Рис. 13.6.2. Силовые линии электрического поля вблизи границы раздела диэлектрик металл в некоторый момент времени
Диэлектрическая проницаемость металлов формируется элек тронным газом. Если частота электронных столкновений не слишком велика, то имеет место формула
где п — концентрация электронов проводимости в металле, т — их эф фективная масса. Типичные значения плазменной частоты в металлах
составляют сор ~1016 с '. Поэтому для частот оптического диапазона
(<и~1014-1015 с-1) оказывается |
£м < О, |.?м|» 1 . Считая, |
что металл |
контактирует со средой с sx = sB ~1 (с воздухом), из |
приведённых |
формул находим |
|
(13.6.24) |
К |
~со/с =к0. |
Это значит, что волновое число и длина волны ПЭВ мало отличаются по величине от таковых значений для обычной электромагнитной волны над металлом.
Согласно (13.6.19),.,(13.6.23) коэффициенты затухания ПЭВ по обе стороны от поверхности металла равны
Глубина, на которую проникает ПЭВ в металл, составляет
Эта формула будет получена в разделе 14.2.2.
(13.6.25)
Для типичных хороших проводников эта величина составляет Л2 ~10 2 мкм.
Расстояние, на которое ПЭВ проникает в воздух, составляет
(13.6.26)
Для типичных частот оптического диапазона волн эта величина оказы вается порядка Aj ~1-100 мкм .
13.6.4. В о з б у ж д е н и е п овер х н ост н ы х вол н
Остановимся кратко на методах возбуждения поверхностных элек тромагнитных волн. Проблема в том, что волновое число ПЭВ ks боль ше волнового числа света ко на той же частоте. Поэтому применяют специальные методы согласования.
Одним из них является реш ёт очный метод, основанный на ди фракционном возбуждении ПЭВ. В этом методе на поверхность металла наносится периодический рельеф, обладающий свойствами дифракци онной решётки. Тогда при некоторых углах падения возбуждающего света возникает дифрагированная волна, направленная вдоль поверхно сти и возбуждающая поверхностную волну. Данный метод проиллюст рирован на рис. 13.6.3.
Другой метод проиллюстрирован на рис. 13.6.4. Это так называе мый призменный метод. Таким способом возбуждают ПЭВ на гладкой поверхности, поскольку удаётся согласовать волновые векторы падаю щей и поверхностной волн.
Суть призменного метода (в одной из реализаций) состоит в сле дующем. Тонкая металлическая плёнка 1 наносится на основание ди электрической призмы 2. Р-поляризованное излучение (луч 3), пройдя через призму, падает на основание под углом в, превышающим угол полного внутреннего отражения системы призма (2) - воздух (4) (рис. 13.6.4):
в >arcsin y . S 4/ s 2 ) , 7^4 < 4 ^ 2 -
Этот выбор угла связан с нарушением эффекта полного внутреннего отражения за счёт возникновения неоднородных волн в металлической плёнке. В результате свет, пройдя систему призма-плёнка, уже не вы ходит в воздух, а преобразуется в поверхностную волну.
Рис. 13.6.3. Решёточный метод возбуждения ПЭВ. 1 — падающее излучение, 2 — зеркально отражённое излучение, 3 — поверхностная волна
3
4
Рис. 13.6.4. Призменный метод возбуждения ПЭВ (схема Кречманна). 1 — поверхностно-активная среда (металл), 2 — призма, 3 — падающее излучение, 4 — диэлектрик (воздух), 5 — поверхностная волна, 6 — зеркально отражённое излучение . ' ■
При прохождении излучения через призму волновой вектор волны
увеличивается в раз (е2 — диэлектрическая проницаемость приз
мы). Составляющая волнового вектора, параллельная поверхности ме талла (и основанию призмы), равна
и при определённых углах может оказаться кх =ks . При этом условии
интенсивность отражённого излучения (луч 6 на рис. 13.6.4) резко убы вает т-тр происходит резонансная перекачка энергии падающего излуче ния в энергию поверхностной волны. Волна возбуждается на границе раздела металл-воздух (сред 1 и 4 на рис. 13.6.4). При увеличении тол щины плёнки эффективность генерации падает вследствие экспоненци ального затухания амплитуды поля вглубь металла.
