n1

E = 100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость v частицы.

15.45.Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U

=800 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное (B = 50 мТл) и электрическое поля. Определить напряженность Е электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно.

15.46.Протон влетает со скоростью v = 100 км/с в область пространства, где имеются электрическое (E = 210 В/м) и магнитное (B = 3,3 мТл) поля. Напряженность Е электрического поля и магнитная индукция В магнитного поля совпадают по направлению. Определить ускорение протона для начального момента движения в поле, если направление вектора его скорости V: 1) совпадает с общим направлением векторов Е и В; 2) перпендикулярно этому направлению.

15.47.Пучок протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородные поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с Е = 120 кВ/м и В= 50 мТл. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке I= 0,80 мА.

§16. Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля

Основные формулы

Магнитный поток Ф через плоский контур площадью S равен:

а) в случае однородного поля

Ф = BS cosα ,

где α – угол между вектором нормали n к плоскости контура и вектором магнитной индукции B ;

б) в случае неоднородного поля

Ф = ∫S Bn dS ,

51

где интегрирование ведется по всей поверхности S. Потокосцепление, то есть полный магнитный поток,

сцепленный со всеми витками контура, равно

Ψ = NФ ,

где N – число витков контура, Ф – магнитный поток сквозь один виток.

Работа по перемещению замкнутого контура с током в постоянном магнитном поле равна

A = I∆Ф,

где I – сила тока в контуре; ∆Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограничивающую контур.

Основной закон электромагнитной индукции имеет вид

εi = −ddtΨ .

Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью V в однородном магнитном поле с индукцией B, равна

U = BlV sinα ,

где α – угол между направлениями векторов скорости и индукции магнитного поля;

б) электродвижущая сила индукции, возникающая в рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле, равна

εi = NBSωsinωt ,

где N – число витков в рамке; В – индукция поля; S – площадь одного витка; ω – угловая скорость вращения рамки; t – время.

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении потокосцепления ∆ψ , равен

q = ∆ΨR ,

гдеR – сопротивлениеконтура.

Индуктивностьконтураравна

L = ΨI ,

гдеI – силатокавконтуре; Ψ– потокосцеплениесамоиндукции.

52

Электродвижущая сила самоиндукции, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, определяется по формуле

εs = −L dIdt .

Индуктивностьсоленоидаравна

L = µµ0 n2V ,

где n – число витков соленоида на единице его длины; V – объём соленоида; µ – магнитная проницаемость среды внутри соленоида,

которуюможноопределитьизсоотношения µ = B .

µ0 H

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлениемR ииндуктивностьюL, равно:

а) послезамыканияцепи

I = εR (1 −e−(R / L)t ) ,

где ε – электродвижущаясилаисточника; б) послеразмыканияцепи

I = I0e−( R / L)t ,

где I0 – начальноезначениесилытокавцепи.

Энергия магнитного поля, создаваемого током I в замкнутом контуресиндуктивностьюL , определяетсяпоформуле

= LI 2 . Wm 2

Объёмнаяплотностьэнергиимагнитногополяравна

ω = BH2 = µµ02H 2 = 2µµB2 0 .

Задачи

16.1.Найти магнитный поток Ф, создаваемый соленоидом сечением S = 10 см2, если он имеет n = 10 витков на каждый сантиметр его длины при силе тока I = 20 А.

16.2.Плоский контур, площадь S которого равна 25 см2, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,04 Тл. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол β = 30° с линиями индукции.

16.3.Соленоид длиной l = 1 м и сечением S = 16 см2

53

проводом, по которому течет ток I = 100 А. Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона параллельна ему и находится на расстоянии l = 10 см от провода. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.

16.5. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,01 Тл находится прямой провод длиной l = 8 см, расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течет ток I = 2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние S = 5 см. Найти работу А сил поля.

16.6. Плоский контур, площадь S которого равна 300 см2, находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддерживается неизменный ток I = 10 А, Определить работу A внешних сил по перемещению контура с током в область пространства, магнитное поле в которой отсутствует.

16.7. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной a = 10 см, течет ток I = 20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол α = 200 с линиями индукции однородного магнитного поля (B = 0,1 Тл). Вычислить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.

16.8. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода, радиусом R = 10 см, течет ток I = 100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией B = 0,1 Тл по направлению, совпадающему с индукцией В1 собственного магнитного поля кольца. Определить работу А внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь.

16.9. Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,016 Тл. Диаметр d витка равен 10 см. Определить работу A, которую нужно совершить, чтобы повернуть виток на угол

54

α= π/2 относительно оси, совпадающей с диаметром.

16.10. Квадратная рамка со стороной a = 10 см, по которой течет ток I = 200 А, свободно установилась в однородном магнитном поле (B = 0,2 Тл). Определить работу, которую необходимо совершить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной

если магнитный поток изменится до нуля за время ∆t = 2 мс.

16.12.Прямой провод длиной l = 40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью v = 5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов U между концами провода равна 0,6 В. Вычислить индукцию В магнитного поля.

16.13.В однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл находится прямой провод длиной l = 20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью

V = 2,5 м/с.

16.14.Прямой провод длиной l = 10 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией B = 1 Тл. Концы его замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать провод перпендикулярно линиям индукции со скоростью v = 20 м/с?

16.15.По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка 12 (рис. 16.1). Она имеет длину

l, массу m и сопротивление R. Вся система находится в вертикальном однородном Рис. 16.1 магнитном поле с индукцией В. В момент

t = 0 на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой F, и перемычка начала перемещаться вправо. Найти

55

скорость перемычки как функцию времени. Магнитное поле индукционного тока и сопротивление П-образного проводника пренебрежимо малы.

