы имеют одинаковые издержки производства, которые составляют 0,5 ден. ед. за 1 Мбайт данных. Фирмы одновременно и независимо назначают цены, а потребители выбирают услуги той фирмы, которая предложила наименьшую цену. В случае одинаковых цен фирмы поделят клиентов поровну. Каковы равновесные цены?

Ответ: Модель Бертрана, равновесные цены равны предельным издержкам, равным 0,5.

11. Рассмотрите отрасль, в которой действуют две фирмы, производящие однородную продукцию, технологии которых описываются одинаковыми функциями издержек cj ( y j ) 2 y j ,

j 1, 2 . Обратная функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид: p(Y ) 10 Y , где Y y1 y2 - совокупный выпуск отрасли. Предположим, в отрасли вводится

31

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

налог на производство каждой единицы продукции t 3 . Как изменится равновесная цена в результате введения налога, если

(а) фирмы совершенно конкурентны?

(б) фирмы конкурируют путем одновременного выбора выпусков? (в) фирмы конкурируют путем одновременного установления цен? (г) фирмы объединяются в картель?

Ответ:

(а) p t ; (б) p 23 t ; (в) p t ; (г) p 12 t .

12. Рассмотрите модель конкуренции по Бертрану, изложенную на лекции, для случая трех фирм, производящих однородную продукцию и имеющих одинаковые постоянные предельные

издержки c 0 . Будет ли ситуация, когда p1 p2 c , p3 c , где p j – цена, установленная фирмой j , равновесной?

Ответ: Да, данная ситуация является равновесной, поскольку прибыльное отклонение ни одной из фирм невозможно.

13. *Рассмотрите дуопольную отрасль, в которой фирмы, имеющие функции издержек c1( y1 ) cy1 , где c 0 , и c2 ( y2 ) y22 / 2 , производят однородную продукцию. Предположим, что

сначала первая фирма (лидер) устанавливает цену, а затем вторая фирма (ведомый), принимая эту цену заданной, выбирает объем выпуска, максимизирующий прибыль. Пусть функция совокупного спроса на продукцию отрасли имеет вид: D( p) a bp , где a, b 0 . Найдите

равновесие и изобразите графически.

14. Рассмотрите отрасль, в которой действуют две фирмы, производящие однородную продукцию. Технологии фирм описываются дифференцируемыми функциями издержек cj ( y j ) ,

j 1, 2 . Обратная функция спроса на продукцию отрасли имеет вид: p(Q) 2 Y . Найдите равновесие картеля в следующих случаях:

(а) c1( y1) 0.5y1 , c2 ( y2 ) y2 ;

(б) c1(q1 ) y12 , c2 ( y2 ) 2 y22 .

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения», задача 14 из раздела 9)

(а) Равновесие картеля: y1k 43 , y2k 0 .

(б) Равновесие картеля: y1k 25 , y2k 15 .

Раздел 7. Провалы рынка: общественные блага

1. Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых представимы функциями полезности вида uk x, mk vk x mk ,

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

частного блага и не имеет запаса общественного блага. Общественное благо производится фирмой, которой для производства y единиц общественного блага требуется затратить

c y y частного блага, где 0 .

(а) Сформулируйте уравнение Самуэльсона для данной экономики.

Ответ:

(а) Для внутреннего Парето-оптимального распределения выполнено уравнение Самуэльсона:

v A xˆ vB xˆ c xˆ , где xˆ 0 Парето-оптимальный уровень потребления общественного блага. В данном случае v A xˆ vB xˆ .

(б) xˆ ~x .

См. решение аналогичных задач в учебном пособии Левина, Покатович, Микроэкономика: задачи и решения, стр.287-288.

2. Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным x и частным m ) и двумя потребителями (А и В), предпочтения которых строго монотонны (т.е. функции полезности возрастают по каждому благу). Технология позволяет произвести общественное благо из частного: для производства y единиц общественного блага требуется затратить с( y) единиц

частного блага. Пусть в некотором внутреннем распределении (m A, m B , x, y) выполнено: предельные нормы замещения между общественным и частным благом для потребителя А равна MRSxA,m (x, m A ) 3 и c ( y) 7 . Покажите, что данное распределение не является Парето-

оптимальным, построив Парето-улучшение, если (а) MRSxB,m (x, m B ) 3; (б) MRSxB,m (x, m B ) 7 .

Подсказка: воспользуйтесь уравнением определением предельной нормы замещения и предельных издержек, а также уравнением Самуэльсона.

Решение приведено в учебном пособии Балакина, Левина, Покатович, Попова, 2013 г.

3. Рассмотрите экономику с тремя потребителями, имеющими квазилинейные функции полезности вида uk (x,mk ) 2k ln(x) mk , где k 1, 2, 3, x - количество общественного блага, а

mk - потребление частного блага k-ым потребителем. В экономике есть одна фирма, которая производит общественное благо из частного в соответствии с функцией издержек c( y) y2 , где

(Поскольку в задаче не даны запасы частного блага у потребителей и доли участия в прибыли фирмы, то остальные параметры равновесия – потребление частного блага каждым потребителем – найти невозможно. Можно доопределить условия, предположив, например, что каждый потребитель имеет первоначальный запас частного блага равный 10 и прибыль фирмы

общественного блага не является Парето-оптиммальным, в Парето-оптимуме x 6 .

33

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

4. Рассмотрите экономику, в которой 2 потребителя имеют квазилинейные функции полезности

экономике есть одна фирма, которая производит общественное благо из частного: для производства y единиц общественного блага фирме необходимо затратить c( y) y2 единиц

A 3/ 4 .

(а) Запишите определение равновесия с добровольным финансированием. (б) Выведите условие первого порядка для задачи фирмы.

(в) Выведите условие первого порядка для задачи потребителей.

(г) Кто из потребителей будет финансировать покупку общественного блага? Обоснуйте свой ответ.

(д) Найдите равновесие с добровольным финансированием.

(е) Будет ли найденное равновесное распределение Парето-оптимальным? Аргументируйте. Найдите множество внутренних Парето-оптимальных распределений, чтобы проверить свой ответ.

34

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

оптимальном распределении xˆ2 6 .

5. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным и общественным) и тремя потребителями (1, 2, 3), имеющими функции полезности вида uk (x,mk ) k2v x mk , k 1, 2, 3, причем

v (x) 0 , v (x) 0 , где x - количество общественного блага, а mk – потребление частного

блага k-ым потребителем. В экономике есть одна фирма, принадлежащая потребителю 1, которая производит общественное благо из частного в соответствии с функцией издержек c( y) cy , c 0 . Известно, что у потребителей нет запаса общественного блага, но каждый

владеет положительным запасом частного блага.

(а) Приведите определение равновесия с добровольным финансированием в данной экономике.

(б) Пусть в экономике существует внутреннее равновесие с добровольным финансированием. Охарактеризуйте уровень общественного блага во внутреннем равновесии. Будет ли в этом равновесии перепроизводство или недопроизводство общественного блага по сравнению с Парето-оптимумом?

(в)* Приведите определение равновесия Линдаля в данной экономике. Охарактеризуйте уровень общественного блага во внутреннем равновесии Линдаля.

Ответ:

(а) См. определение приведенное в предыдущей задаче.

v (x) 0 ), то x x , т.е. в равновесии недопроизводство общественного блага по сравнению с Парето-оптимумом.

35

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

6. Рассмотрите экономику, в которой 2 потребителя имеют квазилинейные функции полезности

экономике есть одна фирма, которая производит общественное благо из частного. Для производства y единиц общественного блага требуется затратить c( y) y3/ 2 единиц частного. Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного благаmA 80,5 и mB 100,5 . Фирмой полностью владеет потребитель В. Существуют ли цены, при

равновесии с добровольным финансированием? Если да, то найдите их, если нет, то объясните почему.