Сейчас удаётся добиться эффективности преобразования падающе го излучения в ПЭВ порядка 1.
Глава 14. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН
14.1.Фазовая и групповая скорость
14.1.1.Д и сп ер си я
До сих пор, изучая распространение волн, мы предполагали, что связь волнового числа (вектора) и частоты линейная:
где величина и имеет постоянное значение (не зависит от частоты вол ны а>) и определяется только свойствами среды, в которой распростра няется волна. Эта величина, которую мы сейчас обозначим как
оф =а>/к, |
(14.1.2) |
называется фазовой скорост ью волны. Как видно из формулы |
|
н(х, t) = a cos(k x -cot) = flCOs[^£(x—УфО]> |
(14.1.3) |
со скоростью Уфперемещается точка волны, в которой фаза имеет фик сированное значение <р(х, t) = (ot—kx =const.
В общем случае связь частоты и волнового числа, называемая за
коном дисперсии : |
(14.1.4) |
со = ео(к), |
может быть более сложной. Соответственно |
фазовая скорость |
Уф= &>/к оказывается зависящей от частоты волны, или, что эквива лентно, от длины волны Л = 2л/к : Оф =Оф(Л)..
Зависимость фазовой скорости от длины волны называется диспер сией. Среды, в которых имеет место дисперсия, называются дисперги рующими.
14.1.2. Г р уп п ова я ск о р о ст ь
Рассмотрим две волны, имеющие частоты сох и а>2 и соответст вующие им волновые векторы к}=к {(о\) и к2 = к 2(со2). Если фазовые скорости этих волн отличаются друг от друга, то результат сложения
волн в разные моменты времени будет различным. Пусть волны задают ся уравнениями
щ (x,t) = asm [klx —colt'),
(14.1.5)
u2{x,t) = asm (k 2x - m2t).
Суммарное колебание есть сумма
и(х, t) = щ (х, /)+ и2 (х, t) =
= 2a cos h ~ k\ <з>2-Щ-t |
sm k 2 + k \ |
x |
C02 +C° l t |
(14.1.6) |
|
Пусть волновые числа k\ и k2, |
k2 > kx, близки, |
т.е. |
k2 - kt «: kt. Тогда, |
обозначая |
|
|
|
|
|
kl +k2 _ u |
к2 ~~k\ —Ak, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т2+щ |
|
dm |
|
|
= m, |
|
~ ~ A k , |
|
перепишем (14.1.6) в виде |
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
u (x ,t) = 2a cos |
Ak ( |
dm |
(k x -m t). |
(14.1.7) |
— x ------ 1 sm |
|
2 v |
dk |
|
|
|
Полученное выражение аналогично уравнению биений: в каждой фиксированной точке наблюдения колебания имеют вид биений (рис. 14.1.1) с периодом
2 71 |
2 t z |
/ i / I 1 о \ |
г = п-----------г~— ——— Г- |
(14.1.8) |
\rn-y —т. |
Ak\dm/ dk\ |
|
С другой стороны, фиксируя момент наблюдения, мы видим модулиро ванную волну, у которой амплитуда модуляции дается множителем
2а cos |
Ak( |
dm Л |
(14.1.9) |
T V |
И к 1) |
Рассматривая теперь эволюцию волны во времени, мы наблюдаем неиз менный профиль, т.е. огибающую высокочастотных колебаний, если двигаемся вдоль волны со скоростью
-гр = dm/dk. (14.1.10)
При таком движении множитель (14.1.9) сохраняет постоянное значе ние. На рис. 14.1.1 показан профиль модулированной волны (14.1.7). Со скоростью иГр движется огибающая высокочастотных колебаний. Be-
личина, введенная соотношением (14.1.10), назьтается групповой скоро стью.