16.16.К источнику тока с электродвижущей силой ε = 0,5 В

иничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и

параллельно друг другу. Расстояние l между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция B = 1,5 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью V = 1 м/с прямолинейный провод сопротивлением R = 0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить: 1) электродвижущую силу индукции εi; 2) силу F, действующую на провод со стороны поля; 3) силу тока I в цепи; 4) мощность Р1, расходуемую на движение провода; 5) мощность Р2, расходуемую на нагревание провода; 6) мощность Р3, отдаваемую в цепь источника тока.

16.17.В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,4 Тл

вплоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l = 10 см. Ось вращения проходит через один из

концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n = 16 с-1.

16.18.По двум гладким вертикальным проводам, отстоящим друг от друга на расстояние l, скользит под действием силы тяжести проводник-перемычка массы m. Вверху провода замкнуты на сопротивление R (рис. 16.2). Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости, в

которой перемещается перемычка. Пренебрегая Рис. 16.2 сопротивлением проводов, перемычки и скользящих контактов, а также магнитным полем индукционного тока, найти установившуюся скорость

перемычки.

16.19. Система отличается от рассмотренной в предыдущей задаче (см. рис. 16.2) лишь тем, что вместо сопротивления R к концам вертикальных проводов подключен конденсатор емкости

56

С. Найти ускорение перемычки.

16.20.Металлический диск радиуса R = 25 см вращают с постоянной угловой скоростью ω = 130 рад/с вокруг его оси. Найти разность потенциалов между центром и ободом диска, если: а) внешнего магнитного поля нет; б) имеется перпендикулярное диску внешнее однородное магнитное поле

синдукцией В = 5,0 мТл.

16.21.Непроводящее тонкое кольцо массы m, имеющее заряд q, может свободно вращаться вокруг своей оси. В момент t = 0 включили однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Индукция поля начала нарастать по некоторому закону В(t). Найти угловую скорость ω кольца как функцию В.

16.22.Рамка площадью S = 200 см2 равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям индукции однородного магнитного поля (B = 0,2 Тл). Каково среднее значение электродвижущей силы индукции εi за время, в течение которого магнитный поток,

пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения?

16.23. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,35 Тл равномерно с частотой n = 480 c-1 вращается рамка, содержащая N = 500 витков площадью S = 50 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную электродвижущую силу индукции εmax ,

возникающую в рамке.

16.24.Рамка площадью S = 100 см2 содержит N = 103 витков

провода сопротивлением R1 = 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R2 = 20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (B = 0,1 Тл)

счастотой n = 8 с-1. Определить максимальную мощность Pmax переменного тока в цепи.

16.25.Магнитная индукция B поля между полюсами

вращения якоря, если максимальное значение электродвижущей силы индукции εmax = 200 В.

57

16.26. Проволочный виток радиусом r = 4 см, имеющий сопротивление R = 0,01 Ом, находится в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,04 Тл. Плоскость витка составляет угол α = 300 с линиями индукции поля. Какое количество электричества q протечет по витку, если магнитное поле исчезнет?

16.27. Проволочное кольцо радиусом r = 10 см лежит на столе. Какое количество электричества q протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление R кольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции B магнитного поля Земли равна 50 мкТл.

16.28.В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло количество электричества q = 10 мкКл. Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивление R цепи гальванометра равно 30 Ом.

16.29.Между полюсами электромагнита помещена катушка, соединенная с баллистическим гальванометром. Ось катушки

параллельна линиям индукции. Катушка сопротивлением R1 = 4 Ом имеет N = 15 витков площадью S = 2 см3. Сопротивление R2 гальванометра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключили, по цепи гальванометра протекло количество электричества q = 90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромагнита.

16.30.Рамка из провода сопротивлением R = 0,01 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и

перпендикулярна линиям индукции. Площадь S рамки равна 100 см2. Найти, какое количество электричества q протечет через рамку за время поворота ее на угол α = 30° в следующих трех случаях:1) от α0 = 0 до α1 = 30°; 2) от α1 до α2 = 60°; 3) от α3 = 90°.

16.31.Тонкий медный провод массой m = 1 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

16.32.По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи

58

провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивлением R = 0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответственно равны a1 = 10 см, a2 = 20 см. Найти силу тока I в проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричества q = 693 мкКл.

16.33. По катушке индуктивностью L = 0,03 мГн течет ток I = 0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время ∆t = 120 мкс. Определить среднюю электродвижущую силу самоиндукции εis , возникающую в

контуре.

16.34.С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на ∆I = 0,1 А в 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн. Найти среднее значение электродвижущей силы самоиндукции εis .

16.35.Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой

интервал времени ∆t, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока I0 = 10 А.

16.36. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N1 = 750 витков и индуктивность L1 = 25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до L2 = 36 мГн, обмотку с катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить число N2 витков катушки после перемотки.

16.37. Соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока I, протекающего по обмотке, равна 12 А.

16.38.Индуктивность L катушки без сердечника равна 0,02 Гн. Какое потокосцепление Ψ создается, когда по обмотке течет ток I = 5 А?

16.39.Длинный прямой соленоид, намотанный на немагнитный каркас, имеет N = 1000 витков и индуктивность

59

L = 3 мГн. Какой магнитный поток Ф и какое потокосцепление ψ создает соленоид при силе тока I = 1 А?

16.40.В цепи шел ток I0 = 50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока в этой цепи через t = 0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L = 0,1 Гн.

16.41.Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока в цепи достигнет 0,9 предельного значения?

установившиеся токи в катушках после замыкания ключа К.

Рис. 16.2

60