7. Рассмотрите экономику с двумя благами (частным благом m и общественным благом x ) и

обладают положительными запасами частного блага. В экономике есть фирма, производящая из единицы частного блага единицу общественного блага. При каком соотношении первоначальных запасов потребителей потребление общественного блага в равновесии с добровольным финансированием финансирует только потребитель А?

Ответ:

mB (1 ) mA .

См. Левина, Покатович, Микроэкономика: задачи и решения (задача 3 стр. 289).

8. *Рассмотрите экономику, в которой 2 потребителя (А и В) имеют квазилинейные функции

потребляемого общественного блага, а mk потребление частного блага k-ым потребителем, k A, B . В экономике есть одна фирма, которая производит общественное благо из частного.

Для производства y единиц общественного блага требуется затратить с( y) ( y)3/ 2 единиц частного. Начального запаса общественного блага в экономике нет. Начальные запасы частного блага mA mB 10 . Фирмой полностью владеет потребитель В.

(а) Запишите определение равновесия Линдаля. (б) Найдите равновесие Линдаля.

(в) Рассмотрите распределение ~x ~y 4 , m~ A 5 , mB 7 , m~ 8 , где m~ - объем использования

частного блага фирмой в качестве фактора производства. Если возможно, реализуйте его как равновесное по Линдалю в экономике с трансфертами. Если нет - объясните, почему.

9. *Рассмотрите экономику с двумя благами (общественным и частным) и с тремя потребителями (А, В и С), предпочтения которых строго монотонны. Фирмой владеют потребители В и С в равных долях. Технология фирмы позволяет произвести y единиц

36

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

общественного блага используя c y y22 единиц частного. Потребители владеют начальными

запасами частного блага mA 7 , mB 25 и mC 30 . Начальных запасов общественного блага в

экономике нет. Известно, что во внутреннем равновесии Линдаля цены частного и общественного благ соответственно ~pm 2 и ~px 8 . Цены Линдаля для потребителей А и В,

соответственно, ~A 2 и ~B 4 . Определите недостающие параметры равновесия Линдаля, которые возможно, используя имеющуюся информацию.

Раздел 8. Провалы рынка: асимметричная информация

1. Рассмотрите модель неблагоприятного отбора на рынке труда в экономике с тремя типами работников с производительностью 10, 20 и 30, соответственно. В каждой группе одинаковое количество работников. Их доход при альтернативной занятости составляет 5, 15 и 25, соответственно.

(а) Найдите равновесие при симметричной информации.

(б) Найдите совершенно конкурентное (вальрасовское) равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями, если фирмы не могут наблюдать тип работников.

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левиной-Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»)

(а) Равновесие при симметричной информации будет следующим: 1* 10 , 2* 20 , 3* 30 и заняты работники всех трех типов.

(б) Два равновесия с рациональными ожиданиями: (i) равновесие с заработной платой * 15 ,

в котором заняты работники первых двух типов; (ii) равновесие с заработной платой * 5 , в котором заняты работники только первого типа.

2. Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке труда. Пусть на рынке присутствуют работники трех типов с производительностью 1 20 , 2 23 и

3 26 , где 0 , и доходе при альтернативной занятости r1 20 , r2 23 и r3 26 , соответственно. Доля работников каждого типа одинакова и не зависит от типа работника.

(а) Найдите равновесие при симметричной информации.

(б) Предположим теперь, что работники знают свой тип, а работодателю он неизвестен. При каких значениях параметра существует конкурентное равновесие с рациональными

ожиданиями, в котором заняты

(i)работники всех типов;

(ii)работники первого и второго типов;

(iii)работники первого типа?

Будут ли найденные равновесия единственными?

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»)

(а) В равновесии заняты работники всех трех типов с заработной платой на уровне производительности.