Рис. 14.1.1. Биения как результат сложения бегущих волн с разными частотами в диспергирующей среде
Покажем, что определение групповой скорости (14.1.10) остается справедливым и в том случае, когда складывается произвольное число
волн. Для этого рассмотрим суперпозицию волн: |
|
h |
|
и(х, t) =^ a(k')exp[/(foe- a>{k)i)\, |
(14.1.11) |
к=\ |
|
в которой будем предполагать, что суммирование производится по уз
|
кому интервалу волновых чисел: |
к е \кх, к2], |
к1 - к 1« .к 1. Тогда можно |
|
разложить <х>(к) в окрестности среднего значения волнового числа: |
|
<а(к)~ ш0+(к-кц 'у™ |
|
|
|
|
dk к=к, |
(14.1.12) |
|
кх+кг |
п |
\ |
|
|
|
к0 — |
=«№))■ |
|
Подставляя (14.1.12) в (14.1.11) и переходя к суммированию по пере менной q =k —kx, получим
92
|
и(х, 0 =expp(*0jc- й)00 ] ^ Ф о +ч) e*P[ig(x - |
Ц^)] = |
|
■9=91 |
|
(14.1.13) |
|
|
|
|
=ехр[Щ х -со^ г)] F(x - % t) . |
|
|
Здесь введено обозначение |
dco |
|
|
Гр |
(14.1.14) |
|
dk к=кй |
|
|
|
Суммирование в (14.1.13) производится по волновым числам q в диапа зоне
g e k i,? 2]> Я\ =~АЛ/2, q2 =Ak/2,Ak =k2 - k v
В силу неравенства q ~Ак <£ кй функция F(y) меняется много медлен^
нее, чем экспонента ехр[г(£0х —®0£)]. Поэтому суперпозицию волн и(х, t) можно рассматривать как модулированную волну со средними волновым числом к0и частотой й>0, причем амплитуда модуляции дает ся функцией F(x —Drpt). Скорость движения огибающей есть групповая
скорость цуга волн или волнового пакета.
В соответствии со сказанным говорят, что цуг волн движется с групповой скоростью, тогда как отдельные волны — с фазовой скоро стью.
Волновой пакет может быть локализованным в пространстве. Рас смотрим для примера цуг, образованный группой волн, для которых в
(14.1.11) |
|
|
a(k) =[A()/Ak)dk, |
kx<k<k2, |
|
kl =k0 -Ak/2, k2 =k0+Ak/2. |
|
Тогда, выполняя интегрирование, получим |
|
к2 |
|
|
и(х,0 = 4 )j exp\ ik (x t-rpO]— = |
|
h |
|
r_ |
■ |
Ak f |
\ |
sm |
|
|
= A0exp[i(k0x-a>t)]— —----------- — .
-2- (x- v )
Видно, что характерная пространственная ширина волнового пакёта
Ак г |
\ |
и составляет |
■ |
определяется из условия — [x —v ^ t ^ я |
|
Ах~2я/Ак.
14.1.3.Расплывание волнового п акета
-Понятие групповой скорости имеет ограниченную область приме нимости, поскольку в среде с дисперсией волновой пакет с течением времени не только перемещается, но и, как правило, меняет форму.
Чтобы убедиться в этом, учтём в разложении (14Д.11) слагаемое
более высокого порядка:
dco |
1 |
j n2 d~(О |
(14.1.15) |
со(к) ~ со0 +( к - к 0) |
|
|
dk к = к д |
|
1 ё |
|
Добавочный член приводит с течением времени к изменению относи
тельных |
фаз волн, |
образующих |
волновой пакет, |
на величину |
(г/2)(/с-£0)2 (^ 2ю /л2)| |
, так что |
|
|
|
|
:= кп |
|
|
|
|
|
F =^Texp |
i q i x - U r p O - i |
d со |
|
|
=F (x - v Tpt, t) |
|
|
|
|
|
y d k \ |
|
(индекс |
«О» для краткости |
означает, что производная |
берётся при |
к =к0). К моменту, когда сдвиг фаз волн достигает тг. |
|
|
|
t |
, |
d vm |
|
|
|
|
‘ max „ 2 |
гр |
■я, |
|
|
|
2 ~q |
dk |
|
|
|
k=ko |
|
волновой пакет фактически прекращает существование, разваливается.