(б)

при 1.5 существует единственное равновесие, в котором заняты работники только первого типа и равновесная заработная плата равна 20 ;

37

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

при [1.5, 3) существует два равновесия, в которых заняты либо работники только первого типа (с равновесной заработной платой 20 ), либо работники первых двух типов (с равновесной заработной платой 21.5 );

при [3, 4.5) существует два равновесия, в которых заняты либо работники только первых двух типов (равновесная заработная плата в этом случае равна 21.5 ), либо работники всех трех типов (с равновесной заработной платой 23 );

при 4.5 существует единственное равновесие в котором заняты работники всех трех типов и равновесная заработная плата составляет 23 .

3.Пусть в экономике с двумя типами работников с производительностью H 25 и L 20

низкопроизводительных работников в три раза больше высокопроизводительных. Доход высокопроизводительных и низкопроизводительных работников при альтернативной занятости

составляет rH 20 и rL 30 , соответственно. Предположим, фирмы не могут наблюдать тип

работников. Найдите совершенно конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»)

Равновесие с рациональными ожиданиями: * 25 и заняты только высокопроизводительные работники.

4. Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке страхования. Предположим, что страховые компании совершенно конкурентны, нейтральны к риску и не несут операционных издержек. Рассмотрите индивидов, имеющих одинаковое первоначальное богатство w $100 и одинаковые предпочтения представимые функцией ожидаемой

полезности с элементарной функцией полезности u(x) x . Если произойдет несчастный случай, то потери составят L $36 . Риск несчастного случая различен: для одной половины индивидов вероятность его наступления равна L 1/ 6 , а для другой половины – H 8 / 9 .

Предположим, что индивиды могут страховаться только на полную стоимость потерь (либо не страховаться вообще).

(а) Найдите равновесие/равновесия при симметричной информации.

(б) Предположим теперь, что страховые компании не могут различить индивидов с высоким и низким риском. Найдите конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»)

(а) В равновесии при симметричной информации агенты с низкой степенью риска (агенты типа L ) приобретают контракты полного страхования по цене pL L L 366 6 , а агенты с высокой степенью риска приобретают контракты полного страхования по более высокой цене pH H L 89 36 32 . Как нетрудно проверить, индивиды обоих типов будут приобретать

страховку по такой цене, поскольку это позволит им достичь более высокого уровня благосостояния, чем если бы они не страховались.

38

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

(б) В равновесии с рациональными ожиданиям при асимметричной информации цена страхового контракта равна p* 32 и страхуются только агенты с высоким риском. Другими

словами, асимметрия информации приводит к тому, что полностью разрушается рынок страховых услуг для агентов с низким риском, т.е. имеет место проблема неблагоприятного отбора.

5. Рассмотрите следующий вариант модели неблагоприятного отбора на рынке страхования. Предположим, что страховые компании совершенно конкурентны, нейтральны к риску и не несут операционных издержек. Рассмотрите индивидов рискофобов с одинаковыми предпочтениями, обладающих одинаковым первоначальным богатством w и сталкивающихся с одинаковыми потерями L , 0 L w , при наступлении несчастного случая. Предположим, что вероятность несчастного случая является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке [ , ] [0, 1]. Считайте, что индивиды могут страховаться только на полную стоимость

потерь (либо не страховаться вообще), и страховые компании не могут различить индивидов. (а) Пусть w 20 , L 15 и u(x) 1/ x . Найдите конкурентное равновесие/равновесия с рациональными ожиданиями.

(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если L 8 ?

Ответ: (решение изложено в учебном пособии Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»)

(а) Два равновесия с рациональными ожиданиями: 1) равновесие при p* L 15 , где страхуются только агенты с вероятностью потерь равной единице; 2) равновесие при p* 10 ,

где страхуются все агенты с вероятностью потерь 13 .

(б) Существует единственное равновесие с рациональными ожиданиями, где p* 8 и

страхуются только те индивиды, для которых вероятность наступления несчастного случая равна единице.

6. *Рассмотрите экономику с работниками двух типов: высокопроизводительными (Н) и низкопрооизводительными (L) с производительностью H и L , соответственно, причем

H L . Каждый работник знает свой тип, а фирмы знают лишь, что в экономике доля

высокопроизводительных работников равна . В экономике две фирмы, которые одновременно предлагают работникам набор контрактов. В каждом контракте специфицируется уровень образования e и соответствующая оплата . Будем считать, что образование не влияет на производительность труда, но для работников связано с издержками, которые выше для низкопроизводительных работников. Затем каждый работник из предложенного набора выбирает контракт, который максимизирует его функцию полезности: ut ( , e) ct (e) , где

ct (e) - издержки, связанные с получением образования e , причем ct (0) 0, ct (e) 0, ct (e) 0 , cH (e) cL (e) и cH (e) cL (e) . Предположим, что альтернативная полезность работников обоих типов равна нулю.

(а) Найдите равновесные контракты при симметричной информации и изобразите графически. (б) Покажите, что при асимметричной информации не существует объединяющего равновесия. (в) Найдите разделяющее равновесие при асимметричной информации.

(г) Покажите, что разделяющее равновесие может не существовать.

39

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

7. *Рассмотрите экономику с работниками двух типов: высокопроизводительными ( H ) и низкопроизводительными ( L ) с производительностью H 16 и L 4 , соответственно. В случае, если работник не работает, то альтернативная полезность для работника типа H составляет uH 10 , а для работника типа L uL 3 . Рассмотрите игру, где сначала работники

выбирают уровень образования e . Затем, фирмы, наблюдая уровень образования, выбранный каждым работником, одновременно и независимо предлагают схемы заработной платы. После чего работники решают работать или нет, и если работать, то в какой фирме. Функции полезности работников имеют вид: ut ( , e) e / t , t L, H . Образование не влияет на

выпуск, который производят работники.

(а) Найдите равновесие при симметричной информации.

В пунктах (б)-(в) считайте, что каждый работник знает свой тип, а фирмы знают лишь, что в экономике доля работников типа H равна .

(б) Укажите любое разделяющее равновесие.

(в) Укажите все (в терминах образования) разделяющие равновесия в этой модели.

8. *(Модель Ротшильда-Стиглица) Рассмотрите рынок страхования, на котором действуют две нейтральных к риску страховых компании (будем считать, что страховые компании не несут операционных издержек). На рынке есть два типа индивидов-рискофобов ( t L, H ), с

одинаковыми предпочтениями, обладающих одинаковым первоначальным богатством w и сталкивающихся с одинаковыми потерями L , 0 L w , при наступлении несчастного случая, но различающимися вероятностью наступления страхового случая: Однако вероятность несчастного случая у потребителей различна: H L . Страховые компании одновременно

предлагают потребителям набор страховых контрактов, в которых специфицируется сумма, которую потребитель платит за страховку и величина выплаты при наступлении страхового случая. Затем потребители решают, контракт какой страховой компании приобрести. Предположим, что потребители не могут купить больше одного страхового полиса.

(а) Найдите равновесные контракты при симметричной информации и изобразите графически. (б) Покажите, что объединяющее равновесие не существует.

(в) Укажите разделяющее равновесие при асимметричной информации и приведите графическую иллюстрацию.

9. *Рассмотрите следующую модель со скрытыми действиями. Владелец фирмы нейтрален к риску. Пусть возможно два уровня прибыли (без учета заработной платы, выплачиваемой

менеджеру): 1 0 и 2 10 . Уровень усилий менеджера может принимать три значения:

(а) Найдите оптимальный контракт при наблюдаемых усилиях.

(б) В случае ненаблюдаемых усилий возможно ли реализовать уровень усилий eM ? (в) Найдите оптимальный контракт при ненаблюдаемых усилиях.

40

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!