Полагая для оценки q ~ Ак/2, |
получим характерное время существова |
ния волнового пакета: |
|
|
|
|
(14.1.16) |
|
(Ак)2 \d2a)/dk2 |
Перепишем полученную формулу в другом виде. Для этого заме |
тим, что |
|
|
|
d 2a>_ ^гр |
|
dk2 |
dk |
Кроме того, перейдём к |
дифференцированию по длине волны |
Л= 2л/к: |
|
|
d vvy _ d v^ ! d l |
^ Я2 ^игр |
dk |
dkjdX |
2к dX |
Поскольку при малой ширине спектра рассматриваемого цуга волн
Ак = -^2я/ Х2^АХ, то в результате получаем следующую оценку вре мени существования волнового пакета:
4Я2
(АЛ) ^u^/dX ^
14.1.4. Формула Рэлея
Найдем связь фазовой и групповой скоростей. Подставляя в (14) соотношение со =ки^ , получим
duM
и гр = Щ + к ~dk (14.1.17)
Переходя здесь от волнового числа к длине волны Л —2я/к, перепи шем найденную связь в виде
dv.Ф
(14.1.18)
Это соотношение называется формулой Рэлея.
Как следует из (14.1.17), для сред без дисперсии (ify =const) фазо
вая и групповая скорости совпадают:
°п> =tV
На рис. 14.1.2 показана интерпретация формулы (14.1.18), предло женная П. Эренфестом.
Рис. 14.1.2. Интерпретация формулы Рэлея согласно Эренфесту
На этом рисунке штриховой линией показана касательная к кривой Lfy = Уф(Л). Видно, что эта прямая отсекает на оси ординат отрезок, рав
ный групповой скорости цр.
В случае электромагнитных волн фазовая скорость связана с пока
зателем преломления среды формулой |
|
о ф =с/п. |
(14.1.19) |
Это следует из формулы к = гоп/с, т.е. Уф= со/к =с/п.
Дисперсия связана с тем, что показатель преломления зависит от длины волны излучения: п = п(Л). Найдём групповую скорость волны в диспергирующей среде. Для этого подставим (14.1.19) в формулу Релея
(14.1.18):
=ол,- Л3 —d
Всвязи со сказанным в случае световых волн дисперсией называют зависимость показателя преломления среды от длины волны.
14.2.Классическая теория дисперсии
14.2.1.З а ви си м ост ь д и эл ек т р и ч еск о й п р он и ц а ем ост и ср ед ы от ч а ст от ы и зл уч ен и я
Классическая теория дисперсии, предложенная Х.А. Лоренцем, ос нована на предположении, что среда представляет собой газ, состоящий из невзаимодействующих между собой атомов. В атоме имеется один электрон, называемый оптическим, квазиупруго связанный с атомом. Возвращающая сила равна FB03Bp =—fir, где г — радиус-вектор элек
трона относительно положения равновесия.
На рис. 14.2.1 показан качественный вид зависимости силы, дейст вующей на электрон, от расстояния до центра. Положению равновесия отвечает расстояние R =Rq о т центра. Видно, что линейная зависимость сипы от смещения имеет место только при малых отклонениях электро на от положения равновесия. В сильных полях, когда отклонения элек трона оказываются не слишком малыми, зависимость оказывается не линейной.
Рис. 14.2.1. Зависимость
Лсипы, действующей на электрон
со стороны атома, от расстояния R до центра
Уравнение, описывающее поведение электрона под действием электромагнитной волны, имеет вид
сия, F.Ip — сила трения, учитывающая потери энергии вследствие излу чения (при ускоренном движении) и передачи энергии среде. Предпо-
